培養(yǎng)學(xué)生建立和運(yùn)用數(shù)學(xué)模型的能力

徐燦根

摘 要：數(shù)學(xué)模型是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，經(jīng)歷和建立數(shù)學(xué)模型既是一個(gè)不斷數(shù)學(xué)化的過程，更重要的是能提高學(xué)生解決問題的能力。那么如何在課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生建立和運(yùn)用數(shù)學(xué)模型的能力呢？這是每個(gè)數(shù)學(xué)教師要思考的問題。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)化；模型化；問題解決能力

在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，對(duì)數(shù)學(xué)模型思想進(jìn)行了具體的描述。“模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)學(xué)關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。”

我們?nèi)绾卧谡n堂中有意識(shí)地滲透數(shù)學(xué)模型思想，培養(yǎng)學(xué)生建立模型和運(yùn)用模型解決問題的能力呢？下面就以六年級(jí)“抽屜原理”為例，談?wù)勗谶@方面粗淺的認(rèn)識(shí)。

一、現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)化

現(xiàn)實(shí)問題有現(xiàn)實(shí)性和具體性，這類問題來自于生活，能夠提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。而數(shù)學(xué)來源于生活卻又高于生活，具有很大的概括性和抽象性。要讓學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，必須要把現(xiàn)實(shí)的問題數(shù)學(xué)化，這是建立數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)。因此，在課前我為學(xué)生提供了大量的富有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問題。

首先，為激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，我們做了一個(gè)小游戲。老師轉(zhuǎn)過身去，班上隨便站起三個(gè)學(xué)生來讓老師猜，老師一定能猜中。學(xué)生當(dāng)然不信，于是老師就出示猜的結(jié)果：在這任意三個(gè)人中，至少有兩個(gè)人的性別是相同的。

這時(shí)，從學(xué)生的臉部表情看，一部分人非?？隙?，而且有部分學(xué)生已經(jīng)悟出了其中的奧秘。我要求學(xué)生用自己的方法來證明老師的猜測(cè)。從學(xué)生的反饋情況來看，主要有兩種，一種是用圖表示出了結(jié)果，我就引導(dǎo)學(xué)生用圖把各種現(xiàn)象都表示出來。另一種用語言來描述，他們認(rèn)為，因?yàn)樾詣e只有兩種，如果第一個(gè)站起來的是男的，第二個(gè)站起來的是女的，那么第三個(gè)站起來的肯定是前面兩個(gè)中的一個(gè)，所以至少有兩個(gè)人的性別是相同的。

接下來，我又給學(xué)生提供了研究的材料。4個(gè)蘋果放入3個(gè)盒子中，總能找到1個(gè)盒子至少放了兩個(gè)蘋果。這句話對(duì)嗎？為什么？這時(shí)，學(xué)生就按照剛才研究的方法，用畫圖舉例法，用語言描述等來證明結(jié)論的正確性。當(dāng)然，在這里，我們就不能僅僅滿足于這些了，我們要通過兩個(gè)問題的解決，抽象地概括出數(shù)學(xué)的方法。于是，當(dāng)一個(gè)學(xué)生說先每個(gè)盒子放1個(gè)，就放了3個(gè)，這時(shí)還剩1個(gè)，這個(gè)蘋果無論放入哪個(gè)盒子，都至少有兩個(gè)了的時(shí)候，我就問：“你們能把剛才這位學(xué)生描述的用數(shù)學(xué)的方法表示出來嗎？”于是學(xué)生就想到了這種方法就是以前學(xué)過的有余數(shù)的除法。

到此為止，我的第一個(gè)目標(biāo)已經(jīng)達(dá)成，即把剛才一些對(duì)現(xiàn)實(shí)問題各種各樣的解決方法，抽象成了用數(shù)學(xué)的方法來解決，讓學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)方法的抽象性、方便性。

二、數(shù)學(xué)方法模型化

在學(xué)生形成數(shù)學(xué)方法后，我們還要對(duì)這些數(shù)學(xué)方法進(jìn)行進(jìn)一步的觀察、推測(cè)、歸納和驗(yàn)證，在不斷猜測(cè)、肯定、否定的過程中建立正確的數(shù)學(xué)模型。

1.在學(xué)習(xí)了3個(gè)蘋果放入兩個(gè)抽屜，至少有幾個(gè)蘋果放在同一個(gè)抽屜里，5個(gè)7個(gè)、9個(gè)呢？學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)結(jié)果都是商加上余數(shù)。于是馬上有學(xué)生提出來了，只要商加上余數(shù)就行，大部分學(xué)生表示認(rèn)同。為了讓學(xué)生驗(yàn)證結(jié)論的正確性，我提出了如果5個(gè)蘋果放入3個(gè)抽屜，會(huì)有什么結(jié)果？這時(shí)馬上有兩種答案產(chǎn)生，一種是用商加余數(shù)，所以認(rèn)為至少有3個(gè)。而另一種認(rèn)為最后兩個(gè)不應(yīng)該放入一個(gè)盒子，為了讓抽屜里的蘋果數(shù)盡可能的少，必須分開來放。經(jīng)過討論，學(xué)生馬上認(rèn)同了第二種答案。我又適時(shí)地問：“那么你們覺得剛才總結(jié)出來的方法對(duì)不對(duì)，可以怎樣修改？你自己舉例驗(yàn)證一下?！庇谑?，學(xué)生馬上想到了無論余數(shù)是多少，商只要加上1就行，因?yàn)槭Ｏ碌奶O果必須分開來放，才能保證最少。

2.當(dāng)然學(xué)生到這兒還遠(yuǎn)沒有達(dá)到建立數(shù)學(xué)模型的程度。所謂

數(shù)學(xué)模型，就是要概括出這類問題的共同特征，從而提高學(xué)生分析和解決問題的能力，最后我就引導(dǎo)學(xué)生把具體的抽屜問題一般化。建立抽屜問題的數(shù)學(xué)模型，先要分析哪些是待分物品，有多少只抽屜，然后再用我們總結(jié)出的數(shù)學(xué)方法，即待分物品除以抽屜數(shù)，得到的商加上余數(shù)1就可以求出至少有幾個(gè)物品放入同一個(gè)抽屜。到此，學(xué)生對(duì)抽屜原理的數(shù)學(xué)模型也就完全地建立了。

三、運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題

在學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)模型，掌握了數(shù)學(xué)模型之后，最后的環(huán)節(jié)就是要靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問題。用所建的數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)模型的實(shí)用價(jià)值，體驗(yàn)到所用知識(shí)的用途和益處，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)意識(shí)和數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，讓學(xué)生體驗(yàn)實(shí)際運(yùn)用帶來的快樂。

于是，我選擇了一道課堂作業(yè)本上的作業(yè)：“六年級(jí)一班共有46位學(xué)生，大家做同一道題，做對(duì)得2分，不做得0分，做錯(cuò)得-1分。問至少有幾個(gè)學(xué)生的得分是相同的？”這道題中就明顯地沒有了蘋果和抽屜的痕跡，這就需要學(xué)生運(yùn)用建立的數(shù)學(xué)模型去分析什么是待分物品，什么是抽屜。學(xué)生經(jīng)過分析，馬上找到了46位學(xué)生就是待分物品，2分、0分、-1分就是抽屜，共有三只抽屜。問題到這兒也就迎刃而解了。

在課的結(jié)束之際，為鞏固學(xué)生新建立的數(shù)學(xué)模型，我設(shè)計(jì)了一道開放題，讓學(xué)生也像課前老師做的游戲一樣，設(shè)計(jì)一個(gè)相似的游戲。

數(shù)學(xué)建模的過程，是一個(gè)抽象和概括的過程，是一個(gè)不斷數(shù)學(xué)化的過程。讓學(xué)生經(jīng)歷這樣一個(gè)過程，收獲基本的數(shù)學(xué)思想方法，提高解決問題的能力，培養(yǎng)不斷創(chuàng)新的能力，讓學(xué)生體驗(yàn)到成功的喜悅。

編輯 郭小琴