數(shù)學思維的“道”與“術”：改變思考策略，促進思維轉化， 讓數(shù)學思維不止是“術”，更是“道”

趙金潔

摘 要：數(shù)學教學不僅僅是“術”的教育，更是“道”，即數(shù)學思維、數(shù)學邏輯的培養(yǎng)。就如何培養(yǎng)及引導學生的數(shù)學思維及邏輯，提升數(shù)學學習效率以及農(nóng)村小學較大差異化的環(huán)境下進行思考題的教學進行具體分析。

關鍵詞：農(nóng)村小學；數(shù)學化思維邏輯；數(shù)形結合

一、緣起

在博大精深的中國文化中，“道”與“術”的概念深深影響著一代又一代的中國人。老子曾說：“有道無術，術尚可求也。有術無道，止于術?！鼻f子曾說：“以道馭術，術必成。離道之術，術必衰?！薄秾O子兵法》說，道為術之靈，術為道之體；以道統(tǒng)術，以術得道。[1]數(shù)學，不僅僅只是簡單的算術，更是思維邏輯的培養(yǎng)。

在具體的教學中觀察到：人教版數(shù)學二年級上冊數(shù)學“廣角簡單的排列和組合”的教學中，對于3個數(shù)字可以組成6個兩位數(shù)，而三個人只能握3次手的現(xiàn)象，在教學過程中學生出現(xiàn)兩種截然不同的情況：部分學生的第一反應是3個人也會出現(xiàn)6次握手，而且其中有很多學生對此深信不疑；而也有部分學生很快就能得出正確的結論，并對此有良好的理解。目的是考查學生實際的理解程度，鼓勵其大膽發(fā)言，闡述自己的思路。然而回饋效果不甚理想。直到讓學生進行實際操作時，他們才發(fā)現(xiàn)確實是握3次手。而當把題目場景改成打電話時，依然有部分學生不理解，只有再次通過實際操作活動演示后才得以理解。因現(xiàn)場教學中出現(xiàn)這樣的情況，即增加了一道練習：10個人打乒乓球，每兩個人打一場，需要打幾場？通過前兩次的教學以及練習，學生慢慢掌握了解題的關鍵以及技巧。

出現(xiàn)這樣的情境，引起我對思考題教學問題的思考。新教材取消了獨立的應用題教學單元，而是放在“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”及“綜合與實踐”四大領域的相關模塊中，這樣的教學雖然可以清晰傳授每個知識點，但容易造成系統(tǒng)訓練的缺乏，不利于模型思想的形成。

其次思考題的教學在新授知識之后，它的存在與否并不影響單元教學的完整性。這會使部分教師選擇將少數(shù)看似不重要的內(nèi)容刪除，從單獨知識點來說并不影響過多，而最后落實到學習方式上容易“就題論題”，學生對于解決問題的策略以及蘊含的數(shù)學思想難以領悟，其隱性價值也就無法實現(xiàn)。

對于解決問題的教學，最重要的是數(shù)學化，即通過教師講解的數(shù)學知識、技能和方法，逐漸形成自己的數(shù)學思想和方法，學會用數(shù)學的眼光看待事物，學會用數(shù)學的方法解決問題。[2]

任何一個有效教學必定要促進學生當下發(fā)展，同時要具有超越時空的穿透力，對學生長遠發(fā)展產(chǎn)生影響。因此，小學數(shù)學更應該重視數(shù)學思想方法、數(shù)學活動經(jīng)驗等數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)，為學生的后續(xù)學習和可持續(xù)發(fā)展奠定基礎。對于解決問題的教學，我有以下幾點思考。

二、改變思考策略，促進思維轉化

（一）直觀演示，在活動中呈現(xiàn)，讓思維從障礙走向疏通

學生的認知能力的喚醒、思維能力的激活、知識技能的獲得、情感態(tài)度的提升、數(shù)感的發(fā)展都離不開足夠的資料，包括物質資料和文字資料等的支持。對于思考題的教學，學生只有“見多”才能“識廣”，從而促進思維的有效轉化。通過演示及練習，在實踐中領悟，即從量變到質變，從術到道的領悟。

【片段一】角的認識

在《角》的教學中，“角的大小與什么有關”這一內(nèi)容教科書中并未明確指出，而在練習中會有出現(xiàn)。因此需要教師增加一個活動“做角”，引導學生玩“角變大變小”的游戲，引導學生一邊玩活動角一邊觀察：角的大小有什么變化？角的大小與什么有關，與什么無關？

“做角”這一活動使學生對角的認識由靜態(tài)向動態(tài)過渡，使得他們直觀地看到，兩條邊張開的越大，角就越大，張開的越小，角就越小。設計游戲活動，學生一掃前面長時間上課的疲累，開始興致勃勃嘗試動起來。即使不能概括出最終的知識點，當別的學生在老師的引領下得出結論時也能馬上獲得經(jīng)驗。學生在玩中學，通過感知（感知角的大小變動）—表象（發(fā)現(xiàn)邊長不變的情況下角的大小在變化）—抽象（抽象出角的大小和張開的大小有關）—形成結論（角的大小和邊長無關，和兩邊張開的大小有關），在實踐活動中深刻建立了角的表象。

小學生的思維尤其是低段的孩子其思維發(fā)展主要是以具體形象思維為主。而活動可以讓學生“動”起來，從而讓學生的思維“活”起來。蘇霍姆林斯基也曾說：“兒童的智慧在他的手指尖上?！盵3]通過活動學生本已乏累的腦袋得到了新鮮的血液，開始調(diào)節(jié)放松，何樂而不為？活動的價值也得以體現(xiàn)，學生經(jīng)歷了、體驗了、收獲了知識，給解題帶來了新的思路。在此類題目的教學中，教師要從學生的角度出發(fā)，不要害怕活動浪費時間，或者害怕活動破壞課堂紀律，而是讓學生積極參與到課堂教學中，大大提高了學習的效率，避免后期不必要的重復練習，這在一定程度上也為課堂教學節(jié)約了大量的時間。

（二）數(shù)形結合，問題解決媒介化，讓思維從模糊走向清晰

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》把“符號感”改為“符號意識”，是新課標提出的十大核心概念之一。現(xiàn)行的小學數(shù)學教材也十分注意符號化思想的滲透，即使對一年級的學生也不例外，可以看到很多的數(shù)字符號、運算符號、圖形符號等。如教材中就有“□”或“（）”代替變量“x”，讓學生填適當?shù)臄?shù)，或者在天平秤上擺上物體顯示重量，然后用另一物體替代。隨著年級的上升，各種量的關系變化都是用字母表示，傳遞出大量的信息，把復雜的語言表述簡單化，以便于記憶和利用。除了有利于表述外，數(shù)學符號還有助于思維的發(fā)展。都說數(shù)學學習是思維的體操。

數(shù)學大師華羅庚教授說過：“……數(shù)缺形時少直覺，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，割裂分家萬事休?！比纭昂捅秵栴}”“和差問題”等。

【片段二】和倍問題

思考題：一個減法算式里的被減數(shù)、減數(shù)與差相加，得數(shù)是1000，已知減數(shù)是差的4倍，差是多少？

■

當學生初次閱讀本題，很多學生找不到突破口，更有甚者完全無法理解題意。此類題型，數(shù)形結合，以圖形符號為媒介發(fā)現(xiàn)規(guī)律。此題初讀時雖知道減數(shù)與差的4倍關系，卻找不到其他關系。在滲透本題時，筆者在教學時適當放慢腳步，讓學生將分析題意與畫示意圖相結合，引導學生思考“1000”在本題中的作用，重復讀題以及畫出線段圖后，它們之間的內(nèi)在聯(lián)系一目了然。通過線段圖掌握了它們的數(shù)量關系，隨之差和減數(shù)各是多少呼之欲出。這種解決思考題教學的新思路值得我們繼續(xù)實踐和探索。如“植樹問題”“上樓問題”就可以借助線段圖幫助學生理解，從而讓數(shù)學思維不止是“術”，更是“道”。

（三）豐富題型，舉一反三，讓思維從膚淺走向深刻

在講解一類題型時，教師可根據(jù)現(xiàn)實教學需要，培養(yǎng)學生的聯(lián)想創(chuàng)造能力，進行題目的改編。正如愛因斯坦所說：“提出一個問題比解決一個問題更重要?！弊寣W生根據(jù)原題中的數(shù)量關系進行改編，類似于我們的同課異構。通過類比，舉一反三，幫助學生分析理解，抓住學習數(shù)學思想這一本質。

【片段三】

練習：六一節(jié)表演節(jié)目，每兩個男生中間站一個女生，一共有8個男生，可以站幾個女生？

在練習時僅僅講解此題，學生的思維容易受到限制，僅僅停留于實物與圖形。教師在講解時可以適當增添該類練習。如：（1）如果把一根木頭據(jù)成10段，需要據(jù)幾次？20段需要據(jù)幾次？（2）小丁去樓下運水，從一樓運到九樓，一共運了幾層？（3）一串珠子按照一黑一白的順序排列，白色珠子有10顆，黑色珠子有幾顆？

借助課堂豐富各類題型，通過一類問題實現(xiàn)有效的建構，如借助“排隊問題”引出“上樓問題”“鋸木頭問題”“串珠子問題”等，發(fā)現(xiàn)“間隔數(shù)和點數(shù)之間的關系”的規(guī)律，最終實現(xiàn)知識的建構，讓學生的思維從膚淺走向深刻。

（四）建模型，思想方法一體化，讓思維從具體走向抽象

“模型思想”也是《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》的十個核心詞之一。從廣義的角度來說，數(shù)學的概念、定理、規(guī)律、法則、公式、性質、數(shù)量關系式、圖表、程序等都是數(shù)學模型。[4]

小學數(shù)學教材的編寫有兩條線索：一是處于表面的知識；二是隱含于知識背后的思想方法。教師只有創(chuàng)造性地使用教材，變“教教材”為“用教材”，做到源于教材卻高于教材，這樣才能體會知識深處的數(shù)學思想方法。

“植樹問題”“上樓問題”都可以劃歸為“間隔數(shù)和點數(shù)的關系”問題。雖然在教學中，我們不能馬上用抽象的字眼——化歸來歸納，但是大部分學生通過親身經(jīng)歷、體驗、感悟解題過程，基本上已經(jīng)學會用自己的語言進行描述，在頭腦中留下了深刻的印象。隨著學習的過程，當再次遇到類似的問題時，他們沉睡的思維記憶就會被重新激活，就會抓住解題的關鍵，學生的數(shù)感也會得到一定的提升。因此，教師在遇到此類教學問題時千萬不能走過場，就題論題，應當下意識地抓住典型材料，把各個知識點連成線、線成面、面成體，逐步將知識結構立體化。在解題過程中，有意識地滲透數(shù)學思想方法，如化歸思想、建模思想、函數(shù)思想、極限思想、集合思想、優(yōu)化思想、統(tǒng)計思想、分類思想等。

三、結論

教師在教學時切忌就題論題式地教學，要把對數(shù)學之“道”的培養(yǎng)融合在“術”的教學中。當學生出現(xiàn)理解困難時，針對不同的教學題型應該采取不同的教學策略，活動題型可以讓學生親身體驗其產(chǎn)生的過程，讓學生感悟及記住這一經(jīng)歷，并以此將真正的思維邏輯印刻在腦中，真正變?yōu)榧河?。用?shù)形結合理解數(shù)量關系的題型，教師可通過畫圖幫助學生理解，讓模糊的思維清晰化，并且舉一反三，拓寬學生的思維，架構題型之間的內(nèi)在聯(lián)系，最終建模。

但要注意的是“道”的形成是一個長期的過程，需要教師在教學的過程中不斷地關注，有意識地去滲透，因人制宜地開展教學。尤其是筆者這樣的較發(fā)達地區(qū)的農(nóng)村小學，學生兩極差異化明顯，如何在差異化中追求教育的平衡與發(fā)展，這值得我們一直不斷地探究。但通過這樣系統(tǒng)化的練習，想必學生會逐步形成自己的數(shù)學思想和方法，學會具體問題具體分析，學會用數(shù)學的眼光看待問題，用數(shù)學的方法解決問題，最終達到數(shù)學化。

參考文獻：

[1]孫武.孫子兵法[M].四川文藝出版社，2008.

[2]鄭文慶.思考題教學問題與解決策略[J].小學數(shù)學名師說課，2017.

[3]潘曉玲.小學數(shù)學思考題解決方法初探[J].課堂內(nèi)外，2016.

[4]武國芬.經(jīng)歷問題解決的過程，深入理解概念的本質[J].小學數(shù)學名師說課，2017.

編輯 高 瓊