高中數(shù)學有意義教學探究

蔡振樹

【摘要】數(shù)學是抽象的思維學科，在數(shù)學學習中，它需要學生的智力參與和獨立思考，別人是無法替代的，只有當學生通過自己的思考建立起自己的數(shù)學理解力時才能真正學好數(shù)學，才能使人產生有活力的思想，高中數(shù)學有意義教學更需體現(xiàn)以學生為本.本文結合利用導數(shù)研究函數(shù)單調性案例來探究高中數(shù)學的有意義教學.

【關鍵詞】高中數(shù)學;有意義教學;導數(shù);函數(shù);單調性

【基金項目】本文系教育部福建師大基礎教育課程研究中心2018年開放課題“立足核心素養(yǎng)培育的差異數(shù)學研究”（批準號：KC—2018036）研究成果.

縱觀近幾年的高考試題，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性及相關問題仍是高考的熱點和重點.雖然高考試題新穎性、靈活性越來越強，但眾所皆知，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與函數(shù)最值極值的研究緊密聯(lián)系，它實現(xiàn)了函數(shù)與不等式、方程等多個知識點的交匯，涉及多種數(shù)學思想方法，如，數(shù)形結合、分類討論、等價轉化等.下面就三個方面談談利用導數(shù)研究函數(shù)單調性的有意義教學.

一、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調區(qū)間

我們常常會遇到一種情況，解決問題到某一步之后，不能再以統(tǒng)一的方法，統(tǒng)一的式子進行下去，這是被研究的對象包含了多種情況.此時，需要關注學生的學習差異，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合歸納解，這就是我們熟悉的分類討論.分類討論這一數(shù)學思想方法的考查仍是高考的重點和熱點，而分類討論時最難做到的就是標準統(tǒng)一，不重不漏，明確何時該分類.這里我們以一道求含參函數(shù)的單調區(qū)間為案例進行研究.

案例1已知f（x）=12x2-ax+（a-1）lnx（a>1），求f（x）的單調區(qū)間.

案例分析到f′（x）=（x-1）（x-a+1）x>0（x>0）時問題真正暴露出來了，這時f′（x）=0兩根x1=1，x2=a-1的大小不明確了，有多種情況，從而引發(fā)分類討論.這時教師如能適時地拋出問題“何時需要分類討論”，一定是可以觸動學生的，這時的研究就會更有意義了.淺顯的案例其實蘊含著深刻的原理.

打鐵趁熱，在學生討論情緒熱烈時拋出另一個問題，去掉案例中a>1這個條件，結論又當如何？有了前面的探究有助于提高經驗，學生很自然地會去關注兩根與0以及兩根本身的大小關系，從而誘發(fā)了x2與0，1大小的比較.真正做到分類標準統(tǒng)一，不重不漏.

通過本案例的分析和研究，一者可以樹立學生分類討論的信心，突破難點，二者鼓勵學生多思考，大膽對案例進行有建設性的改造，培養(yǎng)創(chuàng)新能力.

二、利用導數(shù)探究參數(shù)的取值范圍

探究參數(shù)取值范圍在高考考查中是很常見的，這類問題的探究很考驗學生的數(shù)學功底，是發(fā)展學生素養(yǎng)的重要載體，體現(xiàn)學習差異，讓不同學習水平層次的學生得到不同的發(fā)展，同時注意解決問題的方法呈現(xiàn)多樣性.對這類問題的研究，除了有助于學生解題能力的提高，還能提高學生科學分析，善于總結，勇于探究解決問題最優(yōu)方法的能力.

案例2已知a∈R，函數(shù)f（x）=（-x2+ax）e-x（x∈R），若函數(shù)f（x）在（-1，1）內單調遞減，求函數(shù)f（x）的取值范圍.

案例分析過程中，問題轉化成f′（x）=e-x（x2-ax-2x+a）≤0對任意x∈（-1，1）恒成立是比較順利的，可見學生在平時學習中能充分注意到函數(shù)在某一區(qū)間單調遞減是f′（x）≤0，而非f′（x）<0這一易錯點，并且學生能進一步將上面的恒成立問題轉化為x2-（a+2）x+a≤0對任意x∈（-1，1）恒成立亦是可貴的.作為高考的復習課，學生已經通過之前的學習，掌握了相當?shù)姆治?、解決問題的能力了，所以此時課堂更應留給學生，放手讓他們解決問題.

課堂實際體現(xiàn)，本案例大部分學生基于x∈（-1，1）這一條件，推出x-1<0，傾向于應用方法一：參變分離，轉化成a≤x2-2xx-1，x∈（-1，1）的恒成立問題.往下的分析選擇構造新函數(shù)，再次利用導數(shù)解決問題的居多，充分說明導數(shù)在解決函數(shù)問題中的重要地位，但也有少數(shù)人選擇令t=x-1，結合換元法求解，這時又產生了一個新問題，對新元t的取值范圍必須關注，關注細節(jié)處理，使得我們的解決方案有效是最實在的，嚴謹治學態(tài)度的形成對高考當然是重要的，對一個人生活態(tài)度的影響也是不可估量的.

從本案例的研究過程，可見學生的大膽質疑，善于發(fā)現(xiàn)問題，善于進行總結.

三、利用導數(shù)研究函數(shù)的最值和極值問題

案例3已知函數(shù)f（x）=x-alnx，（1）略;（2）求函數(shù)f（x）的極值;（3）當a>0時，求函數(shù)f（x）在[1，e]的最小值.

案例分析：第（2）問f′（x）=x-ax=0（x>0）的根x=a有否在定義域內的問題，從而引發(fā)了討論.在這里要及時提醒學生注意a≤0時，f′（x）>0恒成立，函數(shù)無極值這種情況不要遺漏.而a>0時，單調區(qū)間，極值通過列表可以一目了然.第（3）問中仍需分a≤0，a>0兩種情況進行討論，其中在a>0的這一情況中還需考慮a與1，e的大小關系，在這里出現(xiàn)了學生比較茫然，也比較不擅長的二級討論，這樣的分類討論要求較高，體現(xiàn)差異性大.可以通過課堂教學案例設計的層層推進.

通過選擇一些典型的案例進行探究教學，既能讓學生學會這類問題的解決，日積月累，又能讓學生體會分類討論、化歸等數(shù)學思想.以學生為主體的有意義教學，更能讓學生“創(chuàng)新的火花閃爍在課堂，燦爛在未來”，學生的獨到見解及時得到肯定和推廣，信心倍增.這樣的數(shù)學教學就不僅僅意在高考，對生活也是有積極意義的，這是新時代核心素養(yǎng)培育的有力實踐.

【參考文獻】

[1]梅華.“利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性”教學設計及反思[J].中學課程輔導（教師教育），2018（3）：96.

[2]宋淮南.利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性的拓展教學[J].數(shù)學學習與研究，2016（3）：73.