兩參數(shù)隨機(jī)過程的一致隨機(jī)連續(xù)性*

劉丹華，楊嬋娟

(湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,湖南 湘潭 411105)

多參數(shù)隨機(jī)過程由單參數(shù)隨機(jī)過程演變而來,但卻與單參數(shù)隨機(jī)過程有本質(zhì)區(qū)別.兩參數(shù)隨機(jī)過程是一類重要的多參數(shù)隨機(jī)過程,如Poisson單、Levy單和兩參數(shù)馬爾可夫過程等.文獻(xiàn)[1-2]對(duì)兩參數(shù)隨機(jī)過程及其一致隨機(jī)連續(xù)性進(jìn)行了分析，筆者擬研究一致隨機(jī)連續(xù)性與矩形增量的關(guān)系，建立兩者之間的聯(lián)系.

1 符號(hào)說明

2 主要結(jié)果

X(y,z]=X(z)-X(y?z)-X(z?y)+X(y).

矩形增量也可記為

X(y,z]=Xs,t-Xu,t-Xs,v+Xu,v.

(1)

根據(jù)極限的定義,可得如下等價(jià)定義：

顯然,如果X在區(qū)域D上一致隨機(jī)連續(xù),那么X在區(qū)域D上必定隨機(jī)連續(xù).根據(jù)連續(xù)函數(shù)的康托定理[3],可以類似地證明:如果X在有界閉區(qū)域D上隨機(jī)連續(xù),那么X在有界閉區(qū)域D上必定一致隨機(jī)連續(xù).

定理1曾在文獻(xiàn)[1,P190]中直接引用.

定理2設(shè)Y={Ys,t,(s,t)∈R2+}，稱Y為定義在概率空間(Ω,F,P)以(R,B(R))為狀態(tài)空間的零初值的兩參數(shù)隨機(jī)過程.設(shè)有界區(qū)域D=[(0,0),(M,M)],00,η>0,存在δ=δ(ε，η)>0,對(duì)于任意的長方形A=(y,z]?D,當(dāng)|A|<δ時(shí)，P|Y(A)|>ε)<η.

區(qū)域D=[(0,0),(M,M)],00,η>0,存在δ=δ(ε，η)>0,對(duì)于任意的長方形A=(y,z]?D,當(dāng)|A|<δ時(shí)，P|Y(A)|>ε)<η.

注1有界區(qū)域D不一定要求是有界的正方形.事實(shí)上,只要求有界區(qū)域D滿足條件:如果點(diǎn)(s,t)∈D,那么長方形[(0,0),(s,t)]?D.實(shí)際上，這樣的有界區(qū)域是平面上第一象限里由坐標(biāo)軸構(gòu)成的一個(gè)曲邊直角三角形，斜邊是一條單調(diào)不增的連續(xù)曲線(圖1).

3 定理證明

定理1的證明因X在區(qū)域D上一致隨機(jī)連續(xù),故對(duì)于?ε>0,η>0,存在δ0=δ0(ε,η)>0,對(duì)于?(u,v),(s,t)∈D,當(dāng)|u-s|<δ0,|v-t|<δ0時(shí),

(2)

證畢.

定理2的證明充分性已在定理1中證明,接下來證明必要性.任取2點(diǎn)y,z∈D,y=(u,v),z=(s,t),y≤z.設(shè)區(qū)域A1=((0,v),(u,t)],區(qū)域A2=(y,z]，區(qū)域A3=((u,0),(s,v)],則由(1)式和定義2可得

Y(A1)=Yu,t-Yu,v,Y(A2)=Ys,t-Yu,t-Ys,v+Yu,v,Y(A3)=Ys,v-Yu,v，

于是Ys,t-Yu,v=Y(A1)+Y(A2)+Y(A3).

再由已知條件可知,對(duì)于?ε>0,η>0,存在δ1=δ1(ε,η)>0,對(duì)于長方形A1=((0,v),(u,t)]?D,當(dāng)|A1|=u(t-v)<δ1時(shí),

(8)

同理可得:對(duì)于ε>0,η>0,存在δ2=δ2(ε,η)>0,對(duì)于長方形A2=(y,z]?D,當(dāng)|A2|=(s-u)×(t-v)<δ2時(shí),

(4)

對(duì)于ε>0,η>0,存在δ3=δ3(ε,η)>0,對(duì)于長方形A3=((u,0),(s,v)]?D,當(dāng)|A3|=(s-u)v<δ3時(shí),

(5)

|A1|=u(t-v)≤M(t-v)

|A3|=(s-u)v≤M(s-u)

.

于是由(3)—(5)式，可得

證畢.