基于線性規(guī)劃的企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃編制問題*

楊伍梅，劉淘文

(1.益陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)課部，湖南 益陽 413049;2.湖南大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院，湖南 長沙 410012)

在生產(chǎn)過程中，企業(yè)希望在現(xiàn)有條件的基礎(chǔ)上制定較合理的生產(chǎn)計(jì)劃，以達(dá)到總盈利最大的目的.編制生產(chǎn)計(jì)劃是企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營管理中的重要環(huán)節(jié)，需同時(shí)考慮生產(chǎn)能力、生產(chǎn)工時(shí)和市場需求等因素，因此非常復(fù)雜，特別是多品種與小批量型企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃的編制更為復(fù)雜[1].目前，許多學(xué)者[2-6]對(duì)編制企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃展開了研究，但對(duì)于多品種與小批量型企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃編制的研究卻不多.為此，筆者采用較直觀、簡便的線性規(guī)劃法來研究這類問題.

1 線性規(guī)劃法與模型描述

自1947年喬治·丹齊格提出求解線性規(guī)劃的單純形方法以來，其理論日益成熟.線性規(guī)劃法具備如下優(yōu)點(diǎn)：

(1)能簡單、準(zhǔn)確地描述各領(lǐng)域中的很多實(shí)際問題，易建立數(shù)學(xué)模型；

(2)有較實(shí)用、有效的方法對(duì)模型進(jìn)行求解；

(3)利用靈敏度分析，較容易處理實(shí)際問題中不斷變化的數(shù)據(jù)[7].

能用線性規(guī)劃法來求解的問題往往具備如下特點(diǎn)：

(1)可以用一組設(shè)計(jì)變量xi(i=1,2,…,n)來表示一種實(shí)施方案；

(2)每個(gè)問題都有一定的約束條件，且可以用線性等式gj(x)=0(j=1,2,…,p)或線性不等式hk(x)≤0(k=1,2,…,l)來描述；

(3)有一個(gè)用來衡量方案優(yōu)劣的目標(biāo)函數(shù)f(x)，且可以表示為設(shè)計(jì)變量xi(i=1,2,…,n)的一個(gè)線性函數(shù).

由于研究的目的是使目標(biāo)函數(shù)取得最小值或最大值[8]，因此線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型的一般形式為

minf(x)=c1x1+c2x2+…+cnxn

s.t.gj(x)=0j=1,2,…,p,

hk(x)≤0k=1,2,…,l.

多品種與小批量型企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃的編制完全符合線性規(guī)劃問題的特點(diǎn)，可以運(yùn)用此方法來分析.

2 生產(chǎn)計(jì)劃的編制

2.1 問題描述

已知某工廠需要生產(chǎn)A1,A2,…,Am等m種產(chǎn)品以滿足市場的需求，這m種產(chǎn)品的生產(chǎn)均需要經(jīng)過n道工藝流程.每生產(chǎn)1 kg的產(chǎn)品Ai(1=1,2,…,m)，在第j(j=1,2,…,n)道工藝流程耗時(shí)aij小時(shí)，由于生產(chǎn)計(jì)劃的要求，可供用的第j道工藝流程的工時(shí)為bj小時(shí).在化學(xué)品生產(chǎn)的過程中一般會(huì)伴隨著副產(chǎn)品的生產(chǎn)，該工廠在生產(chǎn)產(chǎn)品Ai的同時(shí)，會(huì)產(chǎn)出副產(chǎn)品C.每生產(chǎn)1 kg的產(chǎn)品Ai會(huì)產(chǎn)生ci千克的副產(chǎn)品C，且不需增加任何費(fèi)用.副產(chǎn)品的利用率使得C中有一部分可盈利，其他部分只能報(bào)廢.

根據(jù)核算，出售1 kg的產(chǎn)品Ai可以盈利li元，出售1 kg的副產(chǎn)品C可以盈利p元，而報(bào)廢1 kg的副產(chǎn)品C會(huì)虧損q元.經(jīng)市場預(yù)測，在計(jì)劃期內(nèi)，副產(chǎn)品C最大銷售量為w千克.那么，應(yīng)如何安排這m種產(chǎn)品的生產(chǎn)，使該工廠的預(yù)計(jì)總盈利達(dá)到最大?

2.2 模型構(gòu)建

因?yàn)楦碑a(chǎn)品C的出現(xiàn)及其限制銷售量使得問題變得復(fù)雜，所以解決該問題的重點(diǎn)是設(shè)計(jì)變量的選取.用xi作為設(shè)計(jì)變量，則副產(chǎn)品C的產(chǎn)量為c1x1+c2x2+…+cmxm，且當(dāng)c1x1+c2x2+…+cmxm>w時(shí)，其中小于w的部分會(huì)產(chǎn)生盈利，超出w的部分會(huì)產(chǎn)生虧損，即副產(chǎn)品C的單位利潤會(huì)在p和-q之間變化.在這個(gè)前提下，總利潤與產(chǎn)量之間就產(chǎn)生了非線性關(guān)系，導(dǎo)致確定目標(biāo)函數(shù)和約束條件時(shí)比較困難.于是，從副產(chǎn)品C的約束條件出發(fā)，因?yàn)楦碑a(chǎn)品C可能產(chǎn)生盈利，也可能產(chǎn)生虧損，所以可設(shè)置相應(yīng)的設(shè)計(jì)變量來表示其產(chǎn)生盈利的部分和產(chǎn)生虧損的部分，即可設(shè)副產(chǎn)品C的銷售量為xm+1，報(bào)廢量為xm+2，從而副產(chǎn)品C的產(chǎn)量為銷售量與報(bào)廢量之和，即xm+1+xm+2.又因?yàn)楦碑a(chǎn)品C是伴隨產(chǎn)品Ai出現(xiàn)的，所以其數(shù)量關(guān)系滿足c1x1+c2x2+…+cmxm=xm+1+xm+2.

用預(yù)計(jì)總盈利作為該問題的目標(biāo)函數(shù)f(x)，則f(x)=l1x1+l2x2+…+lmxm+pxm+1-qxm+2.因產(chǎn)品C的最大銷量為w千克,故有約束條件xm+1≤w.再考慮生產(chǎn)過程中的耗時(shí)，得到約束條件a1jx1+a2jx2+…+amjxm≤bj.綜上可知，該問題的線性規(guī)劃模型為

maxf(x)=l1x1+l2x2+…+lmxm+pxm+1-qxm+2

s.t.c1x1+c2x2+…+cmxm-xm+1-xm+2=0,

xm+1≤w,

a11x1+a21x2+…+am1xm≤b1,

a12x1+a22x2+…+am2xm≤b2,

?

a1nx1+a2nx2+…+amnxm≤bn,

x1,x2,…,xm,xm+1,xm+2≥0.

(1)

2.3 模型求解

2.3.1 線性規(guī)劃問題的MATLAB標(biāo)準(zhǔn)模型 因?yàn)槎嗥贩N與小批量型企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃的編制所牽涉的數(shù)據(jù)較多，計(jì)算較復(fù)雜，所以利用MATLAB軟件進(jìn)行處理.由文獻(xiàn)[9]可知，線性規(guī)劃問題的 MATLAB標(biāo)準(zhǔn)模型為

minf(x)=cTx

s.t.Ax≤b,

Aeqx=beq,

bl≤x≤bu.

其中：x為n維設(shè)計(jì)變量；c為n維列向量；bl和bu分別為由設(shè)計(jì)變量xi的取值下限和上限構(gòu)成的n維列向量；b為m1維列向量；beq為不等式約束條件的常數(shù)項(xiàng)所構(gòu)成的m2維列向量；A為不等式約束條件的m1×n系數(shù)矩陣；Aeq為等式約束條件的m2×n系數(shù)矩陣.

對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)，將模型(1)轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題的MATLAB標(biāo)準(zhǔn)模型，只需將極大化目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為極小化目標(biāo)函數(shù)，即添加負(fù)號(hào)使目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為

f(x)=-l1x1-l2x2-…-lmxm-pxm+1+qxm+2.

2.3.2 MATLAB函數(shù)調(diào)用 MATLAB工具箱中關(guān)于求解線性規(guī)劃問題的命令為linprog.函數(shù)調(diào)用方式有很多種[10]，筆者選用其中最常見的命令[x,fval]進(jìn)行計(jì)算，

[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,bl,bu)，

其中fval是最優(yōu)解向量x處的目標(biāo)函數(shù)值.

2.3.3 數(shù)據(jù)選取 選取一組具體的數(shù)據(jù)(表1)進(jìn)行演算，以說明線性規(guī)劃法的實(shí)效性.

表1 每千克產(chǎn)品的各工序耗時(shí)、副產(chǎn)品產(chǎn)量及利潤情況Table 1 Time-Consuming in Each Process,By-Product Output,ProfitPer Unit of Product

此外，副產(chǎn)品C的最大銷量w為180 kg，每銷售1 kg的C的盈利p為100元，每報(bào)廢1 kg的C的虧損q為60元.將這些數(shù)據(jù)代入模型(1)，得到

maxf(x)=600x1+1 000x2+800x3+100x4-60x5

s. t. 3x1+2x2+2.5x3-x4-x5=0,

x4≤180,

4x1+6x2+4x3≤400,

6x1+8x2+4x3≤500,

3x1+5x2+4x3≤300,

4x1+8x2+5x3≤500,

x1,x2,x3,x4,x5≥0.

(2)

2.3.4 計(jì)算結(jié)果 利用MATLAB軟件對(duì)模型(2)進(jìn)行求解,得到

x1=16.691 0,x2=23.357 7,x3=33.284 7,x4=180.000 0,x5=0.000 0,

且目標(biāo)函數(shù)fval=-7.800 0×104.由運(yùn)行結(jié)果可知，當(dāng)產(chǎn)品A1的產(chǎn)量為16.691 0 kg，產(chǎn)品A2的產(chǎn)量為23.357 7 kg，產(chǎn)品A3的產(chǎn)量為33.284 7 kg時(shí)，該工廠預(yù)計(jì)總盈利的最大值為780 000元，且副產(chǎn)品C的產(chǎn)量恰好為可銷售的最大值180 kg.

為了驗(yàn)證線性規(guī)劃法的可行性和有效性，將其與整數(shù)規(guī)劃法進(jìn)行對(duì)比.采用整數(shù)規(guī)劃法來計(jì)算工廠的總盈利，得到

x1=29,x2=32,x3=11,x4=179,x5=0,

總盈利的最大值為76 100元.從這2種方法所得的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，采用線性規(guī)劃法求得的總盈利的最大值比采用整數(shù)規(guī)劃法求得的多1 900元.由此可知，在編制多品種與小批量型企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃時(shí)，采用線性規(guī)劃法有一定的優(yōu)越性.

3 結(jié)語

采用線性規(guī)劃法對(duì)多品種與小批量型企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃的編制問題建立了數(shù)學(xué)模型，并利用MATLAB軟件就一組具體數(shù)據(jù)進(jìn)行求解，得到精確的最優(yōu)解.再采用WPS中的規(guī)劃求解工具進(jìn)行計(jì)算，將這2種方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比發(fā)現(xiàn)，基于線性規(guī)劃法的生產(chǎn)計(jì)劃編制更具可行性和有效性，為企業(yè)生產(chǎn)過程中的計(jì)劃編制提供了科學(xué)依據(jù).