軸對(duì)稱層流到湍流轉(zhuǎn)捩區(qū)間速度和溫度的振蕩統(tǒng)計(jì)特性研究

張若凌, 樂嘉陵

(中國空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心 高超聲速?zèng)_壓發(fā)動(dòng)機(jī)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 四川 綿陽 621000)

0 引 言

在轉(zhuǎn)捩區(qū)間流體的流動(dòng)會(huì)出現(xiàn)兩種典型的瞬時(shí)不規(guī)則流動(dòng)，稱為Puff和Slug，它們均與常規(guī)的湍流不同[1,3]。這是間歇性理論不能解釋的。在轉(zhuǎn)捩區(qū)間流體軸向速度的振蕩，具有確定的且僅與Re有關(guān)的統(tǒng)計(jì)特性[2]。流動(dòng)振蕩的統(tǒng)計(jì)特性在轉(zhuǎn)捩區(qū)間內(nèi)如何演化發(fā)展，缺乏理解。從1883年至今已過去了130多年，對(duì)于層流到湍流的轉(zhuǎn)捩過程仍然沒有廣為接受的理論進(jìn)行解釋。

流體力學(xué)方程也稱為N-S方程，用來描述流體的流動(dòng)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果說明，圓管內(nèi)的Hagen-Poiseuille流動(dòng)是線性穩(wěn)定的，即使在Re很大時(shí)也需要有限幅度的擾動(dòng)才能激發(fā)轉(zhuǎn)捩[3-4]。在一定的流量或Re條件下，許多證據(jù)均使人產(chǎn)生這種看法，即圓管內(nèi)流動(dòng)的非線性流體力學(xué)方程至少有兩類解，一類是層流解，另一類是物理量有明顯脈動(dòng)的湍流解。如果視轉(zhuǎn)捩區(qū)間的流動(dòng)為第三類解，那么可以認(rèn)為圓管內(nèi)流動(dòng)的流體力學(xué)方程有三類解。轉(zhuǎn)捩為什么開始，隨著Re增加如何演化發(fā)展，加上流體力學(xué)方程解的唯一性問題，對(duì)流體力學(xué)提出了巨大挑戰(zhàn)。圓管內(nèi)轉(zhuǎn)捩流動(dòng)的本質(zhì)仍是流體力學(xué)的一個(gè)未解之謎，轉(zhuǎn)捩區(qū)間的對(duì)流傳熱特性也是如此。

有的層流到湍流的轉(zhuǎn)捩很早就被視作是非平衡熱力學(xué)系統(tǒng)的相變[5]。序參數(shù)通常與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或?qū)ΨQ性相關(guān)，用于描述平衡系統(tǒng)的相變(如正常導(dǎo)體到超導(dǎo)體的變化)。Landau和Lifshitz在給出熱力學(xué)平衡系統(tǒng)第二類相變的處理方法時(shí)，討論了序參數(shù)的振蕩[6]?？拷嘧凕c(diǎn)時(shí)，存在一個(gè)很窄的溫度區(qū)間，其中熱力學(xué)函數(shù)的物理本質(zhì)取決于序參數(shù)振蕩的反常增加。這個(gè)區(qū)間稱為振蕩區(qū)間，序參數(shù)的振蕩占據(jù)主導(dǎo)地位。在圓管內(nèi)層流到湍流的轉(zhuǎn)捩過程中，已經(jīng)測量到很大的振蕩[2,7-8]。層流到湍流的轉(zhuǎn)捩和平衡系統(tǒng)的連續(xù)相變之間，已發(fā)現(xiàn)驚人的相似性。盡管文獻(xiàn)[9]指出，許多關(guān)于平衡相變的認(rèn)識(shí)可以推廣應(yīng)用到非平衡情形，但采用非平衡相變觀點(diǎn)來對(duì)流動(dòng)轉(zhuǎn)捩進(jìn)行的討論仍然很少。

在本文中，關(guān)于熱力學(xué)平衡系統(tǒng)連續(xù)相變的理論方法，被推廣用來討論層流到湍流轉(zhuǎn)捩區(qū)間的軸對(duì)稱流動(dòng)特性。討論共分3個(gè)步驟。第一步，給出層流到湍流的轉(zhuǎn)捩和平衡系統(tǒng)的連續(xù)相變之間的相似性，并給出關(guān)于后者采用序參數(shù)的通用熱力學(xué)理論方法。第二步，在每一個(gè)截面上轉(zhuǎn)捩流動(dòng)被分解成充分發(fā)展區(qū)的層流和湍流成分，采用的假設(shè)是在轉(zhuǎn)捩區(qū)間和充分發(fā)展區(qū)的湍流中徑向脈動(dòng)速度在數(shù)值上完全相同。湍流成分的合成比例作為序參數(shù)用來定義合成流動(dòng)。引入合成比例的振蕩后，運(yùn)用最小熵產(chǎn)生準(zhǔn)則[5]得到一個(gè)可以描述轉(zhuǎn)捩行為的方程。論述了對(duì)于轉(zhuǎn)捩流動(dòng)的理解方法，指出了本文推導(dǎo)方法與平衡相變熱力學(xué)理論的相同之處。采用相同的處理方法討論了加熱圓管內(nèi)對(duì)流傳熱特性的轉(zhuǎn)捩行為。在最后一步，與實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了對(duì)比，包括流動(dòng)和傳熱實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)果。

1 層流到湍流的轉(zhuǎn)捩和連續(xù)相變之間的相似性

在自然界中相變很常見，常發(fā)生在磁體、液晶、超導(dǎo)體、晶體和液體凝固中。在平衡系統(tǒng)內(nèi)，通過改變熱力學(xué)變量，如溫度、壓強(qiáng)或磁場強(qiáng)度，系統(tǒng)的性質(zhì)會(huì)發(fā)生顯著的變化，此時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)會(huì)發(fā)生轉(zhuǎn)變，進(jìn)入明顯不同的狀態(tài)，這稱為相變[10]。

平衡相變可以分為兩類，即不連續(xù)相變和連續(xù)相變。不連續(xù)相變也稱為一級(jí)相變，相變時(shí)有潛熱發(fā)生，熵的變化是不連續(xù)的。除一級(jí)相變外的所有其他相變統(tǒng)屬于二級(jí)相變或連續(xù)相變，相變時(shí)無潛熱發(fā)生，熵的變化是連續(xù)的[10]。對(duì)于連續(xù)相變，自由能的一階到n-1階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，但是第n階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)(n大于等于2)。Landau和Lifshitz稱連續(xù)相變?yōu)榈诙愊嘧僛6]。

層流到湍流的轉(zhuǎn)捩和平衡系統(tǒng)的連續(xù)相變之間，已發(fā)現(xiàn)顯著的相似性。首先，存在一個(gè)轉(zhuǎn)變發(fā)生時(shí)的臨界點(diǎn)。對(duì)于平衡系統(tǒng)的連續(xù)相變來說，在低于臨界點(diǎn)時(shí)一個(gè)相存在，在高于臨界點(diǎn)時(shí)另外一個(gè)相存在。兩個(gè)相具有明顯不同的行為，分別與其結(jié)構(gòu)或?qū)ΨQ性一致。湍流和層流在很多方面顯著不同，包括流動(dòng)的形貌、流動(dòng)變量的剖面或分布、摩擦因子和熱流等。在和相變的定義對(duì)比之后，可以理解流動(dòng)轉(zhuǎn)捩現(xiàn)象被當(dāng)成非平衡相變的原因。

其次，靠近相變點(diǎn)時(shí)，存在一個(gè)很窄的控制參數(shù)區(qū)間，其中序參數(shù)會(huì)出現(xiàn)很大的振蕩，并支配著系統(tǒng)的性質(zhì)[5]。流動(dòng)的轉(zhuǎn)捩區(qū)間看上去并不窄，似乎與平衡相變的窄的振蕩區(qū)間不同。在平板表面上受控的流動(dòng)轉(zhuǎn)捩，可以在空間上有很長的轉(zhuǎn)捩距離。另外，軸對(duì)稱流動(dòng)的Re可以很容易地處在轉(zhuǎn)捩區(qū)間內(nèi)。對(duì)于軸對(duì)稱流動(dòng)，ReL和ReR的差別實(shí)際上很小，這可以從Durst和ünsal在很大Re范圍內(nèi)進(jìn)行的測量數(shù)據(jù)中看出[2]。對(duì)于平衡系統(tǒng)的連續(xù)相變來說，在接近臨界點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)會(huì)在微觀上進(jìn)行“調(diào)整”，表現(xiàn)出物理量大的振蕩和長程有序，似乎在“預(yù)示”著將進(jìn)入新的狀態(tài)[5]。在圓管內(nèi)的轉(zhuǎn)捩區(qū)間已經(jīng)測得速度有很大的振蕩，比湍流的還大5倍。Durst和ünsal稱速度這種反常的大的振蕩為過沖(Overshoot)[2]。在轉(zhuǎn)捩區(qū)間，流動(dòng)里包含長程相關(guān)(Long Range Correlation)的相干結(jié)構(gòu),表現(xiàn)出集體運(yùn)動(dòng)特性。

第三，在相變點(diǎn)附近大的振蕩，同時(shí)表現(xiàn)出隨機(jī)性和確定性特點(diǎn)。對(duì)于平衡系統(tǒng)的連續(xù)相變來說，在臨界點(diǎn)鄰域里系統(tǒng)的行為和微觀細(xì)節(jié)關(guān)系不大，貌似迥異的系統(tǒng)具有很多相同的性質(zhì)，包括物理量大的振蕩特性[10]。這被稱為平衡相變的臨界普遍性現(xiàn)象。盡管層流到湍流轉(zhuǎn)捩的臨界現(xiàn)象缺乏深入的理解，但是實(shí)驗(yàn)證據(jù)表明轉(zhuǎn)捩行為與擾動(dòng)的產(chǎn)生方法無關(guān)。流動(dòng)擾動(dòng)的不同產(chǎn)生方法，初始擾動(dòng)的不同幅度，不同的起始雷諾數(shù)ReL，導(dǎo)致的轉(zhuǎn)捩均具有相似的過程，大的隨機(jī)振蕩具有相同的僅依賴于Re的統(tǒng)計(jì)特性[2-3]。

除了上述相似性外，層流到湍流的轉(zhuǎn)捩和平衡系統(tǒng)的連續(xù)相變，二者對(duì)研究帶來了兩個(gè)相似的困難或挑戰(zhàn)。首先，二者均給物理學(xué)帶來(或曾經(jīng)帶來)巨大的挑戰(zhàn)。對(duì)于平衡系統(tǒng)來說，配分函數(shù)是否包含對(duì)相變的描述，曾經(jīng)是物理學(xué)家的重大憂慮。配分函數(shù)只是解析因子的求和，但是系統(tǒng)可以表現(xiàn)出相變這樣的奇異行為。對(duì)于圓管內(nèi)層流到湍流的轉(zhuǎn)捩，有的研究者懷疑N-S方程的適用性，有的則懷疑N-S方程是否允許多個(gè)解。其次，難以確定相變或轉(zhuǎn)捩的本質(zhì)，或者說難以解釋其為什么開始。對(duì)于平衡系統(tǒng)的連續(xù)相變，微觀相互作用無疑是產(chǎn)生相變的根源，但是相變的本質(zhì)卻難以理解，相變的預(yù)測也極其困難[10]。這些與圓管內(nèi)層流到湍流的轉(zhuǎn)捩十分相似。即使已知流動(dòng)轉(zhuǎn)捩會(huì)發(fā)生，也難以預(yù)測準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)變點(diǎn)。

上述相似性導(dǎo)致了把圓管內(nèi)層流到湍流的轉(zhuǎn)捩過程當(dāng)成非平衡相變。許多關(guān)于平衡相變的認(rèn)識(shí)可以推廣應(yīng)用到非平衡情形[9]。這很自然地使人采用平衡系統(tǒng)連續(xù)相變的觀點(diǎn)，來理解層流到湍流的轉(zhuǎn)捩流動(dòng)。為此，在下一節(jié)簡要給出處理平衡系統(tǒng)連續(xù)相變的通用熱力學(xué)理論方法。

2 連續(xù)相變的Landau理論

在連續(xù)相變中，一相的結(jié)構(gòu)通常具有較低的對(duì)稱性。例如，在順磁系統(tǒng)向鐵磁系統(tǒng)的相變中，自發(fā)磁化出現(xiàn)，從而在空間選出了一個(gè)確定的方向，轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱性被打破。在超導(dǎo)相變中被打破的是規(guī)范對(duì)稱性。在相變時(shí)一部分電子能夠形成“束縛對(duì)”，這些“束縛對(duì)”形成一個(gè)宏觀占據(jù)的量子態(tài)，相干地作用著，形成凝聚相。當(dāng)外加一電場時(shí)，這個(gè)凝聚相作為整體運(yùn)動(dòng)，不因摩擦而顯著減速[5,10]。

統(tǒng)計(jì)物理認(rèn)為一個(gè)平衡系統(tǒng)的所有統(tǒng)計(jì)信息，都包含在配分函數(shù)Z內(nèi)：

(1)

其中，N是系統(tǒng)內(nèi)的粒子數(shù)，V是其體積，T是其溫度，E是其能量，kB是Boltzmann常數(shù)，i表示系統(tǒng)所有可能的微觀狀態(tài)。系統(tǒng)的Helmholtz自由能或簡稱自由能為:

F(N,V,T)=-kBlnZ(2)

自由能F是一種熱力學(xué)勢[5-6,10]。如果自由能已知，所有可觀測量均可通過F的合適導(dǎo)數(shù)得到。

在相變點(diǎn)系統(tǒng)經(jīng)歷的是定性行為的變化，并發(fā)展出某種前所未有的有序。因此系統(tǒng)作為可觀測量的函數(shù)，其變化是不連續(xù)的。如果這個(gè)可觀測量是溫度T，就意味著自由能F(T)在相變點(diǎn)是非解析函數(shù)。這是相變理論的出發(fā)點(diǎn)。非解析函數(shù)在某些點(diǎn)或奇點(diǎn)，它的一些導(dǎo)數(shù)沒有定義。相變點(diǎn)對(duì)應(yīng)于這些自由能奇點(diǎn)的點(diǎn)或點(diǎn)集(在溫度、壓強(qiáng)、磁場等變量的參數(shù)空間)。在經(jīng)過相變點(diǎn)時(shí)自由能是不連續(xù)的從而系統(tǒng)的行為也是不連續(xù)的。

在(1)式中，求和的每一個(gè)指數(shù)項(xiàng)在溫度有限時(shí)均是解析的，配分函數(shù)是這些指數(shù)項(xiàng)的求和，因此直觀上難以理解配分函數(shù)會(huì)有非解析行為。自由能F的奇點(diǎn)的存在性，已被證明是熱力學(xué)極限(N→∞,V→∞，而N/V保持不變)的直接結(jié)果。也就是說，配分函數(shù)的奇異性是熱力學(xué)系統(tǒng)本質(zhì)上無窮多自由度的結(jié)果[5,10-11]。

20世紀(jì)30年代，Ginzburg和Landau提出了一個(gè)連續(xù)相變的理論，把序參數(shù)和系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或?qū)ΨQ性聯(lián)系起來[5]。對(duì)于從無序相到有序相的連續(xù)相變，在臨界點(diǎn)普遍特點(diǎn)是在有序相(具有更少對(duì)稱性)內(nèi)部出現(xiàn)某種新的宏觀參數(shù)。這個(gè)特殊的參數(shù)常常和在臨界點(diǎn)被打破的對(duì)稱性相關(guān)，是系統(tǒng)出現(xiàn)的有序的一種度量，在Ginzburg-Landau理論中稱為序參數(shù)[10]。這個(gè)理論通常也稱為Landau理論，認(rèn)為系統(tǒng)用一個(gè)宏觀態(tài)就足以描述。

在Landau理論中，系統(tǒng)的自由能以這種方式近似：既能夠表現(xiàn)出相變的非解析性，又能夠反映大部分物理。其處理方法主要包含以下4步：

(1) 定義序參數(shù)η。對(duì)確定系統(tǒng)必須定義序參數(shù)，它在無序相為0，在有序相不為0。

(2) 假定自由能函數(shù)形式:

F=F0+FS(T,η)(3)

其中F0是溫度的解析函數(shù)，F(xiàn)S(T,η)包含了所有依賴于η的信息。自由能通過上述函數(shù)對(duì)η求極小值來確定。系統(tǒng)的非解析行為包含在上述函數(shù)的求極小值過程中[5]。

(3) 構(gòu)建FS(T,η)。假定FS(T,η)是η的解析函數(shù)(以多項(xiàng)式展開為典型)，遵從所有與η有關(guān)的對(duì)稱性。這一步是Landau理論中最重要部分，其中包含了系統(tǒng)的大部分物理。

(4) 溫度相關(guān)性。假定所有與溫度相關(guān)的重要特性，都包含在FS(T,η)展開式的最低階項(xiàng)中。記Tc為相變的臨界溫度，F(xiàn)S(T,η)的展開式具有如下典型的形式[5]:

FS(T,η)=α2(T-Tc)η2+α4η4+…(4)

由于FS(T,η)被構(gòu)建為展開式，因此有像α2和α4這樣的未知參數(shù)。對(duì)一個(gè)物理系統(tǒng)，這些參數(shù)依賴于溫度。如果它們和溫度的關(guān)系是連續(xù)的，那么在相變點(diǎn)附近可以忽略這些依賴關(guān)系。對(duì)于連續(xù)相變來說，這是嚴(yán)格成立的。

通過構(gòu)建FS(T,η)并對(duì)η求極小值，得到系統(tǒng)的自由能，η作為溫度的函數(shù)得以確定，相變的本質(zhì)就確定了。這意味著η的平衡值滿足：

(5)

這里可以看出Landau理論的精神，該精神清楚地表述在文獻(xiàn)[6]中。在對(duì)待序參數(shù)的處理方法中，η不是先作為溫度(和其他變量)的確定函數(shù)，而是先作為獨(dú)立變量，然后其平均值通過對(duì)自由能或熱力學(xué)勢求極小值來確定。在Landau理論中系統(tǒng)采用均勻或平均狀態(tài)來表征，因此它是一個(gè)平均場理論，在其處理方法中忽略了相變點(diǎn)附近序參數(shù)的振蕩。

對(duì)于平衡系統(tǒng)，粒子間的微觀相互作用是產(chǎn)生相變的根本原因[10]。在相變點(diǎn)附近，粒子間的微觀相互作用給自由能帶來了額外項(xiàng)，它們與系統(tǒng)在相變前后不同的結(jié)構(gòu)或?qū)ΨQ性相關(guān)。盡管平衡相變的臨界普遍性現(xiàn)象在很大程度上得以解釋，對(duì)許多情形只能近似確定相變點(diǎn)，原因是不清楚如何精確定量地描述這些微觀相互作用。

Landau理論把額外的自由能當(dāng)成溫度和包括η在內(nèi)的其他變量的解析函數(shù)[10]。這些與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)或?qū)ΨQ性相關(guān)的額外項(xiàng)是序參數(shù)的非線性函數(shù)，在有的情形其形式如(4)式。這種非線性為系統(tǒng)的多種行為提供了可能性，可以從圖1看出。

圖1 兩相自由能的變化

圖1示意了在相變點(diǎn)附近兩相自由能的變化。實(shí)線表示現(xiàn)實(shí)中存在的兩相，虛線表示假想沒有發(fā)生相變時(shí)的兩相。可以看出系統(tǒng)有兩個(gè)相，F(xiàn)取極小值要求在交點(diǎn)J處發(fā)生相變。離開J點(diǎn)，兩相具有不同的結(jié)構(gòu)或?qū)ΨQ性，采用序參數(shù)η表示。最小自由能原理確定現(xiàn)實(shí)中哪一相存在。

從圖1可以看出，真實(shí)的相變點(diǎn)是系統(tǒng)熱力學(xué)函數(shù)的奇點(diǎn)。對(duì)于連續(xù)相變，相變點(diǎn)J等價(jià)于振蕩區(qū)間，其中系統(tǒng)的物理本質(zhì)由序參數(shù)振蕩的反常增加而決定。這種振蕩的增加，是由相變點(diǎn)附近最小自由能的扁平化造成的。在相變點(diǎn)附近，對(duì)應(yīng)于不同η的自由能其差別如此之小，導(dǎo)致在付出自由能代價(jià)很小的情況下，系統(tǒng)的序參數(shù)也可以在很大的范圍內(nèi)自如地振蕩。也可以說，熱力學(xué)勢對(duì)應(yīng)的恢復(fù)力如此之小，以致于系統(tǒng)要花很長時(shí)間才能穩(wěn)定在η平均值對(duì)應(yīng)的狀態(tài)。即使很輕微的擾動(dòng)，對(duì)η平均值的影響也很大，系統(tǒng)內(nèi)η存在很大的隨機(jī)偏離[6]。

在當(dāng)代Landau理論是一個(gè)通用的相變理論[10]。作為一個(gè)平均場理論，它在振蕩區(qū)間失效。但是它得到的如(3)式那樣的近似自由能，是考察振蕩效應(yīng)的自然出發(fā)點(diǎn)。在文獻(xiàn)[6]中采用這種近似的自由能討論了序參數(shù)的振蕩。在給定溫度(和其他除了η外的變量)下，使系統(tǒng)離開平均狀態(tài)所需要的最小功，等于η的變化引起的熱力學(xué)勢的變化δF。在這些條件下，振蕩幾率w為:

(6)

(7)

振蕩幾率w為：

(8)

因此振蕩的方均根值為：

(9)

可以用感受率χ來代替上式中的導(dǎo)數(shù)：

(10)

感受率χ的定義在文獻(xiàn)[6]中給出，(4)式成立時(shí)其表達(dá)式為:

對(duì)于T>Tc；

3 采用非平衡相變觀點(diǎn)對(duì)軸對(duì)稱層流到湍流轉(zhuǎn)捩的理解

為了簡潔，本節(jié)僅考慮沒有傳熱發(fā)生的流動(dòng)。如果沒有傳熱，很容易在圓管內(nèi)產(chǎn)生沒有進(jìn)口效應(yīng)且看上去間歇的軸對(duì)稱流動(dòng)，其雷諾數(shù)處于轉(zhuǎn)捩區(qū)間。這樣，可以很方便地研究確定雷諾數(shù)下的軸對(duì)稱轉(zhuǎn)捩流動(dòng)。

非線性流體力學(xué)方程能夠準(zhǔn)確描述流體的流動(dòng)。對(duì)于層流、轉(zhuǎn)捩和湍流流動(dòng)，可以把下面的三維非定常N-S方程組作為研究出發(fā)點(diǎn)[12]：

·(ρv)=0(12)

(14)

這里主要對(duì)圖2所示的圓管內(nèi)的流動(dòng)感興趣。如果管子的長徑比很大(如大于500)，就可以研究進(jìn)口效應(yīng)可忽略的充分發(fā)展區(qū)的定常流動(dòng)。在圖2中，離入口更遠(yuǎn)的顏色較深區(qū)域里的流動(dòng)屬于充分發(fā)展區(qū)的定常流動(dòng)。對(duì)于圓管內(nèi)充分發(fā)展區(qū)的定常層流和湍流，流體力學(xué)方程可以簡化[12-13]，分別寫成下述2個(gè)方程：

(15)

圖2 圓管內(nèi)的流動(dòng)示意

Fig.2Schematicdiagramoftheflowinacirculartube

流體力學(xué)系統(tǒng)的熵平衡方程在文獻(xiàn)[5]和[16]中給出。對(duì)于無傳熱發(fā)生的流動(dòng)，熵平衡方程為：

其中，s表示流體微元的熵，上標(biāo)S表示對(duì)稱，(v)S是對(duì)應(yīng)于張量v的跡為0的對(duì)稱張量，算子∶表示張量的縮并。在軸對(duì)稱坐標(biāo)系中，(v)S為：

(18)

由于流體微元內(nèi)伴隨分子碰撞的耗散過程，熵平衡方程具有源項(xiàng)，采用(17)式的右端項(xiàng)來描述。這些耗散過程改變著機(jī)械運(yùn)動(dòng)速度的非平衡(非均勻)分布，驅(qū)使流體微元趨向平衡，并產(chǎn)生熵增。(17)式右端的整個(gè)源項(xiàng)稱為熵產(chǎn)生σ，在軸對(duì)稱坐標(biāo)系中為：

(19)

對(duì)于圓管內(nèi)充分發(fā)展區(qū)的層流，

(20)

對(duì)于圓管內(nèi)充分發(fā)展區(qū)的湍流，

(21)

在上兩式中，下標(biāo)Lam表示層流，下標(biāo)Turb表示湍流。

熵平衡方程可以由(12)和(13)式以及能量守恒方程推導(dǎo)得到[5,12,16]。在推導(dǎo)過程中，利用了一些熱力學(xué)平衡關(guān)系式，如狀態(tài)方程，這在局部平衡假設(shè)(機(jī)械運(yùn)動(dòng)速度的非均勻分布對(duì)熱力學(xué)關(guān)系式影響不大)下成立。由于可以從其他流體力學(xué)方程導(dǎo)出，熵平衡方程并不給出關(guān)于非平衡系統(tǒng)的額外信息，在很多的實(shí)際求解過程中沒有顯式地利用它。這與平衡系統(tǒng)的情況是一致的。對(duì)于平衡系統(tǒng)，熱力學(xué)第二定律很少顯現(xiàn)在實(shí)際求解應(yīng)用中(除了出現(xiàn)多解的情形，如去除膨脹激波解)。最小自由能原理可以從熱力學(xué)第二定律導(dǎo)出，如果沒有相變發(fā)生(系統(tǒng)處于已知的相態(tài))，也很少顯現(xiàn)在實(shí)際求解應(yīng)用中。它們?cè)谀切┣蠼膺^程中是自動(dòng)滿足的。

非平衡系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于一些參數(shù)或參數(shù)的組合[5,18]。當(dāng)這些參數(shù)或組合靠近臨界點(diǎn)時(shí)，流體力學(xué)方程的非線性使系統(tǒng)變得不穩(wěn)定，此時(shí)就會(huì)發(fā)生非平衡相變。每個(gè)穩(wěn)定的非平衡相要求這些參數(shù)或組合滿足一定的條件。在兩個(gè)不同的相之間，有一個(gè)轉(zhuǎn)捩區(qū)間，其中有很大的振蕩發(fā)生。正如McComb所述[7]，在圓管流動(dòng)實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)流速達(dá)到一定數(shù)值時(shí)，會(huì)達(dá)到臨界Re，壓力計(jì)的讀數(shù)開始劇烈震蕩。這種現(xiàn)象在一個(gè)速度區(qū)間內(nèi)一直持續(xù)，直到流速達(dá)到某個(gè)數(shù)值，壓力計(jì)讀數(shù)恢復(fù)平穩(wěn)，隨后壓力計(jì)讀數(shù)保持平穩(wěn)。McComb稱此為“奇怪效應(yīng)”。

層流流動(dòng)中的擾動(dòng)表現(xiàn)為速度的脈動(dòng)，盡管流動(dòng)轉(zhuǎn)捩需要它們，但是轉(zhuǎn)捩行為與擾動(dòng)產(chǎn)生的方法無關(guān)。采用不同方式來產(chǎn)生流動(dòng)擾動(dòng)，初始擾動(dòng)的幅度不同，轉(zhuǎn)捩的起始Re不同，導(dǎo)致的轉(zhuǎn)捩均具有相似的過程，大的振蕩具有相同的依賴于Re的統(tǒng)計(jì)特性[2-3]。

湍流流動(dòng)包含有相干結(jié)構(gòu)，使得其與層流流動(dòng)顯著不同。在非平衡相變中常常觀察到具有對(duì)稱特點(diǎn)的結(jié)構(gòu)形態(tài)。相變時(shí)，系統(tǒng)在時(shí)間和/或空間上的對(duì)稱性被打破，新的非平衡態(tài)展現(xiàn)出比初始態(tài)更多的結(jié)構(gòu)。這些新的動(dòng)力學(xué)形態(tài)被Prigogine稱為“耗散結(jié)構(gòu)”(Dissipative Structures)[19]。由于對(duì)非平衡熱力學(xué)的貢獻(xiàn)，尤其是耗散結(jié)構(gòu)理論，Prigogine在1977年被授予Nobel化學(xué)獎(jiǎng)。

從上述論述可以看出，層流到湍流的轉(zhuǎn)捩過程，可以理解為非平衡相變。理解要點(diǎn)如下：

(1) 層流和湍流流動(dòng)是圓管內(nèi)軸對(duì)稱流動(dòng)的兩個(gè)非平衡相，兩相之間會(huì)發(fā)生轉(zhuǎn)捩。轉(zhuǎn)捩受流動(dòng)參數(shù)(參數(shù)組合為Re)控制，并需要層流流動(dòng)中表現(xiàn)為速度脈動(dòng)的擾動(dòng)。

(2) 當(dāng)Re靠近臨界點(diǎn)時(shí)，流體力學(xué)方程中的非線性使流動(dòng)變得不穩(wěn)定，此時(shí)會(huì)開始非平衡相變即轉(zhuǎn)捩。轉(zhuǎn)捩時(shí)，流動(dòng)變量會(huì)出現(xiàn)大的振蕩，預(yù)示著流動(dòng)將進(jìn)入新的狀態(tài)。流動(dòng)系統(tǒng)中的宏觀振蕩同時(shí)表現(xiàn)出隨機(jī)性和確定性的特點(diǎn)。

(3) 在轉(zhuǎn)捩后，新的穩(wěn)定非平衡態(tài)為湍流流動(dòng)，其內(nèi)包含特有的結(jié)構(gòu)形態(tài)。湍流內(nèi)新的結(jié)構(gòu)形態(tài)類同于耗散結(jié)構(gòu)。

(4) 難以準(zhǔn)確預(yù)測轉(zhuǎn)捩點(diǎn)，湍流內(nèi)新的結(jié)構(gòu)形態(tài)的細(xì)節(jié)也難以準(zhǔn)確描述。

上述要點(diǎn)與平衡系統(tǒng)連續(xù)相變的特點(diǎn)是一致的。仿照第2節(jié)給出的Landau理論的步驟，最小熵產(chǎn)生的穩(wěn)定性準(zhǔn)則可以用來處理圓管內(nèi)的流動(dòng)轉(zhuǎn)捩。為了應(yīng)用此準(zhǔn)則，首先要找到表征轉(zhuǎn)捩的序參數(shù)和熵產(chǎn)生。由于轉(zhuǎn)捩點(diǎn)難以準(zhǔn)確預(yù)測，對(duì)轉(zhuǎn)捩區(qū)間內(nèi)宏觀振蕩的理解應(yīng)當(dāng)成為研究重點(diǎn)。

4 圓管內(nèi)層流到湍流轉(zhuǎn)捩中的振蕩

4.1 合成流動(dòng)觀點(diǎn)

對(duì)于轉(zhuǎn)捩流動(dòng)，在合成流動(dòng)觀點(diǎn)成立時(shí)x方向速度的變化為:

(22)

其中下標(biāo)Tran表示轉(zhuǎn)捩，層流和湍流的物理量的表示方法與(15)和(16)式中的一樣。(16)式可以改寫為:

(23)

(24)

現(xiàn)在可以看出，對(duì)于轉(zhuǎn)捩流動(dòng)，沿x方向合成的平均速度為:

(25)

沿x方向合成的脈動(dòng)速度為:

(26)

沿r方向合成的平均速度為0，沿r方向合成的脈動(dòng)速度為:

(27)

4.2 序參數(shù)和它的振蕩

(29)

沿x方向合成的脈動(dòng)速度為:

(30)

(31)

4.3 平均合成熵產(chǎn)生

(32)

在導(dǎo)出(32)式時(shí)，利用了形如(31)式的一些統(tǒng)計(jì)無關(guān)性關(guān)系式。

(32)式的右端項(xiàng)，使人想到處于平衡態(tài)的二元混合物的自由能，其相變的處理方法在文獻(xiàn)[5]和[10]中給出。仿照二元混合物混合自由能的定義[10]，對(duì)于圓管內(nèi)轉(zhuǎn)捩流動(dòng)的一個(gè)流體微元，其平均合成熵產(chǎn)生定義為:

(33)

其中下標(biāo)c表示合成。

(34)

關(guān)于相變的Landau理論不考慮序參數(shù)的振蕩，因此在振蕩區(qū)間不適用[6,10]。在振蕩區(qū)間，熱力學(xué)勢不能僅僅展開成序參數(shù)(和其空間導(dǎo)數(shù))和其他熱力學(xué)變量的函數(shù)。這里考慮了η的振蕩。推導(dǎo)(34)式的過程，在對(duì)待序參數(shù)的處理方式上與Landau理論的精神一致，也就是說，在通過對(duì)熱力學(xué)勢求極值來確定序參數(shù)時(shí)把它看成是與熱力學(xué)變量地位相同的獨(dú)立變量[6]。

(34)式表明包括振蕩在內(nèi)的轉(zhuǎn)捩行為，與層流或時(shí)間平均湍流的剖面信息無關(guān)。這與相變的臨界現(xiàn)象一致?？拷R界點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)的微觀性質(zhì)不影響系統(tǒng)的熱力學(xué)行為，不同的系統(tǒng)可以有許多相似的性質(zhì)[10]。

文獻(xiàn)[10]中給出的二元混合物相變的處理方法等價(jià)于Ising模型，其平均場處理步驟完全對(duì)應(yīng)于在第2節(jié)給出的Landau理論的步驟。表1列出了二元混合物相變和圓管內(nèi)流動(dòng)轉(zhuǎn)捩的對(duì)比。

表1 二元混合物相變和圓管內(nèi)流動(dòng)轉(zhuǎn)捩的對(duì)比Table 1 Analogies between the phase transition of a binary mixture and the flow transition

4.4 無傳熱發(fā)生時(shí)在轉(zhuǎn)捩區(qū)間的振蕩

(35)

(36)

(37)

(38)

滿足所有這些條件的解為:

(39)

常數(shù)C為:

(40)

4.5 有對(duì)流傳熱發(fā)生時(shí)在轉(zhuǎn)捩區(qū)間的振蕩

如果圖2所示的圓管由鋼制成，且在管子兩端有電勢差，那么電流和管壁電阻一起作用會(huì)在管壁內(nèi)會(huì)產(chǎn)生熱量。當(dāng)流體(如正十烷)在管內(nèi)低速流動(dòng)時(shí)，會(huì)發(fā)生在恒定流量和幾乎不變熱流條件下的對(duì)流傳熱。

在流動(dòng)時(shí)，正十烷吸收熱量后溫度升高，導(dǎo)致密度和粘性系數(shù)降低。在合適的流量、管子內(nèi)徑di和電流等參數(shù)條件時(shí)，正十烷在電加熱圓管中會(huì)建立定常流動(dòng)和對(duì)流傳熱，并且由圖3看出，流動(dòng)的雷諾數(shù)Re可以自入口的不到1000增加至出口的超過10 000。在圖3中，不同溫度和壓強(qiáng)下正十烷的密度ρ、粘性系數(shù)μ和熱傳導(dǎo)率k，采用一個(gè)碳?xì)浠衔锏奈镄猿绦蛴?jì)算得到。自然轉(zhuǎn)捩在Re約為2300時(shí)開始，結(jié)束于另外一個(gè)Re，對(duì)于流動(dòng)小于4000，對(duì)于傳熱小于10 000[13,20-21]。因此，這個(gè)特殊的加熱流動(dòng)使得可以研究在管內(nèi)完整的無明顯進(jìn)口效應(yīng)的轉(zhuǎn)捩過程。

圖3 加熱圓管內(nèi)正十烷的密度、粘性系數(shù)和熱傳導(dǎo)系數(shù)以及流動(dòng)的Re

Fig.3Density,viscosity,thermalconductivityofthefluidandReintheheatedtube

中等熱流情形下流動(dòng)和對(duì)流傳熱的轉(zhuǎn)捩，在文獻(xiàn)[22-23]中已完整給出。整個(gè)推導(dǎo)過程有點(diǎn)冗長。這里對(duì)求解速度和溫度的方程間的相似性感興趣。

對(duì)于時(shí)間平均行為，(16)式為適用于不同類型流動(dòng)的求解速度的通用方程。可以寫出一個(gè)適用于湍流的求解溫度的方程，以此來作為另一通用方程。為了清楚對(duì)比，把它們寫在一起[13]:

(41)

(42)

在(42)式中應(yīng)用了變量分離方法，即:

T(x,r)=Λ(x)+Θ(r),

(43)

在層流、轉(zhuǎn)捩和湍流的流動(dòng)和傳熱里變量剖面的類型分別是確定的，每一流動(dòng)或傳熱類型均具有特有的剖面。流體的熱物性如μ和k受剖面影響。但是決定剖面類型的是Re，熱物性僅能在數(shù)值上影響剖面。可能有人會(huì)說控制(41)和(42)式轉(zhuǎn)捩的參數(shù)不一定相同，這里遵照文獻(xiàn)[20-21]認(rèn)為控制參數(shù)均是Re。這兩個(gè)相似并弱耦合的式子具有這種性質(zhì)，速度剖面的類型不影響溫度剖面的類型，反過來一樣。

流體微元內(nèi)溫度的不均勻分布給熵平衡方程帶來更多的項(xiàng)。(17)式變?yōu)閇5]:

(44)

可以看出這些額外項(xiàng)是溫度梯度的平方項(xiàng)。在熵產(chǎn)生中，與溫度和速度梯度相關(guān)的項(xiàng)是分離的，沒有二者之間的耦合項(xiàng)。

(45)

其中層流和湍流變量的表示方法與(15)和(16)式中的一樣。

可以看出對(duì)于傳熱類型的轉(zhuǎn)變，可以類似地定義平均合成熵產(chǎn)生。在應(yīng)用最小熵產(chǎn)生穩(wěn)定性準(zhǔn)則后，可以得到與(34)和(39)式相同的式子。不同的序參數(shù)，意味著對(duì)于流動(dòng)和傳熱類型的轉(zhuǎn)變，允許相似和獨(dú)立的過程。這與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致。傳熱實(shí)驗(yàn)表明，溫度剖面的自然轉(zhuǎn)捩在ReL約為2300時(shí)開始，在ReR約為10 000時(shí)結(jié)束[20-21]。對(duì)于速度剖面的轉(zhuǎn)捩，流動(dòng)速度振蕩的測量結(jié)果說明，ReL和ReR的差別要小得多[2]。

5 與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比

5.1 常溫水的軸對(duì)稱流動(dòng)

在文獻(xiàn)[2,8,24]中，采用常溫水進(jìn)行了大量沒有傳熱發(fā)生的管流實(shí)驗(yàn)，包括較多強(qiáng)迫轉(zhuǎn)捩和少量自然轉(zhuǎn)捩實(shí)驗(yàn)。由于Re正比于水的質(zhì)量流量，不同Re的實(shí)驗(yàn)可以通過改變水的流量來進(jìn)行。這樣，可以方便地測得在ReL和ReR之間不同Re時(shí)軸向速度及其脈動(dòng)的統(tǒng)計(jì)特性。本文的推導(dǎo)可以用來解釋這些統(tǒng)計(jì)特性。

(46)

(47)

為與實(shí)際流動(dòng)進(jìn)行對(duì)比，這里考慮了層流內(nèi)速度的脈動(dòng)強(qiáng)度(通常很小)。

圖4 在轉(zhuǎn)捩區(qū)間里r=0處I的大的過沖

如圖4所示，(47)式給出中心線上I最大值為20.7%(在(39)式的θ等于0.07π時(shí))。圖4中I的形狀和數(shù)值可以與文獻(xiàn)[2]的測量進(jìn)行對(duì)比，在文獻(xiàn)[2]中測量的最大值約為20%。在轉(zhuǎn)捩區(qū)間軸向速度的脈動(dòng)強(qiáng)度有時(shí)比湍流的5倍還大，這種大的過沖源于η的振蕩。文獻(xiàn)[2]還報(bào)道，這種軸向速度脈動(dòng)的過沖現(xiàn)象，沒有導(dǎo)致摩阻系數(shù)的過沖。本文推導(dǎo)也能解釋這種現(xiàn)象。

圖5 r=0處的對(duì)比

圖6 r=0處u′的對(duì)比

文獻(xiàn)[7]提到一個(gè)“奇怪效應(yīng)”(Strange Effect)。在管道流動(dòng)實(shí)驗(yàn)中，對(duì)于層流和湍流，壓力計(jì)的讀數(shù)保持平穩(wěn)，但是在轉(zhuǎn)捩區(qū)間里壓力計(jì)的讀數(shù)劇烈震蕩。這個(gè)現(xiàn)象能夠采用在轉(zhuǎn)捩區(qū)間里η的振蕩來進(jìn)行解釋。

5.2 一個(gè)加熱圓管內(nèi)的轉(zhuǎn)捩

為進(jìn)行超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)的冷卻設(shè)計(jì)，多年來碳?xì)浠衔镌陔娂訜釄A管內(nèi)的流動(dòng)和傳熱引起了一些興趣[25-26]。如果較冷的流體自較熱的表面流過，二者之間會(huì)發(fā)生對(duì)流傳熱。工程上采用Nusselt數(shù)(Nu)這個(gè)無量綱數(shù)來表示表面上對(duì)流傳熱的強(qiáng)弱?？梢园袾u的定義式寫為[20-21]：

(48)

其中q是表面上的熱流，d是管子內(nèi)徑，Tw是表面溫度，對(duì)于內(nèi)部流動(dòng)Tf是流體的平均溫度。

傳熱關(guān)系式把Nu與Re和Prandtl數(shù)(Pr)聯(lián)系起來，指的是下述關(guān)系式：

Nu=f(Re,Pr)(49)

層流和湍流有顯著不同的傳熱關(guān)系式，在工程應(yīng)用里都可以當(dāng)做通用關(guān)系式。在采用(48)式計(jì)算時(shí)，Tw的數(shù)值取決于Nu。因此，碳?xì)淙剂系膫鳠彡P(guān)系式對(duì)冷卻通道的設(shè)計(jì)具有重要意義。

文獻(xiàn)[27]采用電加熱管對(duì)不同傳熱類型的Nu關(guān)系式進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究。通過測量電流、管子的電阻、流體的質(zhì)量流量、管子直徑和厚度、外壁溫度以及流體在進(jìn)出口的溫度和壓強(qiáng)，來確定傳熱關(guān)系式。在轉(zhuǎn)捩區(qū)間發(fā)現(xiàn)Nu關(guān)系式的實(shí)驗(yàn)結(jié)果為[27]：

NuTran=(1-η)NuLam+ηNuTurb

(50)

這表明在轉(zhuǎn)捩區(qū)間里，NuTran形式上為相同Re下層流傳熱Nusselt數(shù)(NuLam)和湍流傳熱Nusselt數(shù)(NuTurb)的權(quán)重疊加，并且實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明權(quán)重因子η與(39)式一樣。文獻(xiàn)[27]的數(shù)據(jù)在圖7中給出，其中Nu表達(dá)式采用的是這種權(quán)重疊加規(guī)律。

圖7 電加熱管外壁溫度和Nu的對(duì)比[27]

Fig.7OuterwalltemperatureandNucomparisonsinanelectricallyheatedtube[27]

這個(gè)圓管內(nèi)加熱流動(dòng)的獨(dú)特之處，在于其中包含了完整的從層流到湍流的流動(dòng)和傳熱類型的轉(zhuǎn)變過程。在轉(zhuǎn)變過程中，采用η來描述合成流動(dòng)。在轉(zhuǎn)捩區(qū)間流動(dòng)和傳熱的演化，由從(35)式導(dǎo)出的(39)式來描述。(35)式確定的是η的振蕩，不同形式的(35)式和不同的限制條件，會(huì)導(dǎo)致不同于(39)式的結(jié)果。從上述與實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的對(duì)比可以得出，對(duì)于圓管內(nèi)的流動(dòng)和對(duì)流傳熱，在轉(zhuǎn)捩區(qū)間的振蕩特性和轉(zhuǎn)捩行為可以用本文的推導(dǎo)進(jìn)行解釋。在轉(zhuǎn)捩過程中，η的振蕩控制著轉(zhuǎn)捩的演化，宏觀振蕩同時(shí)存在隨機(jī)性和確定性的特點(diǎn)。

6 結(jié) 論

軸對(duì)稱層流到湍流的轉(zhuǎn)捩和在轉(zhuǎn)捩區(qū)間速度和溫度的振蕩，可以采用合成流動(dòng)的觀點(diǎn)、合成比例的振蕩以及最小熵產(chǎn)生穩(wěn)定性準(zhǔn)則來進(jìn)行解釋。

(2) 在轉(zhuǎn)捩區(qū)間合成比例會(huì)發(fā)生振蕩，這種振蕩控制著轉(zhuǎn)捩行為。在轉(zhuǎn)捩過程中，流體的軸向速度(和溫度)的大的振蕩，主要由合成比例的振蕩引起。在宏觀振蕩中同時(shí)具有隨機(jī)性和確定性的特點(diǎn)。

(3) 圓管內(nèi)層流到湍流的轉(zhuǎn)捩過程，可以與熱力學(xué)平衡系統(tǒng)的連續(xù)相變進(jìn)行比較。描述后者的序參數(shù)和振蕩區(qū)間等概念，可以在前者的研究中采用。

(4) 對(duì)于在圓管內(nèi)流動(dòng)和傳熱類型的轉(zhuǎn)變，允許相似和獨(dú)立的過程。