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    p階零級(jí)的亞純函數(shù)的Borel例外值

    2019-05-04 05:50:52
    關(guān)鍵詞:零級(jí)亞純復(fù)數(shù)

    (中山開放大學(xué),廣東 中山,528402)

    1 引言與主要結(jié)果

    定理A如果f(z)是超越的全純函數(shù),其增長(zhǎng)級(jí)滿足:0<ρ(f)<∞,這里

    則對(duì)于任意有限復(fù)數(shù)a,都有

    μ(f-a)=ρ(f)

    至多有一個(gè)a值例外,其中μ(f-a)稱為f(z)-a的零點(diǎn)序列的收斂指數(shù),可根據(jù)如下定義1給出.

    定義1給定復(fù)數(shù)序列{zn},滿足條件:0<|z1|≤|z2|≤… (如果{zn}是無(wú)窮序列,則有|zn|→∞(n→∞)).用n(r)表示圓盤Dr={z:|z|≤r}內(nèi)所含序列{zn}中復(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)(按重?cái)?shù)計(jì)算),稱之為序列{zn}的計(jì)數(shù)函數(shù). 令

    稱其為序列{zn}的收斂指數(shù).

    定理A中的例外值稱為全純函數(shù)f(z)的Borel值.

    1929年,芬蘭數(shù)學(xué)家Nevanlinna發(fā)展了一套理論,引進(jìn)亞純函數(shù)的特征函數(shù)T(r,f),將上述結(jié)果推廣到亞純函數(shù)[3]:

    定理B如果f(z)是超越的亞純函數(shù),其增長(zhǎng)級(jí)滿足:0<ρ(f)<∞,這里

    μ(f-a)=ρ(f)

    至多有兩個(gè)a值例外.

    定理B中的例外值稱為亞純函數(shù)f(z)的Borel值.

    此后,眾多學(xué)者從不同的角度對(duì)上述定理進(jìn)行了推廣[4-6].最近,我們對(duì)于ρ(f)=∞的情形,采用Sato引進(jìn)的方法[7],將Borel定理推廣到具有p階正級(jí)的亞純函數(shù)的情形,給出了如下定理[8].

    μp(f-a)=ρp(f)

    至多有兩個(gè)a值例外.其中

    稱為f(z)的p階增長(zhǎng)級(jí),這里log[1]u=log+u,log[k+1]u=log+{log[k]u}.而μp(f-a)是f(z)-a的零點(diǎn)序列{zn}的p階收斂指數(shù),由下列公式定義:

    當(dāng)f(z)是全純函數(shù)時(shí),其p階增長(zhǎng)級(jí)還可由下式定義

    這里,M(r,f)是f(z)的最大模函數(shù).

    我們稱上述定理中的例外值為亞純函數(shù)f(z)的p階Borel值.

    這些結(jié)果都沒(méi)有論及增長(zhǎng)級(jí)ρp(f)=0的情形.有學(xué)者斷言:ρ(f)=0的亞純函數(shù)沒(méi)有Borel值!其實(shí)不然!我們發(fā)現(xiàn):存在ρ(f)=0的超越亞純函數(shù),有一個(gè)Picard值!當(dāng)然,更可以有一個(gè)Borel值.

    本文,我們采用Juneja等學(xué)者的方法[10],對(duì)滿足ρp(f)=0的亞純函數(shù)的增長(zhǎng)性進(jìn)行更細(xì)致的刻劃,引進(jìn)如下定義.

    定義2給定整數(shù)p≥1,設(shè)f(z)是p階零級(jí)、p-1階無(wú)窮的超越亞純函數(shù),即有:ρp(f)=0,ρp-1(f)=∞.對(duì)于整數(shù)l≥m≥0,稱

    為f(z)的p階零級(jí)增長(zhǎng)型.進(jìn)一步,

    (1) 稱f(z)是p階零級(jí)極小型的,如果存在m≥0,使得:1≤σp(m,m+1;f)<∞;

    (2) 稱f(z)是p階零級(jí)極大型的,如果存在m≥1,使得:0<σp(m,m;f)≤1;

    (3)稱f(z)是p階零級(jí)中間型的,如果對(duì)所有l(wèi)≥m≥0,有:σp(m,l;f)=0或∞.

    當(dāng)f(z)是全純函數(shù)時(shí),其p階零級(jí)增長(zhǎng)型還可由下式定義

    相應(yīng)地,還要對(duì)p階收斂指數(shù)為零的復(fù)數(shù)序列{zn},給出增長(zhǎng)型的概念.

    定義3給定復(fù)數(shù)序列{zn},滿足條件:μp({zn})=0,μp-1({zn})=∞.對(duì)于整數(shù)l≥m≥0,稱

    為{zn}的p階零級(jí)增長(zhǎng)型.進(jìn)一步,

    (1) 稱{zn}是p階零級(jí)極小型的,如果存在m≥0,使得:1≤λp(m,m+1;{zn})<∞;

    (2) 稱{zn}是p階零級(jí)極大型的,如果存在m≥1,使得:0<λp(m,m;{zn})≤1;

    (3) 稱{zn}是p階零級(jí)中間型的,如果對(duì)所有n≥m≥0,有:λp(m,n;{zn})=0或∞.

    特別地,當(dāng){zn}是函數(shù)f(z)-a的全部非零零點(diǎn)序列時(shí),{zn}的型稱為f(z)的a值點(diǎn)列的型, 記為

    λp(m,l;f-a)=λp(m,l;{zn}).

    現(xiàn)在,我們可以考慮推廣定理B和C到零級(jí)的情形,給出如下定理.

    μp(f-a)=0,μp-1(f-a)=∞,

    且f(z)的a值點(diǎn)列的p階零級(jí)增長(zhǎng)型等于f(z)的p階零級(jí)增長(zhǎng)型,即對(duì)于所有l(wèi)≥m≥0,有:

    λp(m,l;f-a)=σp(m,l;f),

    當(dāng)p>1時(shí),至多有兩個(gè)a值例外;而當(dāng)p=1時(shí),至多有一個(gè)a值例外.

    我們稱上述定理中的例外值為函數(shù)f(z)的p階零級(jí)Borel值.

    特別地,作為定理1的推論,我們有:

    推論1如果f(z)是1階零級(jí)的超越全純函數(shù),則f(z)沒(méi)有Borel值和Picard值.

    2 p階零級(jí)增長(zhǎng)型的比較

    為了證明我們的結(jié)論,需要在亞純函數(shù)的p階零級(jí)增長(zhǎng)型之間引進(jìn)高低比較的概念.

    命題1設(shè)整數(shù)p≥1.如果f(z)是p階零級(jí)、p-1階無(wú)窮的亞純函數(shù),則對(duì)于任意l≥m≥0,σp(m,l;f)具有下列性質(zhì):

    (1)0≤σp(m,m;f)≤1,m=1,2,…;

    (2)σp(l,m;f)=0,1≤m

    (3)1≤σp(m-1,m;f)≤∞,m=1,2,…;

    (4)σp(m-1,l;f)=∞,1≤m

    (5) 如果存在整數(shù)k≥1,使得σp(k,k;f)>0,則可記k=inf{k′:0<σp(k′,k′;g)≤1},從而有:1≤mk時(shí),σp(m,m;f)=1;以及σp(m,m+1;f)=∞,m=1,2,….

    (6) 如果存在整數(shù)k≥1,使得σp(k-1,k;f)<∞,則可記k=inf{k′:1≤σp(k′,k′+1;f)<∞},從而有:1≤mk時(shí),σp(m,m+1;f)=1;以及σp(m,m;f)=0,m=1,2,….

    證明由ρp(f)=0可知:對(duì)于ε>0,當(dāng)r充分大時(shí)有:log[p]T(r,f)≤εlogr.于是有:

    log[p+1]T(r,f)≤logε+log[2]r.

    (2.1)

    由此可得:0≤σp(1,1;f)≤1.對(duì)上式兩端取對(duì)數(shù),就可得:0≤σp(2,2;f)≤1.如此下去,就得到性質(zhì)(1).

    從(2.1)式可得:σp(2,1;f)=0,進(jìn)而易知:σp(n,1;f)=0,n≥2.類似地,從σp(m,m;f)≤1,可導(dǎo)出:σp(l,m;f)=0,l>m.這就是性質(zhì)(2).

    由ρp-1(f)=∞可知:任取實(shí)數(shù)A>0,存在序列{rn}使得:log[p-1]T(rn,f)≥Alogrn,于是有:

    log[p]T(rn,f)≥logA+log[2]rn.

    (2.2)

    由此可得:1≤σp(0,1;f)≤∞.對(duì)上式兩端取對(duì)數(shù),就可得:1≤σp(1,2;f)≤∞.如此下去,就得到性質(zhì)(3).

    從(2.2)式還可得σp(0,2;f)=∞,進(jìn)而知:σp(0,l;f)=∞,l≥2.類似地,從1≤σp(m-1,m;f),可導(dǎo)出:σp(m-1,l;f)=∞,l>m.這就是性質(zhì)(4).

    如果存在整數(shù)k≥1,使得σp(k,k;f)>0,記σ=σp(k,k;f),對(duì)于ε>0且σ-ε>0,則有序列{rn}使得:log[p+k]T(rn,f)≥(σ-ε)log[k+1]rn,因而可得:σp(k,k+m;f)=∞,m=1,2,….再對(duì)上式兩邊取對(duì)數(shù),有:log[p+k+1]T(rn,f)≥log(σ-ε)+log[k+2]rn,結(jié)合性質(zhì)1可得:σp(k+1,k+1;f)=1.重復(fù)此步驟,就得:σp(k+m,k+m;f)=1,m=1,2,….由此,可得:σp(k+m,k+m+1;f)=∞,m=1,2,….記k=inf{k′:0<σp(k′,k′;f)≤1},這表明m≥k時(shí)有σp(m,m+1;f)=∞.再考慮1≤m0,有σp(k-1,k;f)=∞;結(jié)合性質(zhì)(3),由此可得σp(m,m+1;f)=∞.由k的定義,結(jié)合性質(zhì)(1)可得:σp(m,m;f)=0.這就是性質(zhì)(5).

    如果存在整數(shù)k≥1,使得σp(k-1,k;f)<∞,記σ=σp(k-1,k;f),對(duì)于ε>0,則當(dāng)r充分大時(shí)有:log[p+k-1]T(r,f)≤(σ+ε)log[k+1]r.因而得到:log[p+k]T(r,f)≤log(σ+ε)+log[k+2]r.由此得:σp(k,k;f)=0,再結(jié)合性質(zhì)(3)可得:σp(k,k+1;f)=1.重復(fù)此步驟,進(jìn)而可得:σp(k+m-1,k+m;f)=1,m=1,2,….由此可得:σp(k+m,k+m;f)=0,m=1,2,….記k=inf{k′:1≤σp(k′,k′+1;f)<∞}.這表明m≥k時(shí)有σp(m,m;f)=0.再考慮1≤m

    命題證畢.

    作為命題1的推論,我們有如下:

    命題2設(shè)整數(shù)p≥1,f(z)是p階零級(jí)、p-1階無(wú)窮的亞純函數(shù),則下列結(jié)論成立:

    (1)如果f(z)不是極小型的,則對(duì)所有整數(shù)m≥0,總有σp(m,m+1;f)=∞.

    (2)如果f(z)不是極大型的,則對(duì)所有整數(shù)m≥1,總有σp(m,m;f)=0.

    (3)如果f(z)既不是極小型的,也不是極大型的,則f(z)必是中間型的.

    命題3設(shè)整數(shù)p≥1.如果f(z)和g(z)都是p階零級(jí)、p-1階無(wú)窮的亞純函數(shù),則下列結(jié)論成立:

    (1)當(dāng)f(z)是極小型的,g(z)是中間型的時(shí),存在整數(shù)k≥0,使得:σp(k,k+1;f)<σp(k,k+1;g),且對(duì)于任意l≥m≥0,皆有σp(m,l;f)≤σp(m,l;g).

    (2)當(dāng)f(z)是中間型的,g(z)是極大型的時(shí),存在整數(shù)k≥1,使得:σp(k,k;f)<σp(k,k;g),且對(duì)于任意l≥m≥0,皆有σp(m,l;f)≤σp(m,l;g).

    (3)當(dāng)f(z)是極小型的,g(z)是極大型的時(shí),存在整數(shù)k≥0,使得:σp(k,k+1;f)<σp(k,k+1;g);或者,存在整數(shù)k′≥1,使得:σp(k′,k′;f)<σp(k′,k′;g);且對(duì)于任意l≥m≥0,皆有σp(m,l;f)≤σp(m,l;g).

    證明由f(z)是極小型的可知:存在k′≥0,使得:1≤σp(k′,k′+1;f)<∞.不妨記

    k=inf{k′:1≤σp(k′,k′+1;f)<∞},

    則有:1≤σp(k,k+1;f)<∞,σp(k+l,k+1;f)=0,σp(k+l,k+l+1;f)=1,l=1,2,…;以及:σp(m,m+1;f)=∞,0≤m

    由g(z)是極大型的可知:存在k′≥1,使得:0<σp(k′,k′;g)≤1.不妨記

    k=inf{k′:0<σp(k′,k′;g)≤1},

    則有:0<σp(k,k;g)≤1,σp(k+l,k+l;g)=1,σp(k+l,k+l+1;g)=∞,l=1,2,…;以及:σp(m,m;g)=0,1≤m

    由f(z)是極小型的可知:存在k≥0,k=inf{k′:1≤σp(k′,k′+1;f)<∞},滿足1≤σp(k,k+1;f)<∞.而由g(z)是極大型的可知:存在k′≥1,k′=inf{k:0<σp(k,k;g)≤1},滿足0<σp(k′,k′;g)≤1.于是,由性質(zhì)(5)知:σp(k,k+1;f)<∞=σp(k,k+1;g);或者由性質(zhì)(6)知:σp(k′,k′;f)=0<σp(k′,k′;g).這就是結(jié)論(3).

    至此,命題得證.

    現(xiàn)在,根據(jù)命題3,我們引進(jìn)如下定義.

    定義4給定整數(shù)p≥1,設(shè)f(z)和g(z)都是p階零級(jí)、p-1階無(wú)窮的亞純函數(shù),稱f(z)的增長(zhǎng)型低于g(z)的增長(zhǎng)型(或稱g(z)的增長(zhǎng)型高于f(z)的增長(zhǎng)型),如果下列條件之一成立:

    (1)f(z)是極小型的,g(z)是中間型的;

    (2)f(z)是極小型的,g(z)是極大型的;

    (3)f(z)是中間型的,g(z)是極大型的;

    (4)f(z)和g(z)都是極小型的,k=inf{k′:1≤σp(k′,k′+1;f)<∞},l=inf{k′:1≤σp(k′,k′+1;g)<∞},且k

    (5)f(z)和g(z)都是極小型的,k=inf{k′:1≤σp(k′,k′+1;f)<∞}=inf{k′:1≤σp(k′,k′+1;g)<∞},且σp(k,k+1;f)<σp(k,k+1;g);

    (6)f(z)和g(z)都是極大型的,k=inf{k′:0<σp(k′,k′;f)},l=inf{k′:0<σp(k′,k′;g)},且k>l(此時(shí)有σp(l,l;f)=0<σp(l,l;g));

    (7)f(z)和g(z)都是極大型的,k=inf{k′:0<σp(k′,k′;f)}=inf{k′:0<σp(k′,k′;g)},且σp(k,k;f)<σp(k,k;g).

    3 幾個(gè)引理

    本節(jié),我們給出幾個(gè)后面要用到的引理.

    引理1給定整數(shù)p≥1,設(shè)f(z)和g(z)都是p階零級(jí)、p-1階無(wú)窮的亞純函數(shù),則它們的和、差、積、商都是p階零級(jí)的亞純函數(shù).進(jìn)一步,如果f(z)的增長(zhǎng)型低于g(z)的增長(zhǎng)型,則f(z)+g(z)和f(z)g(z)的增長(zhǎng)型都等于g(z)的增長(zhǎng)型.

    證明由特征函數(shù)的性質(zhì):T(r,f+g)≤T(r,f)+T(r,g)+log2和T(r,fg)≤T(r,f)+T(r,g),不難得到:ρp(f+g)≤max{ρp(f),ρp(g)}=0和ρp(fg)≤max{ρp(f),ρp(g)}=0.其次,由ρp(g)=ρp(-g),可得ρp(f-g)=0.再由Nevanlinna第一基本定理,可得:ρp(g)=ρp(1/g),因此ρp(f/g)=0.這就完成引理前半部分的證明.

    如果f(z)的增長(zhǎng)型低于g(z)的增長(zhǎng)型,先證明f(z)+g(z)的增長(zhǎng)型等于g(z)的增長(zhǎng)型.依據(jù)定義4和命題3,可分為兩種情形:

    情形一,存在整數(shù)k≥0,使得:σp(k,k+1;f)<σp(k,k+1;g).由特征函數(shù)的性質(zhì),我們有

    σp(k,k+1;f+g)≤max{σp(k,k+1;f),σp(k,k+1;g)}=σp(k,k+1;g),

    和σp(k,k+1;f)=σp(k,k+1;-f),再結(jié)合g=(f+g)+(-f),便得

    σp(k,k+1;g)≤max{σp(k,k+1;f+g),σp(k,k+1;-f)}≤σp(k,k+1;g).

    這就導(dǎo)出:σp(k,k+1;f+g)=σp(k,k+1;g).由此我們斷言:ρp-1(f+g)=∞,因而f(z)+g(z)的增長(zhǎng)型等于g(z)的增長(zhǎng)型.

    為證明上述斷言,假設(shè)ρp-1(f+g)<∞,則有σp-1(m,m;f+g)≤1,m=1,2,….這等同于σp(m-1,m;f+g)≤1,m=1,2,….對(duì)于m=k+1,就有σp(k,k+1;f+g)=σp(k,k+1;g)≤1.另一方面,由σp(k,k+1;f)<σp(k,k+1;g)和命題1中性質(zhì)(3)知必有:1<σp(k,k+1;g).矛盾!這表明我們的斷言成立.

    情形二,存在整數(shù)k≥1,使得:σp(k,k;f)<σp(k,k;g).由特征函數(shù)的性質(zhì),我們有

    σp(k,k;f+g)≤max{σp(k,k;f),σp(k,k;g)}=σp(k,k;g)

    和σp(k,k;f)=σp(k,k;-f),再結(jié)合g=(f+g)+(-f),便得

    σp(k,k;g)≤max{σp(k,k;f+g),σp(k,k;-f)}≤σp(k,k;g).

    這就導(dǎo)出:σp(k,k;f+g)=σp(k,k;g).由此,我們斷言:ρp-1(f+g)=∞,因而f(z)+g(z)的增長(zhǎng)型等于g(z)的增長(zhǎng)型.

    為證明上述斷言,假設(shè)ρp-1(f+g)<∞,則有σp-1(m,m;f+g)≤1,m=1,2,….這等同于σp(m-1,m;f+g)≤1,m=1,2,….對(duì)于m=k,就有σp(k-1,k;f+g)=σp(k-1,k;g)≤1.另一方面,由σp(k,k;f)<σp(k,k;g)和命題1中性質(zhì)(5)知必有:σp(k-1,k;g)=∞.矛盾!這表明我們的斷言成立.

    完全類似地討論,可證明f(z)g(z)的增長(zhǎng)型也等于g(z)的增長(zhǎng)型.

    引理得證.

    λp(m,l;{zn})≤σp(m,l;f).

    (3.1)

    (3.2)

    由此可得:

    μp(f-a)≤ρp(f)=0,

    即f(z)-a的零點(diǎn)序列{zn}也是p階零級(jí)的.進(jìn)一步,當(dāng){zn}是p-1階無(wú)窮的時(shí),由定義3和定義2,結(jié)合(3.2)式,不難得到(3.1)式.

    引理得證.

    引理3給定整數(shù)p≥1,設(shè)φ(z)是p階零級(jí)、p-1階無(wú)窮的全純函數(shù),則f(z)=exp(φ(z))是p+1階零級(jí)、p階無(wú)窮的全純函數(shù).

    證明由ρp(φ)=0,及M(r,f)≤exp(M(r,φ)),可得ρp+1(f)=0.其次,由ρp-1(φ)=∞,存在序列{rn},使得

    應(yīng)用Pòl(fā)ya關(guān)于復(fù)合函數(shù)最大模的一個(gè)不等式[11]:

    其中0

    因而可得:

    此即:ρp(f)=∞.故引理得證.

    特別地,當(dāng)φ(z)為超越全純函數(shù)時(shí),我們有[12]:

    即φ(z)是零階無(wú)窮的全純函數(shù),因而依據(jù)上述引理結(jié)論,f(z)=exp(φ(z))是1階無(wú)窮的全純函數(shù),即有:ρ1(f)=∞.

    引理4給定實(shí)數(shù)區(qū)間(0,∞)上的非降正值函數(shù)α(x)和β(x),滿足條件:

    則對(duì)所有整數(shù)m≥1,都成立:

    這里exp[1](u)=eu,exp[m+1](u)=exp {exp[m](u)}.

    證明我們對(duì)m用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明引理結(jié)論.

    先考慮m=1的情形.由

    可得

    即m=1的時(shí)候,引理結(jié)論成立.

    假設(shè)m=k的時(shí)候引理結(jié)論也成立.再考慮m=k+1的情形.

    記α1(x)=exp{α(x)},β1(x)=exp{β(x)},則α1(x)和β1(x)也滿足引理?xiàng)l件.根據(jù)歸納假設(shè),可得:

    于是由歸納法可知引理結(jié)論成立.

    引理得證.

    引理5給定整數(shù)p≥1,若復(fù)數(shù)序列{zn}是p階零級(jí)、p-1階無(wú)窮的,即滿足條件:μp({zn})=0,μp-1({zn})=∞,則{zn}的p階零級(jí)增長(zhǎng)型還可由下式給出:

    這里整數(shù)l≥m≥0.

    證明記rn=|zn|,n(r)是序列{zn}的計(jì)數(shù)函數(shù),由n(rn)≥n,可得:

    另一方面,{rn}中必存在一個(gè)子序列{rnk}(k=1,2,…)滿足條件:rnk→∞(k→∞)以及

    rnk

    則當(dāng)rnk≤r

    引理得證.

    引理6給定整數(shù)p≥1,如果f(z)是p階零級(jí)、p-1階無(wú)窮的超越全純函數(shù),具有冪級(jí)數(shù)展式

    其中ak皆不為零,則f(z)的p階零級(jí)增長(zhǎng)型滿足:

    證明記

    先考慮σ<∞的情形,則對(duì)于ε>0,當(dāng)r>r0=r0(ε)時(shí),有

    logM(r,f)

    由關(guān)于冪級(jí)數(shù)系數(shù)的Cauchy不等式,可從上式導(dǎo)出:對(duì)所有k≥1,成立

    log|ak|

    可得:

    于是,當(dāng)k充分大時(shí),有:

    由此可歸納地導(dǎo)出:

    進(jìn)而可得:

    再令ε→0,便得到:

    對(duì)于σ=∞的情形,上式顯然成立.

    為證相反的不等式,記

    同樣先考慮σ<∞的情形,則對(duì)于ε>0,當(dāng)k>k0=k0(ε)時(shí),有

    而由

    其中A(k0)是次數(shù)不高于k0的多項(xiàng)式,S是一個(gè)整數(shù)滿足條件:S

    M(r,f)

    注意到上式中兩個(gè)級(jí)數(shù)都是收斂的,可以得到:

    log[2]M(r,f)

    因此有:

    再令ε→0,便得到:

    對(duì)于σ=∞的情形,上式顯然成立.

    故此引理得證.

    引理7設(shè)整數(shù)p≥1,f(z)是p階零級(jí)、p-1階無(wú)窮的亞純函數(shù),則其導(dǎo)數(shù)f′(z)也是p階零級(jí)、p-1階無(wú)窮的亞純函數(shù),且f′(z)的p階零級(jí)增長(zhǎng)型等于f(z)的p階零級(jí)增長(zhǎng)型.

    證明由[13]

    T(r,f)<Ο(T(2r,f′)+logr)

    和[14]

    T(r,f′)<2T(r,f)+S(r,f)

    易得證引理結(jié)論.

    4 p階零級(jí)復(fù)數(shù)序列形成的典型乘積

    給定復(fù)數(shù)序列{zn},滿足條件:0<|z1|≤|z2|≤… ,|zn|→∞(n→∞).Weierstrass最早認(rèn)識(shí)到[12]:可以適當(dāng)?shù)剡x取正整數(shù)序列{λn},使得無(wú)窮乘積

    (4.1)

    是復(fù)數(shù)平面上的全純函數(shù).Borel發(fā)現(xiàn)[1]:當(dāng)μ1({zn})<∞時(shí),可以取整數(shù)λn=q,n=1,2,…,滿足q≤μ1({zn})≤q+1,使得μ1({zn})=ρ1(Φ).我們最近發(fā)現(xiàn)[8]:對(duì)于p≥1,當(dāng)μp({zn})<∞時(shí),可以取λn=[logn],n=1,2,…,這里[u]是u的整數(shù)部分,使得μp({zn})=ρp(Φ).我們稱這樣的Φ(z)為序列{zn}形成的典型乘積.

    本節(jié),我們?cè)谖腫8]的基礎(chǔ)上,給出更進(jìn)一步的結(jié)論:

    定理2設(shè)整數(shù)p≥1.如果復(fù)數(shù)序列{zn}是p階零級(jí)、p-1階無(wú)窮的,則它形成的典型乘積Φ(z)是p階零級(jí)、p-1階無(wú)窮的全純函數(shù),且Φ(z)的增長(zhǎng)型等于序列{zn}的增長(zhǎng)型.

    證明依據(jù)文[9],我們僅須證明Φ(z)的增長(zhǎng)型等于序列{zn}的增長(zhǎng)型.依據(jù)引理2可得到: 對(duì)p≥1和任意整數(shù)l≥m≥0,皆有

    λp(m,l;{zn})≤σp(m,l;Φ).

    為證明相反的不等式,記λp(m,l;{zn})=λ,先考慮λ<∞的情形.對(duì)于ε>0,當(dāng)r>r0=r0(ε)時(shí),有

    n(r)

    (4.2)

    另外,記rn=|zn|,考慮級(jí)數(shù)

    (4.3)

    其中,nk是整數(shù)滿足條件:[lognk]=k和[log(nk-1)]=k-1,這里[u]表示u的整數(shù)部分.特別地,記n0=1,容易計(jì)算出:n1=3,n2=8,n3=21,n4=55,等等.且不難證明[8]:

    (4.4)

    由(4.3)式,有ak皆不為零,且

    據(jù)此,結(jié)合(4.4)式,可對(duì)l≥1歸納地得出:當(dāng)k充分大時(shí),成立

    另一方面,我們有l(wèi)og[p+m-1]k≤log2+log[p+m-1](k-1),則有

    注意到log[p+m-1](k-1)≤log[p+m]nk-1,再結(jié)合引理6和引理5,可得:

    于是對(duì)于上述ε>0,當(dāng)r>r1=r1(ε)時(shí),有

    M(r,h)

    (4.5)

    現(xiàn)在,我們來(lái)估計(jì)log|Φ(z)|,固定|z|=r,記(4.1)中通項(xiàng)為

    (4.6)

    結(jié)合(4.2)式有

    ≤(logn(r)+1)M(r,h)<2exp[p+m-2]((log[l]r)λ+ε)×exp[p+m-1]((log[l]r)λ+ε).

    (4.7)

    <2exp[p+m-2]((log[l]2r)λ+ε)×exp[p+m-1]((log[l]2r)λ+ε).

    (4.8)

    則有

    (4.9)

    將(4.7),(4.8)和(4.9)代入(4.6)式中,可以得到:

    log[2]M(r,Φ)≤5exp[p+m-2]((log[l]2r)λ+ε)+log4,

    從而有

    令ε→∞,就得到:

    σp(m,l;Φ)≤λp(m,l;{zn}).

    當(dāng)λ=∞時(shí),上式顯然成立.

    定理得證.

    5 p階零級(jí)的全純函數(shù)組的Borel定理

    在亞純函數(shù)值分布的研究中,Nevanlinna發(fā)展的特征函數(shù)法有著非常重要的作用,開拓了嶄新的研究領(lǐng)域,收獲了豐富多彩的成果.這一方法的巨大成功,使得人們逐漸淡忘了早期Borel獲得關(guān)于全純函數(shù)的Borel定理時(shí)所用的因子分解法.

    其實(shí),因子分解法是一個(gè)偏重于構(gòu)造性的方法.而要證明我們的結(jié)果,使用因子分解法或許更恰當(dāng)些.此外,我們還需要用到Borel關(guān)于全純函數(shù)組的一個(gè)定理,借助它才可以不使用Nevanlinna第二基本定理,直接將Borel關(guān)于全純函數(shù)的例外值定理推廣到亞純函數(shù)[8].因此,為證明定理1,我們需要如下結(jié)論:

    定理3給定整數(shù)p>1,設(shè)fj(z),φj(z),j=1,2,…,n是兩組全純函數(shù),滿足條件:

    (1)f1(z)exp(φ1(z))+f2(z)exp(φ2(z))+…+fn(z)exp(φn(z))=0;

    (2)fj(z)都是p階零級(jí)的,φj(z)都是p-1階零級(jí)、p-2階無(wú)窮的,j=1,2,…,n;

    (3)當(dāng)1≤j≤n,1≤h,k≤n,h≠k時(shí),fj(z)的p階零級(jí)增長(zhǎng)型低于exp (φh(z)-φk(z))的p階零級(jí)增長(zhǎng)型.

    則有:fj(z)≡0,j=1,2,…,n.

    證明我們對(duì)于n(>1)使用歸納法.

    先考慮n=2的情形.假設(shè)定理結(jié)論不真,則不妨設(shè)f1(z)?0. 于是根據(jù)條件(1),可有:

    而由條件(2),上式右端亞純函數(shù)的p階零級(jí)增長(zhǎng)型低于左端函數(shù)的p階零級(jí)增長(zhǎng)型,矛盾!這一矛盾說(shuō)明假設(shè)是不對(duì)的,因而定理結(jié)論成立.

    現(xiàn)假設(shè)n=m時(shí)定理結(jié)論成立,再考慮n=m+1的情形.由條件(1),有:

    f1(z)exp(φ1(z))+…+fm(z)exp(φm(z))+fm+1(z)exp(φm+1(z))=0.

    (5.1)

    如果fm+1(z)≡0,則由歸納假設(shè)可得:fj(z)≡0,j=1,2,…,m.故可設(shè)fm+1(z)?0,并令

    (5.2)

    則可將(5.1)式改寫為:

    g1(z)exp(ψ1(z))+g2(z)exp(ψ2(z))+…+gm(z)exp(ψm(z))=1,

    (5.3)

    根據(jù)引理1和(5.2)式,這里的gj(z),exp(ψj(z)),j=1,2,…,m,也滿足條件(2)和(3).

    對(duì)(5.3)式兩端求導(dǎo)數(shù),得到:

    (g′1+ψ′1g1)exp(ψ1(z))+…+(g′m+ψ′mgm)exp(ψm(z))=0.

    (5.4)

    由引理1和引理7知g′j+ψ′jgj的p階零級(jí)增長(zhǎng)型不高于gj(z)的p階零級(jí)增長(zhǎng)型,從而知g′j+ψ′jgj,exp(ψj(z)),j=1,2,…,m,也滿足條件(2)和(3).根據(jù)歸納假設(shè)和(5.4)式,可得:

    g′j+ψ′jgj≡0,j=1,2,…,m.

    解微分方程,有:

    gj(z)=cjexp(-ψj(z)),j=1,2,…,m.

    如果cj≠0,則由(5.2)式知:上式左端函數(shù)的p階零級(jí)增長(zhǎng)型低于右端函數(shù)的p階零級(jí)增長(zhǎng)型,矛盾!因此,只能有:cj=0.進(jìn)而有:gj(z)≡0,j=1,2,…,m.將它們代入到(5.1)式中,得到:fm+1(z)≡0,與我們假設(shè)fm+1(z)?0矛盾!因此表明:n=m+1時(shí)定理結(jié)論也成立.

    得證定理.

    用完全類似的討論,我們還可以得到如下結(jié)論.

    定理4給定整數(shù)p≥1,設(shè)fj(z),φj(z),j=1,2,…,n;是兩組全純函數(shù),滿足條件:

    (1)f1(z)exp(φ1(z))+f2(z)exp(φ2(z))+…+fn(z)exp(φn(z))=0;

    (2)fj(z)都是p階有窮的,j=1,2,…,n;

    (3)當(dāng)1≤h,k≤n,h≠k時(shí),exp(φh(z)-φk(z))都是p階無(wú)窮的.

    則有:fj(z)≡0,j=1,2,…,n.

    這個(gè)定理也是文[8]中定理6的推論.

    6 p階零級(jí)的亞純函數(shù)的Hadamard因子分解定理

    本節(jié),我們借助于定理2,將Hadamard關(guān)于全純函數(shù)的因子分解定理推廣到p階零級(jí)的亞純函數(shù)的情形.給出如下定理.

    定理5給定整數(shù)p≥1,如果f(z)是p階零級(jí)、p-1階無(wú)窮的亞純函數(shù),則它可表示為:

    (6.1)

    且成立下列結(jié)論:

    (1)Ρ1(z)=zmΦ1(z),m≥0是f(z)在原點(diǎn)處的零點(diǎn)的階數(shù),當(dāng)f(z)的非零零點(diǎn)序列{zn}是無(wú)窮的時(shí),Φ1(z)是f(z)的非零零點(diǎn)序列形成的如(4.1)式所示的典型乘積,而當(dāng)f(z)的非零零點(diǎn)序列{zn}是有窮的時(shí),Φ1(z)具有形式:

    (2)Ρ2(z)=zkΦ2(z),k≥0是f(z)在原點(diǎn)處的極點(diǎn)的階數(shù),當(dāng)f(z)的非零極點(diǎn)序列{yn}是無(wú)窮的時(shí),Φ2(z)是f(z)的非零極點(diǎn)序列形成的如(4.1)式所示的典型乘積,而當(dāng)f(z)的非零極點(diǎn)序列{yn}是有窮的時(shí),Φ2(z)具有形式:

    (3)Ρj(z),j=1,2都是p階零級(jí)的全純函數(shù),且如果Ρj(z)是p-1階無(wú)窮的全純函數(shù),則Ρj(z)的增長(zhǎng)型不高于f(z)的增長(zhǎng)型.

    (4)φ(z)是p-1階零級(jí)的全純函數(shù),特別地,當(dāng)p=1時(shí),φ(z)≡c是常數(shù).

    證明結(jié)論(1)和(2)是顯然的.僅需注意到:m>0時(shí),必有k=0;以及k>0時(shí),必有m=0.

    根據(jù)引理2和定理2便可得到結(jié)論(3).

    為證結(jié)論(4),令

    則F(z)是沒(méi)有零點(diǎn)和極點(diǎn)的亞純函數(shù),因而有F(z)=eφ(z),這就得到(6.1)式.再依據(jù)引理1,可知F(z)是p階零級(jí)的全純函數(shù).再次應(yīng)用Pòl(fā)ya關(guān)于復(fù)合函數(shù)最大模的一個(gè)不等式[11]:

    其中0

    因而可得:

    ρp-1(φ)≤ρp(F)=0,

    即φ(z)是p-1階零級(jí)的全純函數(shù).

    當(dāng)p=1時(shí),φ(z)是0階零級(jí)的全純函數(shù),因而有φ(z)≡c是常數(shù).

    定理證畢.

    7 定理1的證明

    情形一,ρp-1(Ρj)<∞,j=1,2,3.先考慮三個(gè)復(fù)數(shù)中一個(gè)為零,一個(gè)為無(wú)窮的場(chǎng)合.不妨設(shè)為:a1=0,a2=∞,于是a3≠0,∞,應(yīng)用定理5,有:

    (7.1)

    且ρp-1(eφ1)=ρp-1(f)=∞.

    考慮函數(shù)

    它是沒(méi)有零點(diǎn)和極點(diǎn)的亞純函數(shù),因而有F(z)=eφ2(z),且ρp-1(eφ2)=ρp-1(f)=∞.于是得:

    Ρ1(z)eφ1(z)-a3Ρ2(z)=Ρ3(z)eφ2(z),

    (7.2)

    Ρ1(z)-a3Ρ2(z)e-φ1(z)=Ρ3(z)eφ2(z)-φ1(z).

    (7.3)

    從(7.3)式可得:ρp-1(eφ2-φ1)=ρp-1(e-φ1)=∞.應(yīng)用定理4,導(dǎo)出:Ρ1(z)≡0,Ρ2(z)≡0,Ρ3(z)≡0.矛盾!這個(gè)矛盾說(shuō)明假設(shè)是錯(cuò)誤的,即ρp-1(Ρj)<∞,j=1,2,3不能成立.

    再考慮三個(gè)復(fù)數(shù)中一個(gè)為無(wú)窮,沒(méi)有復(fù)數(shù)為零的場(chǎng)合.不妨設(shè)a2=∞,令g(z)=f(z)-a1,知g(z)是p階零級(jí)、p-1階無(wú)窮的亞純函數(shù),且記b1=0,b2=∞,b3=a3-a1,則g(z)-bj的全部零點(diǎn)形成的典型乘積就是f(z)-aj的全部零點(diǎn)形成的典型乘積Ρj(z).重復(fù)上面的討論,導(dǎo)出矛盾!故此這種場(chǎng)合也不成立.

    因此,情形一不成立.

    情形二,存在某個(gè)ρp-1(Ρj)=∞.注意到ρp-1(Ρj)<∞時(shí)有σp(0,1;Ρj)=σp-1(1,1;Ρj)≤1,即Ρj的p階零級(jí)增長(zhǎng)型不高于極小型,從而所有Ρj(z)的p階零級(jí)增長(zhǎng)型都低于f(z)的p階零級(jí)增長(zhǎng)型,j=1,2,3.

    類似于情形一的討論,應(yīng)用定理5和定理3可以導(dǎo)出矛盾!故情形二也不成立.這樣就證明了定理1對(duì)于整數(shù)p>1的結(jié)論.

    先考慮兩個(gè)復(fù)數(shù)中一個(gè)為零,一個(gè)為無(wú)窮的場(chǎng)合.不妨設(shè)為:a1=0,a2=∞,于是應(yīng)用定理5,有:

    (7.4)

    這里C為常數(shù).注意到ρ0(Ρj)<∞等價(jià)于Ρj(z)是多項(xiàng)式,可知至少有一個(gè)ρ0(Ρj)=∞,不妨設(shè)為ρ0(Ρ1)=∞.于是由ρ0(Ρ2)<∞時(shí)有σ1(0,1;Ρ2)=σ0(1,1;Ρ2)≤1≤σ1(0,1;Ρ1),可知Ρ2(z)的1階零級(jí)增長(zhǎng)型不高于Ρ1(z)的1階零級(jí)增長(zhǎng)型,從而Ρ1(z)和Ρ2(z)的1階零級(jí)增長(zhǎng)型都低于f(z)的1階零級(jí)增長(zhǎng)型.對(duì)于ρ0(Ρ1)=ρ0(Ρ2)=∞的情形,假設(shè)定理結(jié)論不真導(dǎo)出Ρ1(z)和Ρ2(z)的1階零級(jí)增長(zhǎng)型都低于f(z)的1階零級(jí)增長(zhǎng)型.

    這樣,應(yīng)用引理1可知,(7.4)式右端函數(shù)的1階零級(jí)增長(zhǎng)型低于左端函數(shù)f(z)的1階零級(jí)增長(zhǎng)型.矛盾!這個(gè)矛盾說(shuō)明對(duì)于這種場(chǎng)合假設(shè)是錯(cuò)誤的.

    再考慮兩個(gè)復(fù)數(shù)中一個(gè)為無(wú)窮的場(chǎng)合.不妨設(shè)為:a2=∞,令g(z)=f(z)-a1,知g(z)是1階零級(jí)、0階無(wú)窮的亞純函數(shù),且記b1=0,b2=∞,則g(z)-bj的全部零點(diǎn)形成的典型乘積就是f(z)-aj的全部零點(diǎn)形成的典型乘積Ρj(z).重復(fù)上面的討論,導(dǎo)出矛盾!這個(gè)矛盾說(shuō)明對(duì)于這種場(chǎng)合假設(shè)也是錯(cuò)誤的.

    于是定理1得證.

    現(xiàn)在,我們來(lái)給出一些p階零級(jí)的亞純函數(shù)的例子.

    例1給定整數(shù)p≥1,m≥0,取復(fù)數(shù)序列{zn}滿足條件:

    則應(yīng)用引理4和引理5,可得:

    μp({zn})=0,μp-1({zn})=∞,λp(m,m+1;{zn})=λ.

    應(yīng)用定理2,可知序列{zn}形成的如(4.1)式所示的典型乘積Φ(z)是p階零級(jí)、p-1階無(wú)窮的極小型的全純函數(shù).

    例2給定整數(shù)p≥1,m≥1,取復(fù)數(shù)序列{zn}滿足條件:

    則應(yīng)用引理4和引理5,可得:

    μp({zn})=0,μp-1({zn})=∞,λp(m,m;{zn})=λ.

    應(yīng)用定理2,可知序列{zn}形成的如(4.1)式所示的典型乘積Φ(z)是p階零級(jí)、p-1階無(wú)窮的極大型的全純函數(shù).

    問(wèn)題:應(yīng)該如何構(gòu)造p階零級(jí)、p-1階無(wú)窮的中間型的全純函數(shù)Φ(z)?

    例3給定整數(shù)p≥1,取φ(z)是p階零級(jí)、p-1階無(wú)窮的全純函數(shù),{zn}和{yn}是p階有窮的復(fù)數(shù)序列,它們所形成的典型乘積為Φ1(z)和Φ2(z),則Φ1(z)和Φ2(z)都是p階有窮的全純函數(shù).令

    則f(z)是p+1階零級(jí)、p階無(wú)窮的亞純函數(shù),以0和∞為其p+1階零級(jí)Borel值.

    例4取Φ1(z)為1階零級(jí)的超越全純函數(shù),Φ2(z)為多項(xiàng)式,令

    則f(z)是1階零級(jí)、0階無(wú)窮的亞純函數(shù),以∞為其1階零級(jí)Borel值,事實(shí)上,∞為其Picard值.

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