注重基本數(shù)學(xué)思想的獲得，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)層次

張玲玲

【摘 要】基本數(shù)學(xué)思想作為“四基”之一，對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)展有著至關(guān)重要的作用，實(shí)際教學(xué)中教師要關(guān)注學(xué)生的發(fā)展，要注重為學(xué)生感悟和發(fā)展數(shù)學(xué)思想提供條件，營(yíng)造氛圍，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中收獲最本質(zhì)的東西。

【關(guān)鍵詞】基本數(shù)學(xué)思想；感悟；反思；深化

美國(guó)教育學(xué)家布魯納說(shuō)過(guò)“領(lǐng)會(huì)基本數(shù)學(xué)思想和方法是通向遷移大道的光明之路”?？梢?jiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要基本數(shù)學(xué)思想的支撐。在2011版《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中特意將基本數(shù)學(xué)思想提出來(lái)，放在與基本知識(shí)和基本技能已經(jīng)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)同等重要的地位，成為“四基”。從這里也可以看出在數(shù)學(xué)教學(xué)中讓學(xué)生感知并具備基本的數(shù)學(xué)思想是極其重要的。本文結(jié)合教學(xué)實(shí)際談?wù)勅绾卧谡n堂教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生感知并形成數(shù)學(xué)思想，具體從以下幾個(gè)方面展開(kāi)：

一、讓學(xué)生在自主探索中感知數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想不同于具體的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)技能，很多數(shù)學(xué)思想隱藏在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，教師無(wú)法直接告知或者傳授給學(xué)生，而是要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中自己去經(jīng)歷，自己去感知，自己去體會(huì)，這樣學(xué)生才能在充分經(jīng)歷中自然學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)方法，并自覺(jué)地用對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)思想來(lái)指引自己的行動(dòng)。因此，在實(shí)際教學(xué)中我們要給學(xué)生足夠的經(jīng)歷，要讓他們從模仿到認(rèn)同，從被動(dòng)到主動(dòng)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思想自主凸顯起來(lái)。

例如，在“長(zhǎng)方體和正方體的表面積”教學(xué)中有這樣一個(gè)問(wèn)題：一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是10厘米、8厘米和6厘米，現(xiàn)在在長(zhǎng)方體上截去一個(gè)棱長(zhǎng)為1厘米的正方體，剩余物體的表面積可能是多少？學(xué)生在面對(duì)這個(gè)問(wèn)題的時(shí)候很自然地畫(huà)出示意圖，并考慮到不同的情況，算出幾種可能的表面積來(lái)，在引導(dǎo)學(xué)生交流這個(gè)問(wèn)題時(shí)，有學(xué)生這樣表述了自己的想法：?jiǎn)栴}指出要求剩余物體的表面積可能是多少，說(shuō)明在長(zhǎng)方體中截去一個(gè)正方體的方法不唯一，于是我畫(huà)圖來(lái)看看可能有幾種不同的情況，我首先想到的是在長(zhǎng)方體的端點(diǎn)處截去一個(gè)正方體，通過(guò)畫(huà)圖可以發(fā)現(xiàn)，剩余物體的表面積和原來(lái)相同，所以計(jì)算剩余物體的表面積就是計(jì)算長(zhǎng)方體的表面積。另外我發(fā)現(xiàn)，還可以在長(zhǎng)方體的一個(gè)面上截去一個(gè)正方體，那么剩余部分的表面積比原來(lái)長(zhǎng)方體的表面積增加了四個(gè)面。聽(tīng)了學(xué)生的想法之后，教師追問(wèn)：為什么剩余部分的表面積反而增加了？學(xué)生回答：可以將截去一個(gè)正方體后里面的那個(gè)面替換原來(lái)的正方形，那么這個(gè)凹進(jìn)去的正方體的周?chē)膫€(gè)面就是多出來(lái)的。在聽(tīng)取學(xué)生意見(jiàn)之后，我引導(dǎo)其余學(xué)生交流一下自己的想法，很多學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖或者用橡皮表示的方法驗(yàn)證了這個(gè)想法的正確性。在之后的學(xué)習(xí)中，還有學(xué)生表示可以在長(zhǎng)方體的一條棱長(zhǎng)截去一個(gè)正方體，那么剩余物體的表面積會(huì)比原來(lái)多出2個(gè)面，大家也很快弄清楚了原因。至此，問(wèn)題完美解決，學(xué)生也在交流解決這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中收獲頗豐。

其實(shí)這個(gè)教學(xué)案例中還隱含著一個(gè)基本數(shù)學(xué)思想，那就是數(shù)學(xué)推理，建立在審題的基礎(chǔ)上，學(xué)生察覺(jué)到這個(gè)問(wèn)題是多樣的，所以學(xué)生自覺(jué)用畫(huà)圖等方法來(lái)推理可以在長(zhǎng)方體中的哪些地方截去一個(gè)正方體，并嘗試找到截去正方體對(duì)原來(lái)長(zhǎng)方體的表面積的影響，因?yàn)橛辛宿D(zhuǎn)化的意識(shí)，所以學(xué)生很快將求剩余物體的表面積的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成“原來(lái)的長(zhǎng)方體的表面積是增加了還是減少了”來(lái)思考，這在一定程度上降低了問(wèn)題的難度。在這個(gè)問(wèn)題的教學(xué)中，學(xué)生經(jīng)歷了抽象、建模、轉(zhuǎn)化，他們收獲的就不僅是知識(shí)和解決問(wèn)題的具體方法，還有對(duì)數(shù)學(xué)思想的感悟。

二、讓學(xué)生在反思提煉中深化數(shù)學(xué)思想

因?yàn)樯罱?jīng)驗(yàn)和已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的作用，一些時(shí)候?qū)W生在解決問(wèn)題時(shí)會(huì)用到一些特定的方法，體現(xiàn)出基本的數(shù)學(xué)思想來(lái)，但是如果教師忽視對(duì)學(xué)生想法的深度挖掘，那么原先已經(jīng)具備了這樣思想的學(xué)生還是能夠在特定情形下喚醒思想，并用之于解決實(shí)際問(wèn)題，而原先并不具備這樣的數(shù)學(xué)思想的學(xué)生還是缺乏足夠的認(rèn)識(shí)。因此在實(shí)際教學(xué)中，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生反思，引導(dǎo)學(xué)生闡述自己的詳細(xì)想法，從而深化數(shù)學(xué)思想，讓基本數(shù)學(xué)思想顯性化。

例如，在六年級(jí)上冊(cè)有這樣一個(gè)“動(dòng)手做”：一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是6厘米，寬4厘米，將長(zhǎng)和寬分別增加原來(lái)的二分之一，新的長(zhǎng)方形的面積是原來(lái)的幾分之幾？大部分學(xué)生根據(jù)題目的提升很快得出了答案，他們計(jì)算出新的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是9厘米，寬是6厘米，然后得出現(xiàn)在的長(zhǎng)方形面積是原來(lái)的四分之九。但是對(duì)于這樣一個(gè)問(wèn)題，我仍然沒(méi)有滿足，于是我提出一個(gè)新的問(wèn)題：如果原來(lái)的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬不是6和4，那么結(jié)果會(huì)不同嗎？在這個(gè)問(wèn)題的引導(dǎo)下，學(xué)生自己給定了數(shù)據(jù)，并用同樣的方法得到了相同的結(jié)論，這就引發(fā)了他們的好奇，緊接著我引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)之前的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)提問(wèn)，有學(xué)生提出問(wèn)題：為什么新的長(zhǎng)方形與原來(lái)的長(zhǎng)方形之間的面積關(guān)系不變呢？還有學(xué)生提出問(wèn)題：如果增加的不是原來(lái)的二分之一，而是三分之一，那么會(huì)出現(xiàn)怎樣的結(jié)果呢？對(duì)于這些問(wèn)題，我并沒(méi)有給出答案，而是引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合這些問(wèn)題自己去思考和探索，看看會(huì)有怎樣的發(fā)現(xiàn)，學(xué)生帶著問(wèn)題變化數(shù)據(jù)之后發(fā)現(xiàn)了新的長(zhǎng)方形面積和原來(lái)長(zhǎng)方形面積之間的分?jǐn)?shù)關(guān)系只與長(zhǎng)和寬增加的分率有關(guān)，一些學(xué)生用畫(huà)圖的方法展示出原理來(lái)。在得出結(jié)論之后，我引導(dǎo)學(xué)生回顧整個(gè)學(xué)習(xí)的過(guò)程，學(xué)生發(fā)現(xiàn)我們需要有透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)的意識(shí)，這樣才能獲得本質(zhì)的數(shù)學(xué)規(guī)律。

在這個(gè)案例的教學(xué)中，學(xué)生的學(xué)習(xí)是豐富的，體驗(yàn)也是深刻的，如果只是關(guān)注這個(gè)問(wèn)題的結(jié)果，那么學(xué)生的收獲將少很多。而在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生帶著自己提出的問(wèn)題展開(kāi)進(jìn)一步的探索，關(guān)注了問(wèn)題中的本質(zhì)數(shù)學(xué)規(guī)律，這讓他們收獲頗豐，我想在今后遇到類(lèi)似問(wèn)題的時(shí)候，學(xué)生可以調(diào)用今天的經(jīng)驗(yàn)，將模型化的思想運(yùn)用到其他問(wèn)題中，這是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可或缺的思想，也是推動(dòng)他們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)取得成功的關(guān)鍵要素。

三、讓學(xué)生在靈活運(yùn)用中凸顯數(shù)學(xué)思想

孫曉天教授認(rèn)為基本的數(shù)學(xué)思想是“學(xué)生將具體的數(shù)學(xué)知識(shí)都忘了后留下的東西”，從這個(gè)角度來(lái)看，數(shù)學(xué)思想應(yīng)該深入學(xué)生的骨髓，成為學(xué)生丟不掉抹不去的東西，成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本收獲。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，除了讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，并在特定環(huán)節(jié)中凸顯出數(shù)學(xué)思想之外，我們還要給學(xué)生足夠的機(jī)會(huì)，讓他們面對(duì)變化的數(shù)學(xué)問(wèn)題，從變化中抓住不變的量，在靈活運(yùn)用的過(guò)程中凸顯出基本的數(shù)學(xué)思想來(lái)。

例如，在“假設(shè)的策略”教學(xué)中，我給學(xué)生帶來(lái)了經(jīng)典的“雞兔同籠”的問(wèn)題，學(xué)生經(jīng)過(guò)思考和交流，得出了解決這個(gè)問(wèn)題的基本方法：假設(shè)所有的動(dòng)物都是雞或者兔。如果全部是雞，那么實(shí)際數(shù)出來(lái)的腳就比假設(shè)的情況下要多，這時(shí)候只要將其中一些雞變成兔就會(huì)增加腳的數(shù)量，利用這個(gè)原理可以計(jì)算出雞和兔的只數(shù)各是多少。在成功解決這個(gè)問(wèn)題之后，我又帶給學(xué)生一些變型的問(wèn)題，比如裝備玩具汽車(chē)和三輪車(chē)的問(wèn)題，知道一共有多少輛，知道車(chē)輪數(shù)量，求出玩具汽車(chē)和三輪車(chē)各多少輛，再比如租船的問(wèn)題，知道大船和小船的條數(shù)，知道一共坐了多少人，要求大船和小船各有多少條。學(xué)生沿用之前的思想來(lái)解決問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)方法的原理是一致的，只是情境不同，有的學(xué)生在小結(jié)的時(shí)候就指出“在學(xué)習(xí)的時(shí)候我就將小船看成雞，大船看成兔”，這樣的回答體現(xiàn)出學(xué)生已然建構(gòu)了穩(wěn)固的數(shù)學(xué)模型來(lái)。

總之，基本數(shù)學(xué)思想對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)展極其重要，是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的體現(xiàn)，是教師教學(xué)過(guò)程中必須要關(guān)注的要點(diǎn)。在實(shí)際教學(xué)中我們要為學(xué)生感悟和積累基本的數(shù)學(xué)思想創(chuàng)造條件，要讓學(xué)生充分經(jīng)歷、深度挖掘，不斷反思，以推動(dòng)他們基本數(shù)學(xué)思想的形成。

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