讓數(shù)學活動在三疑三探中升華

【摘要】數(shù)學活動屬于“綜合與實踐”課程內(nèi)容.實施“設疑引探—解疑合探—質(zhì)疑再探”的模式組織數(shù)學活動，充分體現(xiàn)了數(shù)學活動自主參與性、綜合性、實踐性、開放性，通過深入挖掘教材，以問題為課堂活動導向，調(diào)動學生自主思考與合作交流，注重活動經(jīng)驗積累和思想方法滲透，學生數(shù)學抽象和函數(shù)建模等訓練可以得到不斷升華.

【關鍵詞】數(shù)學活動;三疑三探;升華

數(shù)學活動是一類以問題為載體，以學生自主參與為主的學習活動，它屬于“綜合與實踐”課程內(nèi)容，分散安排在每一單元后面，初中階段共安排了71個數(shù)學活動.在學習活動中，學生要廣泛聯(lián)系生活實際、綜合運用“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”等本學科和其他學科的知識和方法解決問題.學生必須積極動腦、動手、動口、認真觀察、實驗、操作、主動合作、探究，參與活動全過程.數(shù)學活動具有較強的自主性、綜合性、實踐性，但課堂組織難度大，因此并沒有得到教師和學生的足夠重視.

如何有效組織數(shù)學活動？“設疑引探—解疑合探—質(zhì)疑再探”的課堂組織形式，以問題為課堂活動導向，以探究為活動主線，可讓數(shù)學活動更加精彩，讓學生數(shù)學素養(yǎng)得到升華.

下面以二次函數(shù)單元的數(shù)學活動1為例，談談自己的教學實踐與思考.

（1）觀察下列兩個兩位數(shù)的積（兩個乘數(shù)的十位上的數(shù)都是9，個位上的數(shù)的和等于10），猜想其中哪個積最大.

91×99，92×98，…，98×92，99×91.

（2）觀察下列兩個三位數(shù)的積（兩個乘數(shù)的百位上的數(shù)都是9，十位上的數(shù)與個位上的數(shù)組成的數(shù)的和等于100），猜想其中哪個積最大.

901×999，902×998，…，998×902，999×901.

對（1）（2），你能用二次函數(shù)的知識說明你的猜想正確嗎？

（人教版義務教育教科書九年級上冊第54頁）

一、設疑引探

首先，探究問題（1）.

思路一：計算驗證法

方法一（直接計算）

91×99=9 009，

92×98=9 016，

93×97=9 021，

……

方法二（應用多項式乘法或頭同尾合十的口訣算法）

91×99=（90+1）×（90+9）=8 100+90×（1+9）+1×9=9 000+9，

92×98=（90+2）×（90+9）=8 100+90×（2+8）+2×8=9 000+16，

93×97=（90+3）×（90+7）=8 100+90×（3+7）+3×7=9 000+21，

……

方法三（應用平方差公式）

91×99=（95-4）×（95+4）=952-42=9 025-16，

92×98=（95-3）×（95+3）=952-32=9 025-9，

93×97=（95-2）×（95+2）=952-22=9 025-4，

……

小結(jié)、提問：由對稱性可知，只需直接（或巧用公式）計算前五個積，逐個比較，馬上可以驗證問題（1）中哪個乘積最大.假如三位數(shù)乘三位數(shù)，且共有100組，你能快速猜想哪一組的乘積最大并加以說明嗎？

設計意圖：在反思中總結(jié)方法，在提問中拓展過渡.

思路二：函數(shù)建模法

認真觀察91×99，92×98，…，98×92，99×91這一列數(shù)，積依次在變.是兩個乘數(shù)中哪一部分的變化引起積在變化？

設計意圖：依據(jù)函數(shù)本質(zhì)設置問題.

通過數(shù)學抽象和數(shù)學建模，問題（1）的任何一個乘積都可以用如下二次函數(shù)模型表示：y=（90+x）（90+10-x），x=1，2，3，4，…，8，9.

此為開口向下拋物線，交x軸于兩點（-90，0）和（100，0），其頂點橫坐標x=-90+1002=5，所以當x=5時，乘數(shù)（90+x）與（90+10-x）都是95，函數(shù)y有最大值，最大值是.

學生設什么為自變量x，可能還有不同的設法，教師要及時肯定評價;學生如沒有其他不同解法，教師可適當簡介下列第一種解法.設什么為自變量x、設什么為函數(shù)y，是本思路的第一個難點;建立函數(shù)模型后，如何快速地求出函數(shù)最大值，是第二個難點.教師做好示范后，為化解難度，以填空的形式，一步一步引領學生自主完成如下問題的探究：

若設第一個乘數(shù)為x，則第二個乘數(shù)表示為，設這兩個乘數(shù)的積為y，則函數(shù)關系式為，自變量x的取值范圍為，頂點坐標為.所以當?shù)谝粋€乘數(shù)為，第二個乘數(shù)為時，函數(shù)y有最大值，最大值是.

若設第一個乘數(shù)為95-x，則第二個乘數(shù)表示為，設這兩個乘數(shù)的積為y，則函數(shù)關系式為，自變量x的取值范圍為，頂點坐標為.所以當?shù)谝粋€乘數(shù)為，第二個乘數(shù)為時，函數(shù)y有最大值，最大值是.

二、解疑合探

對問題（1），我們已經(jīng)知道，頭九尾合十的兩個兩位數(shù)相乘，共有9項乘積，什么情況下乘積最大.但問題（2）中，已擴展到兩個三位數(shù)乘三位數(shù)，而且擴展至99項乘積，哪個乘積最大呢？怎樣說明你的猜想正確？請大家先自主思考，再小組交流，最后小組展示.

預設1：學生類比問題（1）的結(jié)論得到對問題（2）的猜想.也可以計算問題（2）前面三四個乘積，得到乘積的初步變化趨勢，再歸納得到猜想.

預設2：問題（2）中三位數(shù)乘三位數(shù)，因為逐個計算要計算99次（考慮到對稱性也至少要計算50次），學生肯定不考慮計算驗證法.

預設3：有了問題（1）的探究經(jīng)驗做鋪墊，面對901×999，902×998，…，998×902，999×901新情境下建立函數(shù)模型解題的必要性和優(yōu)越性學生應有較強的意識和感悟，但對解法的遷移，解法訓練應是本課的重點，所以必須要求學生寫出完整解題過程：設出自變量x和函數(shù)y、列出函數(shù)關系式、寫出自變量x取值范圍、求出頂點，答題.化解數(shù)學活動的難點更要充分體現(xiàn)學生主體性、參與性.鼓勵學生合作交流.

預設4：有了問題（1）的多角度設自變量的經(jīng)驗積累，學生思維具有一定開放性.要鼓勵和引導學生發(fā)散思維，教師可以安排兩個小組分別展示各自不同的解法.

預設5：學生能總結(jié)反思、自主建構(gòu).總結(jié)探究過程的邏輯聯(lián)系，反思自己的思想方法，歸納題目蘊含的結(jié)論、規(guī)律.

至此，本次數(shù)學活動，問題全部解決.通過類比、歸納等合情推理得到猜想，再驗證或證明猜想正確.其中建立二次函數(shù)模型來說明猜想正確的方法，既簡明又有說服力.還得到了兩個數(shù)學結(jié)論.教師放手學生自主探究、合作交流，師生角色定位良好.教師設置疑問恰到好處.以問題引導探究活動，在探究中學會發(fā)現(xiàn).安排自主思考與合作交流相結(jié)合，學生綜合應用知識解決問題的能力、數(shù)學抽象和數(shù)學建模能力得到實實在在的訓練.

三、質(zhì)疑再探

質(zhì)疑一：問題（2）與問題（1）情境雖然不同，但兩者是否反映了一個共同規(guī)律？（預設：和一定的兩個正數(shù)，當它們相等時，它們的乘積最大.分清楚命題的題設與結(jié)論，反復讀一讀、記一記、悟一悟、拓一拓.）

追問1：問題（1）中，頭9尾合十，改為頭6尾合8，也就是61×67，62×66，…，66×62，67×61中哪個積最大？

追問2：1×199，2×198，3×197，…，197×3，198×2，199×1中哪個積最大？

以上設計意圖：通過變式和拓展，逐步加深對問題本質(zhì)的認識.

質(zhì)疑二：這個規(guī)律如何表述？

除了用文字表述，你還可以用數(shù)學符號語言怎樣表示？（預設：優(yōu)秀學生可以理解a>0，b>0時ab≤（a+b）24，當且僅當a=b時，等號成立.這樣，自然地滲透了基本不等式，屬于高中內(nèi)容，教師點到即止，把握尺度.還可結(jié)合下面回顧，用典型圖形表述.）

追問1：根據(jù)上述結(jié)論，你能自編一道類似的最值問題嗎？

設計意圖：從不同角度認識問題本質(zhì).

質(zhì)疑三：這個規(guī)律有何應用？

“兩個正數(shù)和一定，積最大”.生活中最常用的實例有哪些？（體現(xiàn)數(shù)學活動的綜合性與實踐性.）

回顧人教版義務教育教科書九年級上冊第49頁探究1“用周長為60 m的籬笆圍成矩形場地，矩形面積S隨矩形一邊長l的變化而變化，當l是多少米時，場地的面積S最大？”

回顧人教版義務教育教科書九年級上冊第52頁第4題“已知直角三角形兩條直角邊的和等于8，兩條直角邊各為多少時，這個直角三角形的面積最大？最大面積是多少？”

回顧人教版義務教育教科書九年級上冊第51頁第2題“某種商品每件的進價為30元，在某段時間內(nèi)若以每件x元出售，可以賣出（100-x）件，應如何定價才能使利潤最大？”

回顧人教版義務教育教科書九年級上冊第52頁第7題“如圖所示，點E，F(xiàn)，G，H分別在正方形ABCD的四條邊上，四邊形EFGH也是正方形，當點E位于何處時，正方形EFGH的面積最??？”

設計意圖：數(shù)學活動作為一個單元內(nèi)容全部結(jié)束之后的“綜合與實踐”，是前面學過的例題、習題等主干知識、方法和應用的回顧與復習.

“設疑引探—解疑合探—質(zhì)疑再探”的“三疑三探”課堂組織模式，充分體現(xiàn)了數(shù)學活動自主參與性、綜合性、實踐性、開放性;通過深入挖掘教材，以問題為課堂活動導向，調(diào)動學生自主思考與合作交流，注重活動經(jīng)驗積累和思想方法滲透，學生數(shù)學抽象和函數(shù)建模能力得到不斷升華.

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]人民教育出版社課程教材研究所中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心.義務教育教科書數(shù)學·九年級·上冊[M].北京：人民教育出版社，2014.

[3]邱炯亮.數(shù)學教學與模式創(chuàng)新[M].北京：九州出版社，2017.