淺談含絕對值不等式解題技巧

賀敬

【摘要】含絕對值不等式的題型是高考物理中比較常見的一類題型，這類題型由于難度不高，屬于送分題型，需要確保解題的準(zhǔn)確率以及保證一定的解題速度，這需要學(xué)生掌握一定的解題方法以及特定的解題技巧.本文簡單地闡述了常見絕對值不等式的一些解題技巧，希望能給廣大學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來幫助.

【關(guān)鍵詞】絕對值不等式;幾何法;定義法;分類討論法

一、有關(guān)定義法求解絕對值不等式

分析：利用定義法求解含有絕對值的不等式，即利用|a|=a（a>0），0（a=0），-a（a<0）， 出發(fā)點是將絕對值先去掉后再進行求解.

例1 解關(guān)于含有x的絕對值不等式|ax-2|<4，其中a∈R.

解 |ax-2|<4屬于|x|0）型，

∴-4

當(dāng)a>0時，-2a

當(dāng)a<0時，-2a>x>6a，

當(dāng)a=0時，不等式實際轉(zhuǎn)化為-2<6，顯然x∈R.

因此，a>0時不等式解集是x-2a

點評 利用定義法求解含有絕對值的不等式實際是根據(jù)不等式右邊常數(shù)是正數(shù)、零還是負數(shù)，將不等式左邊的絕對值去掉，然而求解不含有絕對值的不等式，再進行求解.但是，要注意分類討論時千萬別漏掉一些情況.

二、有關(guān)幾何法求解絕對值不等式

分析：幾何法求解含有絕對值的不等式，又稱為數(shù)軸法或者圖像法求解含有絕對值的不等式.

例2 求解含有絕對值不等式|x-1|+|x+1|≥5的解集為.

解 利用數(shù)軸法定義：從幾何意義方面去考慮|x-1|表示的幾何意義是x到1的距離，|x+1|表示的幾何意義為x到-1的距離，原不等式的幾何意義是求x到1的距離及到-1的距離之和大于等于5，觀察數(shù)軸：

當(dāng)x位于-1與1之間時，x與1的距離及與-1的距離之和為2，即|x-1|+|x+1|=2;當(dāng)x在1的右邊時，取x=2.5，有x到1的距離及到-1的距離之和為5，即|x-1|+|x+1|=5，因此，當(dāng)x≥2.5時，有|x-1|+|x+1|≥5.同理，當(dāng)x在-1的左邊時，取x=-2.5，有x到1的距離及到-1的距離之和為5，即|x-1|+|x+1|=5，因此，當(dāng)x≤-3時，有|x-1|+|x+1|≥5.

綜合以上可得x∈（-∞，-2.5]∪[2.5，+∞）為所求解.

點評 利用數(shù)軸法的解決含有絕對值不等式的關(guān)鍵是將分界點找出，然后利用距離的思想找出符合題意的方法，數(shù)軸法解題的速度是最快的，但應(yīng)用范圍較窄，一般僅限于含有兩個絕對值不等式的求解.

三、有關(guān)分類討論法求解絕對值不等式

分析：通過合理的分類來將不等式中的所有絕對值去掉，從而有效方便地求解不等式.|x-a|+|x-b|≤c型絕對值不等式的解題步驟是：

（1）假設(shè)每個具有絕對值的等式代數(shù)和為零，并求出相對應(yīng)的解;

（2）將這些所有的解按從小到大排序，并把這些解分為若干個區(qū)間（類似于幾何法）;

（3）由所分區(qū)間去掉絕對值符號后，所組成若干個不等式，解這些不等式，求出所有可能的解;

（4）取各個不等式解集的并集求得原不等式的解集.

例3 不等式|x+3|-|2x-1|

解 ① 當(dāng)x<-3時，原不等式化為-（x+3）-（1-2x）

② 當(dāng)-3≤x<12時，原不等式化為（x+3）-（1-2x）

③ 當(dāng)x≥12時，原不等式化為（x+3）-（2x-1）2，∴x>2.

因此，絕對值不等式的解集為xx<-25或x>2.

點評 分類討論法解決絕對值不等式是一種通用的方法，所有的絕對值不等式都可以用此類方法進行求解.分類討論時要將所有的臨界點都分析清楚，要全不能漏掉，將臨界點考慮清楚后可以將絕對值符號全部去掉，從而化簡為一般的不等式，最后將所有的解都求解出.

四、結(jié)束語

含有絕對值的不等式是高中數(shù)學(xué)一個較為常見的知識點，也是高考數(shù)學(xué)的一個送分題，需要好好把握.本文主要闡述了定義法、幾何法以及分類討論法求解含有絕對值的不等式，其所有方法的核心思想是將絕對值符號去掉，轉(zhuǎn)化為不含有絕對值的不等式，再進行求解即可.