剖析尺規(guī)作圖，探討破題啟示

符學建

[摘? 要] 尺規(guī)作圖是初中數(shù)學較為重要的內容，中考對尺規(guī)作圖的考查涉及多種形式，有直接考查作圖設計的，也有依托尺規(guī)作圖考查幾何問題的，而理解基本的幾何原理，了解作圖的基本過程，能夠從中提煉出幾何性質是突破考題的關鍵. 文章探析了中考尺規(guī)作圖題的基本類型，并展開相應的學習思考.

[關鍵詞] 尺規(guī)作圖;幾何;設計;思考啟示

尺規(guī)作圖指的是，在僅使用圓規(guī)和無刻度直尺的情況下進行相應的作圖操作. 尺規(guī)作圖，不僅可以歸納一些性質和定理，還可以鍛煉學生的實踐操作能力. 近幾年，中考常將尺規(guī)作圖融入考題，用以考查學生的幾何知識和實踐分析能力，下面筆者將對尺規(guī)作圖題進行探析[1].

類型探究，破題評析

1. 尺規(guī)作圖與幾何計算

例1? （2018年淮安中考）如圖1所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分別以點A，B為圓心，以大于AB的長為半徑畫弧，兩弧的交點分別為P，Q，過P，Q兩點作直線交BC于點D，則CD的長是______.

分析上述呈現(xiàn)了垂直平分線的作圖過程，即PQ為線段AB的垂直平分線. 要求線段CD的長，需要充分利用垂直平分線的性質. 連接AD后，由垂直平分線的性質可得AD=BD. 若設AD=x，則CD=BC-DB=5-x. 在Rt△ACD中由勾股定理可得AD2=AC2+CD2，從而可構建關于x的方程，解方程后即可求得CD的長.

解答連接AD，如圖2，因為PQ為線段AB的垂直平分線，所以AD=DB. 設AD=x，則CD=BC-DB=5-x. 在Rt△ACD中，由勾股定理可得x2=32+（5-x）2，解得x=，所以CD=.

評析? 本題將尺規(guī)作圖與線段求值相結合，考查學生垂直平分線的性質和勾股定理等知識. 考題在設計上摒棄了傳統(tǒng)的幾何特征敘述的方式，采用的方式是作圖過程描述，解題的關鍵是理解垂直平分線的作圖方法，然后構建求解線段長的幾何模型. 考題構思巧妙，可見學習作圖過程的規(guī)范語言對解題極為重要.

2. 尺規(guī)作圖與證明猜想

例2（2018年深圳中考節(jié)選）已知菱形的一個角與三角形的一個角重合，然后它的對角頂點在這個重合角的對邊上，這個菱形稱為這個三角形的親密菱形. 如圖3，在△CFE中，CF=6，CE=12，∠FCE=45°，以點C為圓心，以任意長為半徑作弧AD，再分別以點A和點D為圓心，以大于AD的長為半徑作弧，交EF于點B，AB∥CD. 求證：四邊形ACDB為△FEC的親密菱形.

分析要解決此題，首先需要理解新定義，并從中提煉滿足定義的條件，即菱形的一個角與三角形融合，且對角頂點在三角形上;然后分析尺規(guī)作圖的過程，提取其中的幾何信息. 具體證明思路可以是，先證明四邊形ACDB為菱形，再結合定義條件證明其為△FEC的親密菱形.

證明上述呈現(xiàn)的是角平分線的尺規(guī)作圖過程，即CB為∠ACD的平分線，于是有∠ACB=∠DCB，AC=CD. 因為AB∥CD，所以∠ABC=∠DCB. 所以∠ACB=∠ABC. 所以CD=AC=AB. 所以四邊形ACDB為菱形. 因為∠ACD與△CFE中的∠FCE重合，且對角頂點B在EF邊上，所以四邊形ACDB為△FEC的親密菱形.

評析本題將尺規(guī)作圖與新定義題的證明進行有機結合，用作圖過程替換了其中的幾何條件，在增強應用性的基礎上考查了學生的演繹推理能力. 解答問題時需注意兩點：一是提取作圖過程中形成的幾何性質;二是嚴格按照幾何證明的邏輯進行推理，由已知探未知，用推理證猜想.

3. 尺規(guī)作圖與方案設計

例3（2018年天門中考）圖4和圖5都是由邊長為1的小菱形構成的網(wǎng)格，每個小菱形的頂點稱為格點. 點O，M，N，A，B均在格點上，請僅用無刻度直尺在網(wǎng)格中完成下列畫圖.

（1）在圖4中畫出∠MON的平分線OP;

（2）在圖5中畫一個Rt△ABC，使點C在格點上.

分析第（1）問要求在網(wǎng)格中作出∠MON的平分線，考慮到全等三角形的對應角相等，于是可以作出共頂點O和P的兩個全等的三角形，如△MOP≌△NOP，在網(wǎng)格中可以利用單元菱形的性質來確定等長. 第（2）問是作Rt△ABC，條件有兩個：一是有直角，二是點C在格點上. 由于單元圖形為菱形，而菱形的兩條對角線互相垂直，于是可以借助其特性，通過連線、作平行線的方式來實現(xiàn).

解答（1）具體作圖如圖6，確保△MOP與△NOP全等即可.

（2）因為點B為單元菱形的一個頂點，所以可以連接該單元菱形的對角線，分別命名為EF和BC，連接AC即可，此時AC∥EF，而EF⊥BC，所以BC⊥AC. 所以△ABC是以∠ACB=90°的直角三角形，如圖7.

評析上述考題要求在網(wǎng)格內作圖，屬于尺規(guī)作圖的方案設計題. 解決尺規(guī)設計題需要把握兩點：一是設計的原理，即根據(jù)幾何定理和性質確定方案;二是按照特定的程序和順序開展設計，即在繪圖時基于原理以一定的順序進行連線. 因此，以尺規(guī)作圖為載體的方案設計題是對學生幾何理解和數(shù)學探究能力的綜合考查，可見培養(yǎng)實踐技能對于該類問題的解答十分重要.

4. 尺規(guī)作圖與實際應用

例4? （2018年濟寧中考）在一次數(shù)學活動課中，某數(shù)學小組探究求環(huán)形花壇面積的方法，現(xiàn)有以下工具（如圖8）：①卷尺;②直棒EF;③T形尺（CD所在的直線垂直平分線段AB）.

[卷尺][B][D][C][E][A][F][直棒][T形尺][圖8]

（1）在圖9中，請你畫出用T形尺找大圓圓心的示意圖（保留畫圖痕跡，不寫畫法）;

（2）如圖10，小華說：“我只用一根直棒和一個卷尺就可以求出環(huán)形花壇的面積，具體做法如下：將直棒放置到與小圓相切，用卷尺量出此時直棒與大圓兩交點M，N之間的距離，就可以求出環(huán)形花壇的面積. 如果測得MN=10 m，請你求出這個環(huán)形花壇的面積.

[圖10][O][E][F][M][N]

分析上述為應用尺規(guī)作圖求解實際問題的案例. 第（1）問利用T形尺找圓心，首先需要理解T形尺的兩條邊的關系，即長邊是短邊的垂直平分線. 如果將T形尺放入圓內任意位置，則由其性質可知T形尺的長邊必過圓心，于是可以利用兩線交點確定一點來達到找圓心的目的. 第（2）問同樣是尺規(guī)作圖的生活化實踐，首先需要結合圓環(huán)的求解公式分析所需的線段參數(shù)，然后構建模型.

解答? （1）將T形尺的短邊沿圓內壁任意位置擺放，記長邊為CD，然后換個位置再記長邊為C′D′，則CD與C′D′的交點就是圓心O，如圖11所示.

（2）如圖12所示，過圓心O作MN的垂線，垂足為點Q，連接OM. 由于MN為內圓的切線，所以S=π·OM2-π·OQ2=π·（OM2-OQ2）. 結合Rt△MOQ中的勾股定理可得OM2-OQ2=MQ2，于是S=π·MQ2. 又MQ=MN=5 m，所以S環(huán)形=25π m2.

評析本題通過探究的方式將尺規(guī)作圖融入生活實際問題中，用實物量具取代數(shù)學尺規(guī)工具，可以充分考查學生對數(shù)學的理解與應用. 同時，這種生活化的作圖氛圍也是對“知識源于生活，又服務于生活”理念的體現(xiàn). 求解時，需要充分利用所學思考問題解決的措施，并結合具體的幾何定理來構建問題分析模型.

作圖思考，學習啟示

1. 強化幾何原理

尺規(guī)作圖雖然屬于實踐操作類問題，但操作的過程是基于對應的幾何原理，因此本質上尺規(guī)作圖是知識與操作綜合應用的過程. 理解幾何的基本性質和定理是進行尺規(guī)作圖的前提，依據(jù)科學理論進行操作才是有意義的[2]. 尺規(guī)作圖最為常用的幾何原理有角平分線性質、垂直平分線性質和三角形全等定理等，對于上述內容的學習，不僅需要理解具體的含義，還需要掌握具體的應用過程，能夠使用對應的性質、定理進行問題的分析，具體學習時可以多關注教材的實踐活動，拓展應用視野.

2. 理解數(shù)學語言

一類尺規(guī)作圖題常以文字敘述的形式來呈現(xiàn)作圖過程，要求結合作圖過程解決相應的問題，如上述考題關于角平分線和垂直平分線的作圖問題，其中最為顯著的特點是呈現(xiàn)過程，隱含性質，因此理解過程、準確地提取性質是解決問題的關鍵. 教材中對相關作圖操作進行描述時使用的是對應的數(shù)學語言，即綜合符號、字母和文字，因此學習時特別需要注重數(shù)學語言與幾何作圖的對應轉化. 如學習角平分線的性質時，不僅要掌握角平分線的作圖過程和性質，還需要理解作圖語言[3]. 掌握數(shù)學語言的定理描述，實現(xiàn)幾何的規(guī)范化操作，是提升尺規(guī)作圖能力的必要條件.

3. 提升數(shù)學思維

數(shù)學的解題過程是多種思維活動的過程，作圖時需要掌握對應的方法流程和幾何原理，所以解決尺規(guī)作圖題時，需要結合相應的知識進行推理，包括合情推理和演繹推理. 尤其是對于較為復雜的作圖題，需要進行嚴格的分析和論證，必要時還需要結合對應的思想方法，如數(shù)形結合思想、等效轉化思想等. 以思想方法為指引，以基本知識為依托，進行數(shù)學思維的推理活動，這才是科學的尺規(guī)作圖. 因此，提升尺規(guī)作圖能力時，首先要提升數(shù)學思維能力，促進自身綜合素養(yǎng)的發(fā)展.

參考文獻：

[1]冒劼. 明晰尺規(guī)功能，讓明理與得法同行[J]. 中學數(shù)學，2017（02）：19-21.

[2]仇恒光. 尺規(guī)作圖教學的策略探究[J]. 中學數(shù)學教學參考，2018（11）：61-63.

[3]楊春霞. 簡約中蘊新意? ?多途徑顯深度[J].? 中學數(shù)學教學參考，2017（25）：33-35.