建立數(shù)學(xué)模型，輕松解決初中數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題

蔡振華

[摘? 要] 數(shù)學(xué)模型在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，不僅是一種模型，更是一種思想，對(duì)于學(xué)生而言，它不僅是一種數(shù)學(xué)方法，更是一種數(shù)學(xué)素養(yǎng)，所以學(xué)生應(yīng)熟悉數(shù)學(xué)模型的建立與應(yīng)用，深刻感悟模型建立與應(yīng)用的一般步驟.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)模型;實(shí)際問(wèn)題;數(shù)學(xué)教學(xué)

數(shù)學(xué)模型是連接數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際應(yīng)用的橋梁，隨著時(shí)代的發(fā)展與教育改革的不斷深入，如今的數(shù)學(xué)教學(xué)更加重視與生活的聯(lián)系及學(xué)生應(yīng)用能力的發(fā)展，實(shí)際問(wèn)題在數(shù)學(xué)問(wèn)題中的比重逐漸增大已成為一種趨勢(shì). 在實(shí)際問(wèn)題的解決中，建立數(shù)學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)實(shí)際問(wèn)題中隱含的數(shù)學(xué)知識(shí)是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵. 建立數(shù)學(xué)模型的基本思路就是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)邏輯和數(shù)學(xué)方法來(lái)求解模型，再根據(jù)結(jié)果確定實(shí)際問(wèn)題的解. 下文筆者結(jié)合實(shí)例，簡(jiǎn)要談?wù)劤踔袛?shù)學(xué)中常見(jiàn)模型思想的種類及建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的方法，供各位參考.

方程（組）模型

方程（組）模型是應(yīng)用題中最為常見(jiàn)的模型，即我們常說(shuō)的“列方程解應(yīng)用題”. 建立方程（組）模型的一般思路是：分析已知量、未知量，將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題→找出等量關(guān)系→構(gòu)建方程（組）模型→求出方程（組）的解→確定實(shí)際問(wèn)題的解.

例1? 學(xué)校組織學(xué)生去春游，公園里共有大小兩種規(guī)格的游船48艘，共可容納520人，其中小船每艘可坐8人，大船每艘可坐12人，問(wèn)大船和小船各有多少艘？

第一步：分析已知條件和未知數(shù)的個(gè)數(shù).

由已知條件可知，題中設(shè)計(jì)了兩個(gè)未知量，共有兩個(gè)等量關(guān)系.

第二步：設(shè)未知數(shù)，找等量關(guān)系.

設(shè)大船共x艘，小船y艘. 等量關(guān)系為：①大船的數(shù)量+小船的數(shù)量=48，②大船可容納的總?cè)藬?shù)+小船可容納的總?cè)藬?shù)=520.

第三步：列方程、解方程.

列出方程x+y=48，

12x+8y=520， 解得x=34，

y=14.

第四步：確定實(shí)際問(wèn)題的解.

大船34艘，小船14艘.

在初中數(shù)學(xué)階段，常見(jiàn)的方程（組）模型有：“人員調(diào)配”“增長(zhǎng)率”“銷售利潤(rùn)”“工程問(wèn)題”“行程問(wèn)題”等，在解題過(guò)程中，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確構(gòu)建方程（組）模型是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

不等式（組）模型

在實(shí)際問(wèn)題中，應(yīng)用較為廣泛的另一種模型便是不等式（組）模型. 在不等關(guān)系中，可以構(gòu)建“不等式（組）”模型，其基本步驟和構(gòu)建方程（組）模型相似，即審題，分析已知和未知→找不等關(guān)系→設(shè)未知數(shù)→建立不等式模型→解不等式→根據(jù)實(shí)際問(wèn)題寫出答案.

例2? 學(xué)期末，為了獎(jiǎng)勵(lì)進(jìn)步顯著的20名學(xué)生，李老師讓班長(zhǎng)用不超過(guò)200元的班費(fèi)購(gòu)買20份獎(jiǎng)品，小明到了文具店后發(fā)現(xiàn)筆記本5元一本，筆袋16元一個(gè)，班長(zhǎng)想盡可能多購(gòu)買筆袋，你覺(jué)得他最多能買幾個(gè)筆袋呢？

第一步：分析題中的已知條件和未知量.

已知條件：獎(jiǎng)品總數(shù)20，總價(jià)不超過(guò)200;未知量：筆記本的數(shù)量、筆袋的數(shù)量.

第二步：找出不等關(guān)系.

筆記本的價(jià)錢+筆袋的價(jià)錢≤200.

第三步：列不等式、解不等式.

設(shè)購(gòu)買x個(gè)筆袋，5（20-x）+16x≤200，解得x≤.

第四步：確定實(shí)際問(wèn)題的解.

因?yàn)閤為正整數(shù)，所以最大值為9，即最多買9個(gè)筆袋.

常見(jiàn)的不等式（組）模型有“最佳購(gòu)買方案問(wèn)題”“最省資金調(diào)配問(wèn)題”等，找準(zhǔn)不等關(guān)系確立不等式是主要任務(wù)，讀透題目、找到題中的關(guān)鍵詞是找不等關(guān)系的突破口.

概率模型

概率模型是最貼近生活的模型，概率通俗來(lái)說(shuō)就是事件發(fā)生的可能性，它充盈在生活的每一個(gè)角落，“明天下雨的可能性有多大”“拋擲一枚一元硬幣，正面朝上的概率有多大”“買一瓶綠茶，喝到‘再來(lái)一瓶的可能性有多大”等. 建立概率模型，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫上述事件發(fā)生的可能性，會(huì)使其更加具有說(shuō)服力. 其基本方法是將實(shí)際問(wèn)題抽象成為數(shù)學(xué)問(wèn)題→建立概率模型→用概率描述事件發(fā)生的可能性大小.

例3? 如圖1，某商場(chǎng)為了吸引顧客，設(shè)立了可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，并規(guī)定：顧客每購(gòu)買200元的商品就能獲得一次轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì). 轉(zhuǎn)盤停止后，指針正好對(duì)準(zhǔn)紅色、黃色、綠色區(qū)域，那么顧客就可以分別獲得200元、100元、50元的購(gòu)物券，如果對(duì)準(zhǔn)其余區(qū)域則無(wú)法獲得購(gòu)物券. 如果顧客不愿意轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤，可以選擇直接獲得30元購(gòu)物券. 你認(rèn)為轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤和直接獲得購(gòu)物券哪種方式對(duì)顧客更合算？

將此問(wèn)題抽象成為數(shù)學(xué)問(wèn)題即為：選擇轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤的顧客平均獲得的購(gòu)物券價(jià)值和直接獲得的30元哪個(gè)更大？

建立概率模型討論：P（指針指在紅色區(qū)域）=，P（指針指在黃色區(qū)域）=，P（指針指在綠色區(qū)域）=. 所以客戶轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤平均能獲得的優(yōu)惠券價(jià)值為：200×+100×+50×=40（元），大于直接獲得30元優(yōu)惠券. 因此轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤對(duì)顧客來(lái)說(shuō)更合算.

常見(jiàn)的概率模型有“彩票獲獎(jiǎng)概率”“比賽的公平性”等，還有一些古典概型. 看清問(wèn)題的本質(zhì)，準(zhǔn)確建立概率模型，是用概率的大小描述事件可能性的中心環(huán)節(jié)[1].

函數(shù)模型

函數(shù)是整個(gè)初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題是函數(shù)學(xué)習(xí)內(nèi)容中的重點(diǎn)，以二次函數(shù)的模型最為常見(jiàn). 其基本思路是：發(fā)現(xiàn)函數(shù)關(guān)系→建立函數(shù)模型→求解函數(shù)模型→確定實(shí)際問(wèn)題的解.

例4? 小梅在數(shù)學(xué)學(xué)科社會(huì)實(shí)踐中對(duì)某商場(chǎng)某種進(jìn)價(jià)為30元的商品售價(jià)與銷量進(jìn)行了為期3個(gè)月（按90天來(lái)計(jì)）的跟蹤調(diào)查，最后整理成了表1.

[時(shí)間 （天） 1≤x<50 50≤x<90 售價(jià)（元/件） x+40 90 每天銷量（件） 200-2x ][表1]

（1）你能根據(jù)表格推算出哪一天的銷售利潤(rùn)最大嗎？最大利潤(rùn)是多少？

（2）已知銷售員在銷售這種商品時(shí)，只有當(dāng)每天利潤(rùn)不低于4800元時(shí)才能得到獎(jiǎng)金. 請(qǐng)你計(jì)算一下這3個(gè)月中銷售員可以獲得獎(jiǎng)金的天數(shù).

第一步：發(fā)現(xiàn)函數(shù)模型.

該種商品每天的利潤(rùn)為時(shí)間x的函數(shù).

第二步：建立函數(shù)模型.

設(shè)每天的利潤(rùn)為y，則當(dāng)1≤x<50時(shí)，y=（200-2x）（x+40-30）=-2x2+180x+2000，當(dāng)50≤x<90時(shí)，y=（200-2x）（90-30）=-120x+12000. 可見(jiàn)y是關(guān)于x的分段函數(shù).

第三步：求解問(wèn)題.

（1）當(dāng)1≤x<50時(shí)，函數(shù)為y=-2x2+180x+2000=-2（x-45）2+6050，是開(kāi)口向下的二次函數(shù)，所以當(dāng)x=45時(shí)，y=6050. 當(dāng)50≤x<90時(shí)，y隨x的增大而減小，所以當(dāng)x=50時(shí)，y=6000. 綜上所述，該商品在第45天時(shí)利潤(rùn)最大，最大為6050元.

（2）根據(jù)函數(shù)圖像，當(dāng)20≤x≤60時(shí)，函數(shù)值大于4800，所以共41天可以拿到獎(jiǎng)金.

在實(shí)際問(wèn)題中，“用料最省”“成本最低”“利潤(rùn)最大”等關(guān)鍵詞都是函數(shù)模型的“提示語(yǔ)”，我們要用發(fā)現(xiàn)的眼光看待這些問(wèn)題，準(zhǔn)確建立函數(shù)模型.

幾何模型

說(shuō)到幾何模型，我們最先想到的可能是全等、相似、面積及“半角模型”“一線三等角模型”等常見(jiàn)的幾何模型，這些均是較為明顯的模型，直接存在于幾何圖形中，在此不再贅述. 細(xì)心觀察，在實(shí)際問(wèn)題中也存在著“隱性”的幾何模型，如“雙循環(huán)賽”“單循環(huán)賽”常常使學(xué)生們混淆不清，如果換一種角度思考，將代數(shù)轉(zhuǎn)化為幾何，問(wèn)題將迎刃而解[2].

例5? ?；@球賽，學(xué)校共有8支球隊(duì)參賽，如果采用單循環(huán)制，需要比賽幾場(chǎng)？如果是雙循環(huán)制呢？

將此問(wèn)題中的8支球隊(duì)看成是平面中的8個(gè)點(diǎn)（其中任何三個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線上），用兩點(diǎn)之間的連線刻畫“每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間的比賽”，可以發(fā)現(xiàn)，從一個(gè)點(diǎn)出發(fā)可以作7條線段，即每個(gè)球隊(duì)要比賽7場(chǎng)，總場(chǎng)數(shù)即為7×8=56場(chǎng)，單循環(huán)賽即每?jī)牲c(diǎn)之間的線段只需算一次，所以總場(chǎng)次為×（7×8）=28.

常見(jiàn)的用幾何模型來(lái)解決的代數(shù)問(wèn)題除了循環(huán)賽問(wèn)題還有送禮問(wèn)題、握手擁抱等. 建立幾何模型能讓抽象的問(wèn)題變得直觀，讓深?yuàn)W的問(wèn)題更易于理解. 是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要體現(xiàn).

在初中數(shù)學(xué)中，模型思想是重要的數(shù)學(xué)思想之一，數(shù)學(xué)教學(xué)中，滲透模型思想有利于學(xué)生更好地體悟數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，也能增強(qiáng)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展有著積極的作用. 而在滲透模型思想的教學(xué)中，教師的關(guān)注點(diǎn)應(yīng)放在如何引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中的模型和建立模型上，讓其能正確建立模型，輕松解決數(shù)學(xué)問(wèn)題. 學(xué)生會(huì)在應(yīng)用中提升數(shù)學(xué)思想的感悟度、理解度、應(yīng)用度，從而在實(shí)實(shí)在在地訓(xùn)練與實(shí)踐，全面提升數(shù)學(xué)的學(xué)科素養(yǎng)，提升學(xué)生自我的核心素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生在學(xué)習(xí)與生活上的可持續(xù)發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

[1]錢德春. 試題編制，一門遺憾的藝術(shù)——2014年泰州中考數(shù)學(xué)第25題的分析與反思[J].? 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2014（8）：50-52.

[2]王美蘭. 如何編制初中數(shù)學(xué)開(kāi)放性試題[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2012（14）：92-93.