基于量綱分析的油炒表面換熱系數(shù)預(yù)測模型

張宏文何臘平,2鄧 力,2李翠芹馮倫元陳翠翠余冰妍常 瑞

(1. 貴州大學(xué)釀酒與食品工程學(xué)院，貴州 貴陽 550025；2. 貴州省農(nóng)畜產(chǎn)品貯藏與加工重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 貴州 貴陽 550025；3. 貴州大學(xué)化學(xué)與化工學(xué)院，貴州 貴陽 550025)

中式烹飪歷史悠久，技法形式復(fù)雜多樣，其中油炒具有過程短促激烈、非穩(wěn)態(tài)性顯著等特點(diǎn)，復(fù)雜性遠(yuǎn)高于水傳熱和汽傳熱[1]，是中式烹飪獨(dú)有的典型技法。油炒烹飪的過程特征是開放容器中被攪拌流體—顆粒食品的加熱過程。在該過程中傳熱方向是熱源→容器→流體→食品顆粒[2]。流體—顆粒表面換熱系數(shù)(fluid-to-particle heat transfer coefficients,hfp)是描述傳熱的關(guān)鍵性過程參數(shù)。hfp是流體與單位面積的食品顆粒表面之間存在溫度梯度時，流體對流到顆粒表面的熱對流速率，其數(shù)值取決于油炒過程中流體與食品顆粒相對運(yùn)動速度、流體熱物性及食品顆粒特征的綜合。hfp對油炒烹飪中食品顆粒的全局溫度分布有決定性影響，從而影響中心成熟值(Mc值)、表面過熱值(Os值)等[3]溫度依賴性品質(zhì)動力學(xué)參數(shù)，在烹飪品質(zhì)控制與優(yōu)化中有重要意義。目前，中國的烹飪行業(yè)產(chǎn)值已達(dá)到4.27萬億元[4]，隨著食品加工業(yè)的快速發(fā)展，對烹飪的基礎(chǔ)研究日益迫切，亟需油炒等烹飪過程中諸因素下hfp的準(zhǔn)確測量及預(yù)測。

在食品熱處理中hfp的獲得難度較大，主要有集中參數(shù)法、表面熱流量測量法和中心溫度測量法[5]。文獻(xiàn)[6]中總結(jié)實(shí)測食品顆粒溫度及hfp的具體方法有：靜態(tài)顆粒法[5,7-8]、移動熱電偶法、液晶法、發(fā)射法、微生物法[時間溫度積分器(time-temperature integrators,TTIs)[9-10]]。由于油炒烹飪過程中食品顆?？焖贌o規(guī)則移動，靜態(tài)顆粒法、移動熱電偶法等試驗(yàn)測定手段存在較大誤差，液晶法和發(fā)射法準(zhǔn)確性也不高，微生物法則存在制作繁瑣問題。因此，采用數(shù)值法并結(jié)合傳熱學(xué)試驗(yàn)是計(jì)算得到較為準(zhǔn)確的hfp唯一方法。

量綱分析是Backingham于20世紀(jì)初提出的一種在物理領(lǐng)域中建立數(shù)學(xué)模型的方法，可有效分析和探索物理量之間的關(guān)系[11]1-8。相較于其他計(jì)算方法，該方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行合理降維，在減少計(jì)算量的同時保證計(jì)算精度，能最大程度地反映影響建模的關(guān)鍵參數(shù)。早在1938年，F(xiàn)roszling利用量綱分析法建立了空氣中廢水的hfp：Nu=2.0+0.55Re1/2Pr1/3。在食品熱處理領(lǐng)域，Chandarana等[12]得出立方體硅脂顆粒分別在淀粉液和水中hfp的無量綱預(yù)測式：Nu=2.0+0.028 2Re1.6Pr0.89和Nu=2.0+0.033 3Re1.08。Zuritz等[13]研究了蘑菇形鋁質(zhì)顆粒在CMC溶液中的傳熱過程，得到了無量綱預(yù)測式：Nu=2.0+28.37Re0.233Pr0.143(dm/dt)1.787。目前利用量綱分析方法預(yù)測hfp主要在殺菌領(lǐng)域[14-15]，而應(yīng)用于油炒過程中hfp預(yù)測尚未報道。

本研究基于量綱分析法中Π定理推導(dǎo)hfp的無量綱預(yù)測模型，考察油炒過程中不同火候、不同流體流速模擬食物攪拌與顛鍋過程，結(jié)合實(shí)測hfp驗(yàn)證模型準(zhǔn)確性。以期為油炒烹飪提供一種普遍適用、方便、經(jīng)濟(jì)的hfp研究測定方法。

1 材料與方法

1.1 試驗(yàn)材料

豬里脊肉、食用調(diào)和棕櫚油：市售。

1.2 儀器與設(shè)備

計(jì)算機(jī)：E5-572G-528R型，8 GB內(nèi)存，I5-421M雙核處理器，宏碁電腦(上海)有限公司；

烹飪傳熱學(xué)及動力學(xué)數(shù)據(jù)采集分析系統(tǒng)：貴州大學(xué)自研[16]；

鎧裝熱電偶：WRTK-103型，寧波奧崎自動化儀表設(shè)備有限公司；

可調(diào)速恒溫油浴鍋：DF-101T-5型，上海力辰邦西儀器科技有限公司；

切片機(jī)：BL658型，深圳市博萊電子電器有限公司；

S型皮托管：SPT-08-500型，上海億歐儀表設(shè)備有限公司。

1.3 烹飪流體—顆粒多孔介質(zhì)熱/質(zhì)傳遞模型

1.3.1 控制方程 在油炒過程中，食品顆粒內(nèi)部任一位置的溫度隨時間的變化而變化，在笛卡爾坐標(biāo)系中，呈現(xiàn)三維非穩(wěn)態(tài)溫度分布；顆粒無內(nèi)熱源，熱物理參數(shù)密度、比熱容、導(dǎo)熱系數(shù)相對溫度，可視為常數(shù)，因此，內(nèi)部導(dǎo)熱過程適用簡化的三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程[2]：

(1)

式中：

ρp——食品顆粒密度，kg/m3；

Cpp——食品顆粒比熱容，J/(kg·℃)；

T——食品顆粒微元溫度，℃；

t——時間，s；

kp——食品顆粒導(dǎo)熱系數(shù)，W/(m·℃)；

Δ——拉普拉斯算符。

1.3.2 初始條件和邊界條件

(1) 初始條件：初始溫度Ts為室溫24 ℃，Tf為流體溫度，由油浴鍋控制。

(2) 邊界條件：流體—顆粒對流加熱過程中，其邊界控制方程為：

kp▽T=-hfpTs-Tf，

(2)

式中：

▽——漢密爾頓算符；

hfp——流體—顆粒表面換熱系數(shù)，W/(m2·℃)；

Ts——顆粒表面溫度，℃；

Tf——流體溫度，℃。

目前數(shù)值法計(jì)算hfp的研究尚不充分，本課題組前期建立了考慮表面蒸發(fā)的烹飪流體—顆粒多孔介質(zhì)熱/質(zhì)傳遞模型[17]，經(jīng)解析法驗(yàn)證，實(shí)測與模擬的時間—溫度的相關(guān)系數(shù)R達(dá)到0.997以上。根據(jù)數(shù)學(xué)物理方程解的唯一性定律[18]，當(dāng)非穩(wěn)態(tài)傳熱的定解條件一定時模型的解唯一，采用試差法計(jì)算實(shí)測與模擬的時間—溫度相關(guān)系數(shù)的最大值是，此時模型中的hfp認(rèn)為是實(shí)際值。

1.4 量綱分析的基本原理：Π定理

Π定理[11]9-18[19-20]是量綱分析理論的核心，由美國物理學(xué)家Buckingham于1914年提出，用數(shù)學(xué)公式解釋Π定理如下：

設(shè)n個物理量之間滿足下列函數(shù)關(guān)系式：

f(x1、x2、……、xn)=0，

(3)

式中：

x1、x2、……、xn——物理量。

n個物理量中含有p個基本量綱(p

F(Π1、Π2、……、Πm)=0，

(4)

式中：

F——待求函數(shù)關(guān)系；

Π1、Π2、……、Πm——無量綱數(shù)群(準(zhǔn)數(shù))，且m=n-p。

綜上，說明Π定理將多因素影響的物理系統(tǒng)中的各變量經(jīng)過交叉計(jì)算，導(dǎo)出較少無量綱準(zhǔn)數(shù)，有利于抓住影響系統(tǒng)的關(guān)鍵因素，從而構(gòu)建物理方程式的結(jié)構(gòu)形式。

1.5 hfp的無量綱預(yù)測模型的構(gòu)建

1.5.1 影響烹飪過程中hfp的主要因素 根據(jù)傳熱學(xué)原理[21]可知，影響表面換熱系數(shù)的因素有食品顆粒的特征尺寸、溫度、流體的流速、黏度、密度、比熱容以及導(dǎo)熱系數(shù)等。其中，溫度是主導(dǎo)因素[5,22-23]，為了溫度的無量綱化，將溫度分為流體溫度Tf和參考溫度T參。用函數(shù)關(guān)系式表達(dá)為：

f(hfp,l,v,Tf,T參,μ,ρ,Cpf,λ)=0。

(5)

式(5)中9個物理量的符號、單位及量綱見表1，可以看出其由4個基本量綱：長度L、質(zhì)量M、時間T和溫度θ組成。

表1 試驗(yàn)物理量及量綱

1.5.2 確定無量綱Π數(shù)的數(shù)目 依據(jù)Π定理，無量綱Π數(shù)的數(shù)目：

m=n-p=9-4=5。

(6)

若Π1、Π2、Π3、Π4和Π5表示無量綱準(zhǔn)數(shù)，則式(5)可表示為

Π5=F(Π1,Π2,Π3,Π4)。

(7)

1.5.3 確定準(zhǔn)數(shù)形式 以長度L、質(zhì)量M、時間T和溫度θ作為基本量綱，建立其量綱矩陣，見表2。

通過MATLAB軟件中null函數(shù)對表2中量綱矩陣進(jìn)行齊次線性方程求解，得到式(8)中5個無量綱準(zhǔn)數(shù)：

表2 量綱矩陣

(8)

將式(8)中各Π項(xiàng)進(jìn)行代數(shù)變換，得到式(9)中的4個無量綱準(zhǔn)數(shù)：

(9)

為了簡便，假設(shè)T參為100 ℃，同時，該試驗(yàn)的9個變量中，除hfp為因變量外，其他均為自變量，所以將含有hfp的Π4可作為因變Π項(xiàng)，應(yīng)滿足：

(10)

此時，方程等號兩邊的量綱必須相同，當(dāng)用基本量綱的冪次式表示時，各個基本量綱的冪次相等，稱為量綱齊次性。式(10)以冪函數(shù)的形式表示為：

(11)

即，

Nu=ReaPrb(Tf/100)c。

(12)

1.6 試驗(yàn)方法

1.6.1 原料準(zhǔn)備 將購買的新鮮豬里脊肉切分后放入冰箱-18 ℃冷凍室，12 h后用切片機(jī)切割。為保證后續(xù)熱電偶準(zhǔn)確插入肉片中心，采用半厚粘接法[24]，即先將肉片切割為試驗(yàn)所需厚度的1/2，后用微量的透明耐熱結(jié)冷膠粘連，粘連好的肉片可以耐受高溫加熱，不會出現(xiàn)起泡、分離等影響數(shù)據(jù)采集的現(xiàn)象。將肉切為4 cm×4 cm(長×寬)，厚度為0.1，0.2，0.3，0.4 cm的規(guī)格，再用結(jié)冷膠粘連，使之最終形成厚度為0.2，0.4，0.6，0.8 cm的肉片，置于冰箱4 ℃冷藏室12 h左右。

1.6.2 試驗(yàn)過程 首先使用標(biāo)準(zhǔn)溫度計(jì)校準(zhǔn)油浴鍋油溫和熱電偶溫度。將肉片從冰箱中取出置于室溫下，待肉片溫度接近室溫時，開啟烹飪傳熱學(xué)及動力學(xué)數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)，連接電腦，用采集系統(tǒng)中熱電偶末端插入肉片的幾何中心處，如圖1所示。按照表3所示的試驗(yàn)條件，在可調(diào)速恒溫油浴鍋中進(jìn)行油炸試驗(yàn)，每組試驗(yàn)5次，同時用采集系統(tǒng)記錄中心—時間—溫度。

圖1 試驗(yàn)裝置及半厚粘接法示意圖

1.6.3hfp的試算法計(jì)算 假設(shè)一個hfp，由1.3烹飪流體—顆粒多孔介質(zhì)熱/質(zhì)傳遞模型中得到模擬中心—時間—溫度，將1.6.2中得到實(shí)測中心—時間—溫度平均處理。在MATLAB中計(jì)算實(shí)測與模擬的中心—時間—溫度的擬合優(yōu)度：相關(guān)系數(shù)R；改變hfp，先以50 W/(m2·℃)為精度，后以10 W/(m2·℃)為精度，重復(fù)性地計(jì)算擬合優(yōu)度，選擇擬合優(yōu)度最好的hfp，作為本次試驗(yàn)的hfp。

表3 試驗(yàn)條件?

1.6.4 流體的熱物性參數(shù) 可調(diào)速恒溫油浴鍋中為食用級棕櫚油，熱物性參數(shù)如表4所示。

表4 棕櫚油的熱物性

1.7 數(shù)據(jù)擬合計(jì)算

對式(12)的等號兩端進(jìn)行取對數(shù)運(yùn)算：lgNu=algRe+blgPr+clg(Tf/100)+d，轉(zhuǎn)化為多元線性問題，使用SPSS 23軟件進(jìn)行多元線性回歸，記錄回歸模型中的系數(shù)及決定系數(shù)R2，將線性回歸結(jié)果作指數(shù)逆變換之后得到各待定參數(shù)的回歸值，即為無量綱預(yù)測模型。

2 結(jié)果與討論

2.1 烹飪流體—顆粒多孔介質(zhì)熱/質(zhì)傳遞模型準(zhǔn)確性驗(yàn)證與hfp結(jié)果

首先驗(yàn)證所選擇烹飪流體—顆粒多孔介質(zhì)熱/質(zhì)傳遞模型和數(shù)值計(jì)算的準(zhǔn)確性，限于篇幅，本文列舉了具有代表性的100～160 ℃流體下的溫度數(shù)據(jù)，即表3中試驗(yàn)序號2～5組，分別將豬里脊肉的數(shù)值模擬與試驗(yàn)測量中心—時間—溫度進(jìn)行對比，如圖2所示。通過MATLAB中相關(guān)系數(shù)程序?qū)δM和實(shí)測中心—時間—溫度曲線進(jìn)行相關(guān)性分析，結(jié)果顯示，模擬和實(shí)測兩者的相關(guān)系數(shù)R>0.98，擬合性較高。因此，說明該數(shù)值模型具有較高的可靠性和準(zhǔn)確性。

將不同試驗(yàn)條件下實(shí)測的時間—溫度數(shù)據(jù)經(jīng)1.6.3節(jié)計(jì)算得到的hfp列于下表5，hfp的范圍在250～850 W/(m2·℃)。從表5可以發(fā)現(xiàn)hfp隨溫度的升高而增大，這是由于流體溫度越高，食品顆粒單位面積表面的溫度梯度越大，從而換熱越快，與文獻(xiàn)[7, 23, 25]的研究成果相一致。流體—顆粒相對運(yùn)動速度的大小會影響hfp，流速越大，換熱越劇烈，hfp越大。文獻(xiàn)[26]量化了攪拌頻率和攪拌速度對對流換熱的影響，與本文的試驗(yàn)結(jié)果類似。文獻(xiàn)[27]中顆粒的特征尺寸有等體積當(dāng)量直徑、體積/表面積和直徑等，本文采用常見的等體積當(dāng)量直徑。本節(jié)試驗(yàn)表明，特征尺寸與hfp具有負(fù)相關(guān)。Ramaswamy等[28]綜述了不同作者測量hfp的文獻(xiàn)，關(guān)于特征尺寸與hfp的變化趨勢少數(shù)研究者與上述不同，但從流體力學(xué)及傳熱學(xué)角度分析支持本節(jié)觀點(diǎn)。

2.2 hfp的無量綱預(yù)測模型的擬合與修正

將本試驗(yàn)中得到的各無量綱量進(jìn)行對數(shù)運(yùn)算，如表6所示，轉(zhuǎn)化為多元線性問題后使用SPSS 23軟件進(jìn)行多元線性回歸分析，可得到殘差散點(diǎn)圖如圖3，以及hfp與各因素的回歸方程：

lgNu=0.921lgRe+2.678lgPr+3.427lg(Tf/100)-3.046

R2=0.898。

(13)

從圖3回歸分析的殘差散點(diǎn)分布圖中可以看出，各個殘差的置信區(qū)間均包含零點(diǎn)，但第6和13這2個數(shù)據(jù)的殘差離零點(diǎn)較遠(yuǎn)，回歸模型對原始數(shù)據(jù)的擬合效果一般，為提高式(13)中多元回歸方程的擬合效果，將這2個數(shù)據(jù)視為異常點(diǎn)并剔除，并對剩余各點(diǎn)進(jìn)行多元線性回歸擬合分析，從而得到新的多元線性回歸方程：

圖2 不同溫度下實(shí)測溫度與模擬溫度對比及相關(guān)系數(shù)R

試驗(yàn)序號hfp/(W·m-2·℃-1)hfp擬合相關(guān)系數(shù)R試驗(yàn)序號hfp/(W·m-2·℃-1)hfp擬合相關(guān)系數(shù)R13600.984 485500.998 423900.994 295000.999 534500.998 8102500.983 945900.993 9113000.983 756500.985 3124000.991 367000.985 8135900.993 975900.993 9148500.993 3

表6 各無量綱Π數(shù)

圖3 回歸分析的殘差分布圖

lgNu=0.876lgRe+3.206lgPr+4.18lg(Tf/100)-4.09,

(14)

R2=0.973。

修正后的多元線性回歸方程的決定系數(shù)R2接近于1，說明與原回歸方程相比修正后回歸方程的擬合優(yōu)度得到較大提高，回歸方程較好地符合原始數(shù)據(jù)。將式(14)經(jīng)指數(shù)逆變換之后得到各待定參數(shù)的回歸值，即得到無量綱預(yù)測關(guān)系式：

Nu=10-4.09Re0.876Pr3.206(Tf/100)4.18,

(15)

R2=0.973。

圖4 Nu的實(shí)測計(jì)算值與預(yù)測模型預(yù)測值的比較

2.3 hfp預(yù)測模型準(zhǔn)確性驗(yàn)證

為檢驗(yàn)上述建立油炒烹飪過程中hfp的預(yù)測模型(即無量綱預(yù)測關(guān)系式)的準(zhǔn)確性和合理性，采用外加試驗(yàn)驗(yàn)證預(yù)測模型。為保證驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)樣本具有代表性，選取表3試驗(yàn)外的5組自變量的值，通過式(15)求出Nu與對應(yīng)的hfp，相關(guān)參數(shù)具體見表7。

通過表7中預(yù)測模型計(jì)算值和實(shí)測結(jié)合數(shù)值計(jì)算值的hfp可知，兩者的相對誤差分別為0.48%，3.86%，4.67%，1.61%，3.33%。兩者的平均相對誤差為2.79%，滿足食品與烹飪工程計(jì)算的要求，說明預(yù)測模型的誤差在可接受范圍內(nèi)，驗(yàn)證了該預(yù)測模型及方法的科學(xué)性和先進(jìn)性。

表7 hfp預(yù)測模型計(jì)算值與實(shí)測數(shù)據(jù)計(jì)算值的比較

2.4 基于量綱分析原理的hfp預(yù)測模型的應(yīng)用

經(jīng)過2.3節(jié)對hfp的預(yù)測模型的準(zhǔn)確性驗(yàn)證，說明該預(yù)測模型可用于實(shí)際應(yīng)用，在未來的自動化烹飪中，通過傳感器采集，可以實(shí)時計(jì)算出烹飪過程中的hfp，以便操作者對火候進(jìn)行調(diào)控。為中式烹飪基礎(chǔ)研究帶來一種普適性的研究方法，使烹飪的基礎(chǔ)研究更加方便、經(jīng)濟(jì)，對中式烹飪自動化、工程化和現(xiàn)代化有著深遠(yuǎn)的意義。

文獻(xiàn)[3]提出成熟值理論，在文獻(xiàn)[29]的完善下，最終成熟值定義為：由特定人群感官評價判定某一特定品質(zhì)的成熟程度相對參考溫度的等效加熱時間。通常測定成熟值需要熱電偶插入食品顆粒冷點(diǎn)，但在劇烈的油炒烹飪中并不適用，雖然TTIs法可以解決這一問題，但其不具有普適性。本文構(gòu)建的預(yù)測模型可以較為準(zhǔn)確地預(yù)測hfp，結(jié)合本文中采用的烹飪流體—顆粒多孔介質(zhì)熱/質(zhì)傳遞模型，可以計(jì)算全局溫度分布和中心成熟值(Mc值)及表面過熱值(Os值)等參數(shù)，對食物的成熟程度進(jìn)行預(yù)測，從而預(yù)判對烹飪的終止，達(dá)到科學(xué)烹飪的目的。在文獻(xiàn)[30]中論述了基于TTIs將手工烹飪轉(zhuǎn)變?yōu)樽詣优腼兊姆椒?，同樣，本文建立的預(yù)測方法結(jié)合TTIs為手工烹飪轉(zhuǎn)變?yōu)樽詣优腼兲峁┝思夹g(shù)支撐，提高了準(zhǔn)確性。

3 結(jié)論

為研究油炒烹飪過程中對食品顆粒溫度分布以及動力學(xué)參數(shù)有重要影響的表面換熱系數(shù)hfp?；诹黧w—顆粒多孔介質(zhì)熱/質(zhì)傳遞模型結(jié)合傳熱學(xué)試驗(yàn)?zāi)M油炒加熱過程并計(jì)算獲得hfp；考察特征尺寸、溫度、流速、流體性質(zhì) (黏度、密度、比熱容和導(dǎo)熱系數(shù)) 等變量因素，采用量綱分析方法對hfp涉及的主要因素進(jìn)行降維處理得到Nu、Re、Pr、Tf/100 4個無量綱準(zhǔn)數(shù)，從而得到初步預(yù)測模型：Nu=10-3.046Re0.921Pr2.678(Tf/100)3.427，R2=0.898，經(jīng)過殘差分析修正后獲得可準(zhǔn)確計(jì)算hfp的多元線性預(yù)測模型：Nu=10-4.09Re0.876Pr3.206(Tf/100)4.18，R2=0.973。驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明在油炒溫度為80～160 ℃ 時，相對誤差最小為0.48%，最大為4.67%，該模型預(yù)測值與實(shí)測計(jì)算值擬合效果良好。但烹飪過程涉及諸多復(fù)雜因素，食品顆粒在油炒等其他烹飪過程中的品質(zhì)變化復(fù)雜多變，應(yīng)結(jié)合傳質(zhì)系數(shù)、食品顆粒導(dǎo)熱系數(shù)等熱物性參數(shù)綜合考慮，雖不同的烹飪體系對傳熱參數(shù)的適用性有所區(qū)別，但本研究獲得的預(yù)測模型可為其他食品熱烹飪過程的hfp計(jì)算提供一定參考。