例談數(shù)學(xué)教學(xué)的“追問”策略

馬 馳

(江蘇省昆山中學(xué) 215300)

1 問題的提出

追問是課堂教學(xué)中提問的“后續(xù)動作”，是教師在學(xué)生回答問題的過程中或者問題回答結(jié)束后的“下一個”教學(xué)步驟和教學(xué)策略.追問集中體現(xiàn)了教師的教學(xué)素養(yǎng)、教學(xué)機智、教學(xué)水平和能力；更重要的是，追問是學(xué)生在教師引導(dǎo)下的一個“再創(chuàng)造”的過程，可以及時地啟發(fā)和激發(fā)學(xué)生的思維，拓寬思維的廣度，增進(jìn)思維的深度，鍛造思維的強度.

追問是一種機智，追問更是一門藝術(shù).所以，追問不等于濫問、亂問，除了要與前一問形成一定的關(guān)系之外，還需要講求追問的時機和方式.那么，怎樣才能在課堂上做到“追”有收獲、“問”有共鳴呢？數(shù)學(xué)教學(xué)的“追問”是要有策略的，以下是筆者自己的一些淺薄見解，以求各位讀者的批評指正.

2 追問要關(guān)聯(lián)“原點”

追問，是針對某一內(nèi)容或某一問題，為了使學(xué)生弄懂弄通，在一問之后的再次提問，窮追不舍，直到學(xué)生能正確理解.但是，現(xiàn)在的數(shù)學(xué)課堂上的“問”和“追問”幾乎可以用“狂轟濫炸”、“雜亂無章”來形容，“無緒”反倒成了其最主要的特征.因此，追問一定要與前一個問題有某種內(nèi)在關(guān)聯(lián)，即追問要關(guān)聯(lián)原問題的出發(fā)點.下面以蘇教版必修二“平面與平面的位置關(guān)系的判定(1)”教學(xué)中的幾個片段為例說明.

2.1 可以是類比關(guān)聯(lián)

當(dāng)人們面臨一個比較生疏的問題時，往往可以聯(lián)想一個比較熟悉的問題作為類比對象，熟悉問題的解決途徑和方法可以啟發(fā)我們得到生疏問題的解決途徑和方法.例如，在開展新課的引入部分時，可以不妨先提一問：“前面我們研究的空間中兩直線的位置關(guān)系是什么？按公共點個數(shù)如何劃分？”明確“位置關(guān)系”很容易，但不能到此為止，于是追加一問“空間中的直線與平面的位置關(guān)系又有哪些？按公共點個數(shù)如何劃分？”提升維度，強調(diào)以“公共點個數(shù)劃分”為方向，再次追加一問“點、線、面作為空間幾何中的三個基本元素，你認(rèn)為接下來的空間中的面面可能有哪些位置關(guān)系呢？”，引出本節(jié)課內(nèi)容.

2.2 可以是遞進(jìn)關(guān)聯(lián)

沿一條直線向前推進(jìn)，步步深入，將問題引向縱深，而不是“原地轉(zhuǎn)圈”，后一問的思維深度要大于前一問，直到弄清問題的實質(zhì)為止.例如，當(dāng)學(xué)生可以根據(jù)“公共點個數(shù)劃分”來區(qū)分空間中平面與平面的位置關(guān)系時，可以提問“請同學(xué)們填寫下面的表格：”(如下表1)

表1

用符號表示給學(xué)生數(shù)學(xué)抽象，以圖形表示讓學(xué)生直觀想象.此時的學(xué)生頭腦中對“面面位置關(guān)系”與“公共點個數(shù)”建立起了對應(yīng)，這時追加一問“兩個平面沒有公共點，那么就說這兩個平面互相平行.然而，平面是無限延展的，如何確定它們是否一定沒有公共點呢？”有限到無限，將問題引向了縱深，將問題引出了沖突，引出了學(xué)生的思考.

2.3 可以是補充關(guān)聯(lián)

維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)理論”認(rèn)為，學(xué)生的發(fā)展有兩種水平：一種是學(xué)生的現(xiàn)有水平，另一種是學(xué)生可能的發(fā)展水平.兩者之間的差距就是最近發(fā)展區(qū).當(dāng)學(xué)生得到了空間中面面可能有的位置關(guān)系后，教師應(yīng)該給出本節(jié)課要研究的位置關(guān)系——面面平行，并且可以通過實例讓學(xué)生觀察感受，此時拋出一問“平面與平面平行該如何判定呢？”學(xué)生要從感性的認(rèn)識變成理性的判定，這是有難度的(除了已預(yù)習(xí)的學(xué)生能回答).基于“最近發(fā)展區(qū)理論”，不妨設(shè)置一問“線面平行的判定定理是什么？線面垂直的判定定理是什么？”以此問讓學(xué)生自我回顧最近學(xué)習(xí)的內(nèi)容，但不能到此為止，追加一問“體現(xiàn)了怎樣的轉(zhuǎn)化？”明確“線線關(guān)系”推導(dǎo)“線面關(guān)系”，讓學(xué)生體會“降低維度”考慮問題，得到“線面關(guān)系”推導(dǎo)“面面關(guān)系”，揭示問題的本質(zhì).

2.4 可以是拓展關(guān)聯(lián)

由此及彼，以點帶面，將問題適當(dāng)向外延伸開去，拓寬問題的面，拓展學(xué)生的思維，從而將學(xué)生的思維引向比前一問更高更遠(yuǎn)的地方.例如，筆者對于定理的給出，設(shè)計了實驗操作(將學(xué)生分成若干小組)“請同學(xué)們將桌上的三角板和一個平行四邊形的紙板分別在手中擺放成與桌面平行的狀態(tài)，組內(nèi)先討論為什么要這樣擺？”實驗的目的是引導(dǎo)學(xué)生通過動手操作，從直觀上感知平面與平面平行，最終進(jìn)行抽象概括，給出定理的猜想.而猜想的結(jié)論是否可以作為“定理”？當(dāng)中的關(guān)鍵詞是否已經(jīng)弄清楚？這些可以通過追問進(jìn)行拓展延伸，“只滿足一條直線與平面平行能否判定面面平行？你在探究過程中能找到反例嗎？”，“為什么要求‘兩條相交直線’，不相交的兩條直線能否可以判定面面平行？你在探究過程中能找到反例嗎？”.通過已操作的實驗，進(jìn)行合理的判斷，教師給出判斷方向，學(xué)生得到正確的認(rèn)識，對猜想的結(jié)論進(jìn)行完善， “追問”在其中起到了“一石激起千層浪”的效果.

追問不是亂問，更不等于濫問，一定要把握好與前一問之間的關(guān)聯(lián)之處，無論是要理解的內(nèi)容還是要激發(fā)的思維，兩者間都要有某種內(nèi)在的、必然的聯(lián)系.筆者以為，前一問的具體內(nèi)容和思維角度應(yīng)該是追問的“原點”.

3 追問要彰顯“智慧”

追問難預(yù)設(shè).所以，從實質(zhì)上來說，追問其實就是所謂的“急中生智”，這也充分說明為什么追問會是教師教學(xué)機智的直觀表現(xiàn).追問能“顯智”，這“智”主要體現(xiàn)于教師應(yīng)該在什么情況下需要或值得再去“追一問”.下面以蘇教版必修三“幾何概型(1)”教學(xué)中的幾個片段為例說明.

3.1 要善于對癥出擊

一個教學(xué)環(huán)節(jié)的成功，很重要的一點就是得益于教師能及時地抓住師生間對話時出現(xiàn)的問題，對癥出擊，且緊扣不放，窮追到底.因為正是這樣的追問，才能充分調(diào)動起學(xué)生的思維，使學(xué)生始終處于一種緊張和深度開發(fā)的狀態(tài).這就要求教師要始終全神貫注于學(xué)生的言說，敏銳地捕捉學(xué)生思維中出現(xiàn)的問題和不足，或做提醒，或做補充.

圖1

例如，筆者在引入部分針對給出的引例“取一根長度為3 m的繩子(如圖1)，如果拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長都不小于1 m的概率有多大？”

設(shè)置了如下的一些問題：

問題：試驗中的基本事件是什么？

追問1：每個基本事件的發(fā)生是等可能的嗎？

追問2：符合古典概型的特點嗎？

追問3：這個問題的概率是多少呢？

通過提問并追問，引導(dǎo)學(xué)生回顧古典概型的特點：有限性和等可能性.發(fā)現(xiàn)這個問題雖然貌似古典概型，但是由于這個問題中的基本事件應(yīng)該是“在繩子的每一處將繩子剪斷”，所以有無限多種情況，不滿足有限性這個特點，因此不是古典概型.也就是說，我們不能用古典概型的概率公式去解決這個問題.通過追問，讓學(xué)生產(chǎn)生對概型認(rèn)識的困惑；通過追問，讓學(xué)生產(chǎn)生對新的問題解決的饑渴；通過追問，讓學(xué)生產(chǎn)生對預(yù)授知識的向往.

3.2 要適時雪中送炭

在教學(xué)追問的環(huán)節(jié)中，首先強調(diào)的是預(yù)設(shè)，要求的就是教師自身對問題的理解和把握要深刻全面，因為只有“手中有糧”，心中才能不慌；其次還要求教師在學(xué)生的思維受阻之時能夠及時“出手相救”，給學(xué)生雪中送炭，充分發(fā)揮教師的引領(lǐng)和點撥作用，而不能置身事外、“冷眼旁觀”，否則，極有可能會讓學(xué)生的思維“雪上加霜”.這同樣要求教師課堂上要集中注意力，全神貫注地參與對話的整個過程.

教師引導(dǎo)：將基本事件視為一個點，在繩子PQ上每剪一次的“位置”即對應(yīng)著線段PQ上一“點”.

問題：在繩子MN上每剪一次的“位置”對應(yīng)著什么呢？

追問1：無數(shù)次地隨機剪繩子PQ的“位置” 對應(yīng)著什么呢？

追問2：無數(shù)次地隨機剪繩子PQ的“位置”的總和可視為什么呢？

追問3：根據(jù)上述分析，你能否完成下表2？

表2

最終，從“數(shù)(剪的次數(shù))?形(點)?數(shù)(線段的長度)”，解決“無數(shù)比無數(shù)”的情況.

通過上面的分析，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：幾何概型與古典概型的區(qū)別在于它的試驗結(jié)果不是有限個，但是它的試驗結(jié)果在一個區(qū)域內(nèi)均勻地分布，因此它的基本事件滿足無限性和等可能性，將基本事件視為一個點，點均勻的鋪滿整個區(qū)域，且這個區(qū)域可度量.追問不是“逼問”，而是引導(dǎo)，發(fā)起者是教師，受益者是學(xué)生，給其線索，探得“寶藏”.

3.3 要順勢趁熱打鐵

機智的教師常常會“順勢一擊”，抓住一點，輕巧地將學(xué)生的思維引向遼遠(yuǎn).因為有的時候從表象上看，教師所提的問題似乎已經(jīng)得到了較為圓滿的解決，但是學(xué)生的思維還有可拓展或開掘的可能和空間，那么，我們就不能讓學(xué)生的思維僅止于此，不妨乘勢而上、趁熱打鐵，再追一問，從而拓寬思維的廣度、增進(jìn)思維的深度.

例如，在概念運用環(huán)節(jié)教材上一例題如下：

在1 L高產(chǎn)小麥種子中混入了一粒帶麥銹病的種子，從中隨機取出10 mL，含有麥銹病種子的概率是多少？

學(xué)生運用幾何概型的概率求解公式順利地得到解答：

解：取出10 mL麥種其中“含有病種子”這一事件記為A，則

此時，筆者追一問：“請問這道題中的基本事件是什么？”學(xué)生的回答五花八門，而無一是處，究其原因，那就是“輕概念理解，重公式運用”而造成.所以，此處的追問是“及時雨”，不僅拓展了學(xué)生的思維，更是加深了問題的理解———“這粒帶麥銹病的種子可能出現(xiàn)的位置”是基本事件.

無論是對癥出擊、雪中送炭還是趁熱打鐵，追問都要講求適時、相機而問，這也許就是所謂的“智慧”.追問能“顯智”，強調(diào)的是追問的方式.只有追的“及時”，問的“恰當(dāng)”，這樣的追問才有力度，學(xué)生的思維才有廣度與深度，課堂才有厚度.

4 追問要講究“良機”

追問的策略，是對學(xué)生思維行為作“即時”的點撥和有效的控制，讓追問真正成為師生互動的平臺，更好地促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展，提高課堂教學(xué)的有效性，而這“即時”就是我們所要把握的時機、要掌握的“火候”.下面以蘇教版選修2—1中“雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)”教學(xué)中的幾個片段為例說明.

4.1 追問于混沌狀態(tài)

不確定性和無序性，是思維混沌狀態(tài)的重要特點，所謂“山重水復(fù)疑無路”，說的也許正是這種現(xiàn)象.而學(xué)生的思維一旦出現(xiàn)了混沌狀態(tài)，其實也就出現(xiàn)了一個值得我們?nèi)グ盐盏摹傲紮C”，一個需要教師適時追問、點撥的時機.這個時候教師不能“袖手旁觀”，恰當(dāng)?shù)淖穯?，或許就會收到“柳暗花明又一村”的效果.

例如，本節(jié)課的引入以“拉拉鏈”的實驗給出，讓學(xué)生觀察“點M”的軌跡，讓學(xué)生說出“點M”應(yīng)滿足的條件，即|MF1|-|MF2|為定值，此時給出問題：

“你能否類比橢圓定義，給出該曲線的定義？”

學(xué)生甲給出自己的定義“平面內(nèi)到兩定點F1,F2的距離之差為一常數(shù)的點M的軌跡”，但其他學(xué)生中的議論更是激烈，這正是“追問”的好時機：

追問1：當(dāng)常數(shù)等于|F1F2|時，軌跡是什么？

追問2：當(dāng)常數(shù)大于|F1F2|時，軌跡是什么？

追問3：當(dāng)常數(shù)等于0時，軌跡是什么？

此處的“追問三連擊”讓學(xué)生注意到了學(xué)生甲給出的定義中漏掉了常數(shù)應(yīng)為“小于|F1F2|的正數(shù)”這個條件，讓他們對該曲線的定義進(jìn)行了“修正”.“ 追問”讓他們走出了混沌狀態(tài)，進(jìn)而引出雙曲線的定義來.

4.2 追問于臨界狀態(tài)

追問追求的是一種“激活效應(yīng)”，孔子早就說過要“不憤不啟，不悱不發(fā)”，而這“憤”這“悱”，就是追問的前提和時機.所以，只有當(dāng)學(xué)生的思維處于由活躍到受阻時、似懂非懂時實施追問，才能使學(xué)生的思維在臨界點上產(chǎn)生頓悟、發(fā)生質(zhì)的飛躍；如果學(xué)生的思維尚未進(jìn)入臨界狀態(tài)就去“追”，就不能體現(xiàn)出點撥的作用，追問也就不能收到我們預(yù)期的、比較明顯的效果.

“這個等式如何化簡呢？”

學(xué)生乙說：兩邊平方.學(xué)生丙說：不行，次數(shù)太高！兩個根式相乘運算又復(fù)雜，故去掉絕對值移項后再平方.于是，筆者請學(xué)生丙上黑板給出了板演過程，學(xué)生鼓掌稱贊.課前，筆者做了預(yù)設(shè)，此處化簡正是可以作為提升學(xué)生核心素養(yǎng)“數(shù)學(xué)運算”的好素材，此時的學(xué)生思維已激活，追問可助其“開竅”，所以筆者又問學(xué)生乙“你兩邊平方后是怎樣的形式？”學(xué)生乙給出如下式子：

(x+c)2+y2+(x-c)2+y2-

追問1：如果再平方，次數(shù)太高，能否降次呢？

追問2：能否進(jìn)行換元，令t=x2+y2+c2呢？

學(xué)生乙心領(lǐng)神會，順利的給出了化簡過程，如下：

?a2t-c2x2=a4

?a2(x2+y2+c2)-c2x2=a4

?(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2).

“追問”的作用在于啟發(fā)，讓學(xué)生的思維得到質(zhì)的飛躍.

4.3 追問于僵持狀態(tài)

追問的目的是為了幫助學(xué)生突破思維的“瓶頸”，因為在課堂教學(xué)過程中，學(xué)生的思維一般情況下不太可能是一帆風(fēng)順、暢通無阻的，總會有暫時停滯、相持不下的時候，特別是教師提出的問題帶有一定的思維難度時，如果教師能夠抓住這個時機追上一問，或許就能突破“僵持”的“瓶頸”.

例如，在本節(jié)課的課堂小結(jié)時，筆者問“通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有何收獲？”學(xué)生的回答在意料之中——“認(rèn)識了雙曲線，理解了雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，并會寫出焦點坐標(biāo)等”.此時的學(xué)生，通過對雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的認(rèn)識做了一兩道例題，思維停留在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程上，無法抓住本節(jié)課探究的價值和意義，所以，在此追問，可以讓學(xué)生突破“僵持狀態(tài)”，讓認(rèn)識和理解得到很好地提升：

追問1：本節(jié)課我們以橢圓類比雙曲線得到了定義、標(biāo)準(zhǔn)方程等內(nèi)容，請同學(xué)們想想除了動點到兩定點的距離和、距離差，還可以類比成什么呢？

追問2：距離的商呢？

類比無限，想象無窮！追問就應(yīng)給學(xué)生打開想象的大門.

總之，只有學(xué)生在進(jìn)行了充分的思考之后，思維處于一種由“起點”邁向“終點”但尚未達(dá)到“終點”的中間靠后狀態(tài)時，追問才是最有效的.

5 結(jié)語

追問是教師教學(xué)智慧的展示，追問是鍛造學(xué)生思維的手段，追問更是課堂教學(xué)的藝術(shù).陶行知說過：“行是知之路，學(xué)非問不明.”適時地、有創(chuàng)意的追問是課堂機智的充分表現(xiàn).“關(guān)聯(lián)原點”、“彰顯智慧”和“講究良機”是數(shù)學(xué)教學(xué)中追問組成的三個關(guān)鍵要素，構(gòu)成了追問的整體策略.