點幾何的解題應(yīng)用：計算篇

張景中 彭翕成

(1.華中師范大學(xué)國家數(shù)字化學(xué)習(xí)工程技術(shù)研究中心 430079；2. 廣州大學(xué)計算科技研究院 510006)

波利亞對于演繹推理，有過一段很精彩的論述[1]：

發(fā)現(xiàn)解法,就是在原先是隔開的事物或想法(已有的事物和要求的事物,已知量和未知量,假設(shè)和結(jié)論)之間去找出聯(lián)系.被聯(lián)系的事物原來離得越遠,聯(lián)系的發(fā)現(xiàn)者的功績也就越大.有時我們發(fā)現(xiàn)這種聯(lián)系就像一座橋:一個偉大的發(fā)現(xiàn)使我們強烈地覺得像是在兩個離得很遠的想法的鴻溝之間架上了橋.我們常?？吹竭@種聯(lián)系是由一條鏈來貫穿的，一個證明像是一串論據(jù),像是一條由一系列結(jié)論組成的鏈也許是一條長鏈.這條鏈的強度是由它最弱的一環(huán)來代表的.因為那怕是只少了一環(huán),就不會有連續(xù)推理的鏈,也就不會有有效的證明.對于思維上的聯(lián)系我們更經(jīng)常使用的詞是線索,比如說,我們都在聽教授講課,但他失去了證明的線索,或是被一些推理線索纏亂了,他不得不看一下講稿,以拾起失掉的線索,等他把線索整理出來得到最終結(jié)論時，我們也都已經(jīng)困倦不堪了.將一條細微的線索當成一條幾何上的線,將被聯(lián)系著的事物當成幾何上的點,這樣無可避免地,一幅隱喻著一系列數(shù)學(xué)結(jié)論的圖式便必然地浮現(xiàn)出來了.

我們想，相當多的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者在中學(xué)接觸幾何證明時，都會對波利亞的這段話有所體會.幾何證明除了需要靈機一動添加輔助線，還有的就是每一個條件都有多種使用的可能，推演前進多歧路，這使得操作起來困難.普遍認為，代數(shù)問題更具有可操作性.幾何題能否像代數(shù)題一樣，按部就班的操作？基于點幾何[2,3]，我們提出兩種方案.方案一就是本文，思路是將一個個點求出來，再考慮幾何關(guān)系.與解析法相比，無需將點轉(zhuǎn)化為坐標，只需求出點與點之間的關(guān)系，這樣一來，點幾何計算要相對簡明，幾何意義也更明確．方案二則是本文的續(xù)篇，思路是基于點幾何，表示出已知和結(jié)論，并建立恒等式建立已知和結(jié)論之間的關(guān)系.

圖1

考慮到D既是A、P兩點的線性組合，

點Q則稍微復(fù)雜一些，介紹兩種方法.

方法1：設(shè)Q=tF+(1-t)E=sB+(1-s)C，

解關(guān)于A、B、C系數(shù)方程組

方法2：設(shè)Q=tF+(1-t)E，

方法2只需設(shè)一個參數(shù)t，解一個方程，顯然比方法1簡便.但方法1是求交點的通法，也需要掌握.

有了上面點的坐標，就可輕松做很多事情.

例1如圖2，設(shè)四邊形ABCD的一組對邊AB和DC的延長線交于點E，另一組對邊AD和BC的延長線交于點F，則AC的中點L，BD的中點M，EF的中點N三點共線(此線稱為高斯線).

圖2

所以L、M、N三點共線.

說明：根據(jù)A、B、C的系數(shù)可列出三個方程，事實上只需解其中一個最簡單的方程，然后代入另外兩個方程檢驗即可.這樣一個幾何定理就等價于一個代數(shù)恒等式：

例2如圖3，點E、F分別是△ABC的邊AC、AB上的點,BE和CF交于點D,AD和EF交于點G,過點D作BC的平行線分別交AB、BG、CG和AC于點H、K、N和M.試證:2KN=HM.(《數(shù)學(xué)通報》問題征解2066)

圖3

由于H在AB上，

容易驗證2(K-N)=H-M.

例3如圖4，過△ABC的頂點A任引直線交BC的延長線于D,P是AD上任意一點,BP交AC于E,CP交BA的延長線于F,過F作FG∥BC交DE的延長線于G.求證:FG被DA平分.

圖4

計算2M-F=tD+(1-t)E，

例4如圖5，△ABC，H是垂心，O是外心，A1是BC中點，S與H關(guān)于A對稱，L與A關(guān)于A1對稱，求證：S與L關(guān)于O對稱.

圖5

證明設(shè)O=0，H=A+B+C，

L=B+C-A，S=2A-(A+B+C)，

得L+S=0.

例5如圖6，平行四邊形ABCD，M與P關(guān)于A對稱，N與M關(guān)于D對稱，Q與N關(guān)于C對稱，求證：P與Q關(guān)于B對稱.

圖6

題目翻譯：已知M+P=2A，N+M=2D，

Q+N=2C，A+C=B+D，求證：P+Q=2B.

證明P+Q=(2A-M)+(2C-N)

=(2A+2C)-(M+N)=2A+2C-2D=2B.

說明：此問題可看作是“依次連接四邊形中點的四邊形是平行四邊形”的逆命題，難度要大一些，注意P不一定在平面ABCD上.

例6如圖7，△ABC，在射線BA上取點A1，使得BA1=BC，在射線CA上取點A2，使得CA2=BC，類似定義B1，B2，C1，C2，證明：A1A2∥B1B2∥C1C2.(Sharygin GMO 2008)

圖7

因此A1A2∥B1B2.同理可證B1B2∥C1C2.

例7求證：三角形的三邊長度成等差數(shù)列的充要條件是其重心和內(nèi)心的連線平行于三角形的一邊.

若2a-b-c=0，

反之若IG∥BC，

則2a-b-c=0且2b-c-a=-(2c-a-b)，

可得2a-b-c=0.

對于另外兩種情形同樣成立.

求證：EG⊥FH.

圖8

例9如圖9，△ABC中，AB=BC，D是AB延長線上一點，E是BC延長線上一點，且CE=AD.延長AC交DE于F，F(xiàn)G∥BE交CD于G，F(xiàn)H∥AD交AE于H.求證：FG=FH，AF⊥GH.(《數(shù)學(xué)通報》征解題2382)

圖9

證明設(shè)B=0，D=-mA,E=nC,F=tD+(1-t)E=-mtA+n(1-t)C,

根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得

系數(shù)和

=0，

所以FG=FH，AF⊥GH.

例10如圖10，△ABC中，∠C=90°，延長AC到A1，延長BC到B1，使得AA1=BB1=AB.設(shè)△ABC的內(nèi)心為I，AB中點為M，證明：MI⊥A1B1.(《數(shù)學(xué)通報》征解題1114)

圖10

說明：為簡便，計算過程中我們用到∠C=90°，消去了AB項.如果不嫌麻煩，可保留這一項直到最后，這樣可得到新的命題.

新命題如圖10，△ABC中，延長AC到A1，延長BC到B1，使得AA1=BB1=AB.設(shè)△ABC的內(nèi)心為I，AB中點為M，證明：MI⊥A1B1的充要條件是∠C=90°或CA=CB.

例11如圖11，△ABC的內(nèi)切圓切三邊于D、E、F，G是線段AB上的點，且AF=GB，求證：AB⊥AC?DF⊥EG.

圖11

證明設(shè)A=0,

所以AB⊥AC?DF⊥EG.

例12設(shè)N、I、G分別是△ABC九點圓心、內(nèi)心、重心，求證：NG⊥AI?∠A=60°.

(N-G)(A-I)

a2-b2+bc-c2=0?∠A=60°.