余弦定理問(wèn)題特征對(duì)其解法遷移的影響

郭凱路 張令偉 許云堯

(1．首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 100037；2．石家莊學(xué)院理學(xué)院050038；3．北京市東城區(qū)教育研修學(xué)院 100062)

1 問(wèn)題提出

樣例在原理學(xué)習(xí)與遷移過(guò)程中的作用，前人已經(jīng)做了較多的研究.Gentner提出的類比結(jié)構(gòu)映射理論是源問(wèn)題與靶問(wèn)題兩種不同情境下的結(jié)構(gòu)和等級(jí)關(guān)系的映射，其中映射是對(duì)共同內(nèi)在關(guān)系的映射[1]．有研究者把樣例從表面內(nèi)容和原理內(nèi)容兩方面對(duì)遷移的影響做了較為系統(tǒng)的研究，研究指出樣例的表面內(nèi)容對(duì)新手解決問(wèn)題有重要作用，對(duì)熟悉者也有不同程度的影響[2-3].內(nèi)在原理是問(wèn)題所包含的內(nèi)在結(jié)構(gòu)或關(guān)系，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵[2]. Gick，Reed以及Holyoak和Koh等人研究指出，樣例的表面內(nèi)容只對(duì)提取有影響，應(yīng)用或者映射過(guò)程將不受表面內(nèi)容的影響，而只是對(duì)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)信息敏感[4-6]．

Ross一系列的實(shí)驗(yàn)研究以及莫雷、唐雪峰在Ross的研究基礎(chǔ)上進(jìn)一步做出的研究指出，樣例的表面內(nèi)容在類比源的選取和匹配過(guò)程都有影響；問(wèn)題表面概貌的相似可能影響原理的通達(dá)，對(duì)原理的運(yùn)用可能沒(méi)有影響.Ross的一系列的實(shí)驗(yàn)研究以大學(xué)生為被試，概率原理問(wèn)題為材料，系列地研究了樣例的表面內(nèi)容對(duì)遷移的影響，檢驗(yàn)了樣例表面內(nèi)容對(duì)遷移的影響；同時(shí)研究結(jié)果顯示對(duì)象對(duì)應(yīng)主要影響原理的運(yùn)用.在他的研究中表面概貌的變化，只限于事件屬性方面的變化[7-8].莫雷、唐雪峰以高中一年級(jí)學(xué)生和大學(xué)一年級(jí)學(xué)生為被試，排列與組合應(yīng)用題為材料，研究了樣例與問(wèn)題在事件類型方面發(fā)生變化時(shí)，其不同相似程度的表面概貌對(duì)原理運(yùn)用的影響.結(jié)果表明表面概貌在事件類型方面發(fā)生變化時(shí)，其表面概貌不同相似對(duì)原理運(yùn)用表現(xiàn)出明顯的影響[9-10]．

從已有的研究看到，多數(shù)樣例問(wèn)題特征的研究涉及的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)多是概率應(yīng)用題、排列組合應(yīng)用題及運(yùn)動(dòng)和工程問(wèn)題等為材料，對(duì)問(wèn)題特征的某一方面變化進(jìn)行研究，比如莫雷設(shè)計(jì)的一系列研究限于事件屬性方面的變化對(duì)遷移的影響，而莫雷、唐雪峰實(shí)驗(yàn)是研究樣例與問(wèn)題在事件類型方面發(fā)生變化對(duì)遷移的影響，張令偉、連四清、許云堯研究樣例和測(cè)試題在事件屬性和事件類型兩方面都發(fā)生變化時(shí)，樣例與測(cè)試題的不同相似程度對(duì)遷移的影響[11].張令偉等人的研究是以示范學(xué)校學(xué)生為被試，而對(duì)于普通校學(xué)生為被試時(shí)，試題的事件屬性和事件類型都發(fā)生變化時(shí)結(jié)果如何，研究的較少.本研究擬采用余弦定理的推導(dǎo)與應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識(shí)為實(shí)驗(yàn)材料，以普通學(xué)校學(xué)生為被試，樣例和測(cè)試題在事件屬性和事件類型兩方面都發(fā)生變化時(shí)，樣例與測(cè)試題的不同相似程度對(duì)遷移的影響.在本實(shí)驗(yàn)中，不同事件屬性表現(xiàn)為樣例的不同呈現(xiàn)方式；不同的事件類型表現(xiàn)為樣例的不同知識(shí)呈現(xiàn)方式．

2 研究方法

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)：本實(shí)驗(yàn)采用3(學(xué)生類型：學(xué)優(yōu)生，中等生，學(xué)困生)×2(知識(shí)呈現(xiàn)方式：轉(zhuǎn)化法，向量法)×4(樣例呈現(xiàn)方式：解三角形(字母與公式一致)，解三角形(字母與公式不一致)，證明題，應(yīng)用題)×9(遷移水平：1、2、3、4、5、6、7、8、9)混合實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，其中學(xué)生類型、知識(shí)呈現(xiàn)方式和樣例呈現(xiàn)方式為被試間變量，遷移水平為被試內(nèi)變量.研究變量為遷移成績(jī).

被試：選擇北京市某中學(xué)高一年級(jí)三個(gè)班的學(xué)生作為被試，共103名學(xué)生.根據(jù)期中考試的成績(jī)將學(xué)生分為學(xué)優(yōu)生，中等生，學(xué)困生三個(gè)類型.考慮到余弦定理是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，又是初中直角三角形知識(shí)的延續(xù)，部分學(xué)生可能通過(guò)課外的學(xué)習(xí)已經(jīng)掌握，因此在實(shí)驗(yàn)研究之前有一個(gè)前測(cè)，將已經(jīng)掌握余弦定理的學(xué)生的測(cè)試數(shù)據(jù)在統(tǒng)計(jì)分析時(shí)剔除.在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中有學(xué)生沒(méi)有按要求進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，如測(cè)試卷上不寫(xiě)姓名，或成績(jī)非常異常，這些學(xué)生被試的測(cè)試數(shù)據(jù)在統(tǒng)計(jì)分析時(shí)也被剔除，最后有94名學(xué)生被試的數(shù)據(jù)有效.

實(shí)驗(yàn)材料：實(shí)驗(yàn)材料包括學(xué)習(xí)材料和測(cè)試材料.學(xué)習(xí)材料作為源問(wèn)題，含有余弦定理的證明過(guò)程，并有例題，其中證明過(guò)程按轉(zhuǎn)化法和向量法分成兩種，例題按解三角形(字母與公式一致)，解三角形(字母與公式不一致)，證明題，應(yīng)用題分四類，共八套學(xué)習(xí)材料.測(cè)試材料作為靶問(wèn)題，由9道測(cè)試題組成.題目分為四類，第一類測(cè)試題是解三角形(字母與公式一致，與樣例相似)，有兩道題.第二類測(cè)試題是解三角形(字母與公式不一致，與樣例相似)，有兩道題.第三類測(cè)試題是證明題(與樣例相似)，有一道題.第四類試題是應(yīng)用題，共有四道題，第六題與樣例相似，但提示了中間步驟，第七題與樣例相似，第八題與第九題與樣例不相似，兩道題本身相似，第八題給出了圖形.為了消除題目的順序影響，本實(shí)驗(yàn)的測(cè)試材料采用拉丁方設(shè)計(jì)，共有9套測(cè)試卷.在測(cè)試材料上給出了余弦定理的兩種形式，六個(gè)公式.

實(shí)驗(yàn)程序：首先讓被試學(xué)習(xí)15分鐘學(xué)習(xí)材料，然后收回學(xué)習(xí)材料，同時(shí)發(fā)給被試測(cè)試材料，25分鐘后統(tǒng)一收回測(cè)試材料.

數(shù)據(jù)處理：每道題滿分均為10分.答案完全不正確的記0分；每道題能識(shí)別轉(zhuǎn)化成解三角形問(wèn)題，能正確用公式記5分；答案完全正確記10分.

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

對(duì)余弦定理的遷移成績(jī)進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)分析.表1是遷移成績(jī)平均分和標(biāo)準(zhǔn)差的描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果，其中A1為知識(shí)呈現(xiàn)方式為轉(zhuǎn)化法，A2為知識(shí)呈現(xiàn)方式為向量法，B1為樣例呈現(xiàn)方式為解三角形且字母與公式一致，B2為樣例呈現(xiàn)方式為解三角形且字母與公式不一致，B3為樣例呈現(xiàn)方式為證明題，B4為樣例呈現(xiàn)方式為應(yīng)用題.

表1 普通高中余弦定理問(wèn)題解決類比遷移成績(jī)描述統(tǒng)計(jì)表

從表1可以看出，知識(shí)呈現(xiàn)方式對(duì)學(xué)優(yōu)生，中等生影響不顯著，而對(duì)于學(xué)困生則有一定的影響，轉(zhuǎn)化法明顯優(yōu)于向量法.樣例呈現(xiàn)方式對(duì)各類學(xué)生均有一定的影響，對(duì)于學(xué)優(yōu)生，學(xué)習(xí)材料為轉(zhuǎn)化法時(shí)，樣例呈現(xiàn)方式為解三角形且字母與公式不一致時(shí)成績(jī)最好；對(duì)于中等生，學(xué)習(xí)材料為向量法時(shí)，樣例呈現(xiàn)方式為證明題時(shí)成績(jī)最好；而對(duì)于學(xué)困生，學(xué)習(xí)材料為轉(zhuǎn)化法時(shí)，樣例呈現(xiàn)方式為應(yīng)用題時(shí)成績(jī)最好.

對(duì)余弦定理的遷移成績(jī)進(jìn)行3×2×4×9重復(fù)測(cè)量方差統(tǒng)計(jì)，其中學(xué)生類型、知識(shí)呈現(xiàn)方式和樣例呈現(xiàn)方式為被試間變量，遷移水平為被試內(nèi)變量.統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2和表3.

表2是普通高中余弦定理類比遷移成績(jī)的重復(fù)測(cè)量方差分析表，被試內(nèi)效果檢驗(yàn)結(jié)果表明：遷移水平的主效應(yīng)顯著(F=3.816，P=0.000).這說(shuō)明遷移成績(jī)?cè)?個(gè)遷移水平上存在顯著差異.其中，不同遷移水平的遷移成績(jī)的均值大小順序?yàn)椋哼w移水平5>遷移水平2>遷移水平3>遷移水平1>遷移水平4>遷移水平9>遷移水平6>遷移水平8>遷移水平7.

表2 被試內(nèi)因素主效應(yīng)方差分析結(jié)果

表3 普通高中類比遷移成績(jī)方差分析表(被試間效果檢驗(yàn))

遷移水平與學(xué)生類型交互作用不顯著(F=1.04，P=0.412).這說(shuō)明遷移水平在學(xué)生類型三水平上不存在顯著差異.遷移水平與知識(shí)呈現(xiàn)方式交互作用不顯著(F=0.755，P=0.642).這說(shuō)明遷移水平在知識(shí)呈現(xiàn)方式兩水平上不存在顯著差異.遷移水平與樣例呈現(xiàn)方式交互作用不顯著(F=0.214，P=1).這說(shuō)明遷移水平在樣例呈現(xiàn)方式的四個(gè)水平上不存在顯著差異.遷移水平 、學(xué)生類型與知識(shí)呈現(xiàn)方式交互作用不顯著(F=0.397，P=0.983).這說(shuō)明遷移水平與知識(shí)呈現(xiàn)方式交互作用不存在學(xué)生類型上的顯著差異.遷移水平、學(xué)生類型與樣例呈現(xiàn)方式交互作用不顯著(F=0.422，P=1).這說(shuō)明遷移水平與樣例呈現(xiàn)交互作用不存在學(xué)生類型上的差異.遷移水平、知識(shí)呈現(xiàn)方式與樣例呈現(xiàn)方式交互作用不顯著(F=0.552，P=0.960).這說(shuō)明知識(shí)呈現(xiàn)與樣例呈現(xiàn)交互作用不存在遷移水平的差異.遷移水平、學(xué)生類型、知識(shí)呈現(xiàn)方式與樣例呈現(xiàn)方式交互作用不顯著(F=0.400，P=1).這說(shuō)明遷移水平、知識(shí)呈現(xiàn)與樣例呈現(xiàn)交互作用不存在學(xué)生類型上的差異.

表3是普通高中余弦定理類比遷移成績(jī)的重復(fù)測(cè)量方差分析表，被試間效果檢驗(yàn)結(jié)果表明：學(xué)生類型的主效應(yīng)顯著(F=38.154，P=.000).這說(shuō)明余弦定理的遷移成績(jī)?cè)趯W(xué)生類型三水平上存在顯著差異.多重均值比較結(jié)果顯示：學(xué)優(yōu)生與中等生的差異顯著(P=.000)，學(xué)優(yōu)生與學(xué)困生的差異顯著(P=.000)，中等生與學(xué)困生的差異也顯著(P=.000).

知識(shí)呈現(xiàn)的主效應(yīng)不顯著(F=.000，P=0.985)，這說(shuō)明余弦定理的遷移成績(jī)?cè)谥R(shí)呈現(xiàn)方式上不存在顯著差異.樣例呈現(xiàn)方式的主效應(yīng)不顯著(F=0.248，P=0.863)，這說(shuō)明余弦定理的遷移成績(jī)?cè)跇永尸F(xiàn)方式上不存在顯著差異.

學(xué)生類型與知識(shí)呈現(xiàn)方式的交互作用不顯著(F=0.111，P=0.895)，這說(shuō)明知識(shí)呈現(xiàn)方式的主效應(yīng)不存在學(xué)生類型上的差異.學(xué)生類型與樣例呈現(xiàn)方式的交互作用不顯著(F=0.149，P=0.989)，這說(shuō)明樣例呈現(xiàn)方式的主效應(yīng)不存在學(xué)生類型上的差異.知識(shí)呈現(xiàn)方式與樣例呈現(xiàn)方式的交互作用不顯著(F=0.628，P=0.600).這說(shuō)明樣例呈現(xiàn)方式的主效應(yīng)不存在知識(shí)呈現(xiàn)方式上的差異.學(xué)生類型、知識(shí)呈現(xiàn)方式與樣例呈現(xiàn)方式的交互作用不顯著(F=0.223，P=0.952)，這說(shuō)明知識(shí)呈現(xiàn)方式與樣例呈現(xiàn)方式的交互作用不存在學(xué)生類型上的差異.

4 分析與討論

本研究的目的是了解普通高中學(xué)生類比遷移能力的現(xiàn)狀，探討普通高中不同類型的學(xué)生(沒(méi)有經(jīng)驗(yàn)的新手)作為被試時(shí)，在余弦定理問(wèn)題解決中，樣例與測(cè)試題的問(wèn)題特征相似性對(duì)問(wèn)題解決的類比遷移成績(jī)的影響.實(shí)驗(yàn)的基本設(shè)想是：遷移水平、樣例呈現(xiàn)和知識(shí)呈現(xiàn)特征對(duì)問(wèn)題解決的遷移成績(jī)都有影響，而且三個(gè)特征的不同相似性對(duì)不同類型的學(xué)生影響也會(huì)不同.

4.1 被試內(nèi)因素效應(yīng)分析與討論

實(shí)驗(yàn)被試內(nèi)因素效應(yīng)的結(jié)果表明：遷移水平對(duì)于普通校學(xué)生主效應(yīng)十分顯著.普通學(xué)校的實(shí)驗(yàn)中遷移水平因素對(duì)遷移成績(jī)影響十分顯著，這一結(jié)果與我們的預(yù)期基本一致.結(jié)果說(shuō)明，對(duì)于普通校的學(xué)生來(lái)說(shuō)，測(cè)試題的不同水平影響問(wèn)題解決方法的通達(dá)、提取和應(yīng)用.其原因可能是：被試通過(guò)對(duì)余弦公式推導(dǎo)以及樣例學(xué)習(xí)，進(jìn)一步通過(guò)樣例和測(cè)試題表面特征的比較，可能已經(jīng)概括出或者部分概括出樣例與測(cè)試題在不同水平下它們之間所蘊(yùn)涵的關(guān)系和結(jié)構(gòu)，進(jìn)而在解題過(guò)程中直接把這種關(guān)系和結(jié)構(gòu)映射過(guò)來(lái).如在實(shí)驗(yàn)中，水平1和水平2的測(cè)試題與樣例的表面概貌相似，表面對(duì)應(yīng)也相似(在兩實(shí)驗(yàn)中都屬于第一類測(cè)試題)，學(xué)生幾乎都可以把樣例的解法遷移到測(cè)試題中；而實(shí)驗(yàn)的第二、三類測(cè)試題都是與樣例表面概貌、表面對(duì)應(yīng)部分相似，被試不易揭露隱蔽在具體變化情節(jié)中的關(guān)系和結(jié)構(gòu)，遷移過(guò)程不如第一類測(cè)試題進(jìn)行的順利.實(shí)驗(yàn)中的第四類測(cè)試題屬于表面概貌和表面對(duì)應(yīng)都不完全相似的類型，比如實(shí)驗(yàn)中的測(cè)試題8：“在四邊形ABCD中，已知AB=3，AD=5，BC=4，DC=4，A=60°，求cosC”與四套測(cè)試題的樣例表面概貌都不相似，在一定程度上結(jié)構(gòu)相似.在測(cè)試題8的解題過(guò)程中兩次應(yīng)用余弦定理，學(xué)生不能揭示這種隱蔽的條件，使得遷移順利完成.對(duì)于不同水平測(cè)試題所蘊(yùn)含的關(guān)系和結(jié)構(gòu)不同，且與樣例的表面特征存在具體情節(jié)上不同變化，使得學(xué)生可能不能揭露各種隱蔽條件，看出測(cè)試題與樣例表面特征的隱蔽的相似性，從而在問(wèn)題解決過(guò)程中遷移不一定能順利完成[10].

對(duì)于普通校的學(xué)生來(lái)說(shuō)，遷移水平與學(xué)生類型的交互作用不顯著.這說(shuō)明遷移水平的主效應(yīng)在普通校的學(xué)生中不存在學(xué)生類型差異.這一結(jié)果與我們的設(shè)想基本一致.出現(xiàn)這一結(jié)果的原因可能是：普通校的大部分學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)不完善和認(rèn)知水平相對(duì)較低，從而在樣例學(xué)習(xí)的類比遷移中，解決認(rèn)知負(fù)荷大的問(wèn)題時(shí)，不能快速、準(zhǔn)確地識(shí)別圖式結(jié)構(gòu)，進(jìn)而提取解決問(wèn)題的方法，大部分學(xué)生易受表面信息具體情節(jié)變化的影響，從而遷移不能順利進(jìn)行.

4.2 被試間因素效應(yīng)分析與討論

被試間因素效應(yīng)檢驗(yàn)的結(jié)果表明：學(xué)生類型對(duì)于普通校學(xué)生主效應(yīng)十分顯著.這說(shuō)明普通學(xué)校中學(xué)生類型因素對(duì)遷移成績(jī)影響十分顯著.這一結(jié)果與我們的預(yù)期基本一致.結(jié)果說(shuō)明，對(duì)于普通學(xué)校來(lái)說(shuō)，問(wèn)題解決的類比遷移成績(jī)都存在學(xué)生類型上的差異.出現(xiàn)這種結(jié)果的原因可能是：不同類型的學(xué)生對(duì)解決過(guò)的問(wèn)題的圖式歸納方式不同，或者至少是側(cè)重不同，學(xué)優(yōu)生更善于或側(cè)重于歸納出問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征，在解決新問(wèn)題時(shí)能排除表面信息的干擾；而學(xué)中生和學(xué)差生往往不能很好的歸納出問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征而依賴問(wèn)題的表面特征，最終保存在他們長(zhǎng)時(shí)記憶中的更多的是關(guān)于問(wèn)題的表面信息、不完整的結(jié)構(gòu)信息，他們不能揭露表面特征的隱蔽條件，看到表面特征的隱蔽的相似性[12-13].

普通學(xué)校的學(xué)生類型與知識(shí)呈現(xiàn)方式兩因素交互作用不顯著.這一結(jié)果與我們預(yù)期的不完全一致.結(jié)果表明：普通學(xué)校的知識(shí)呈現(xiàn)方式不存在學(xué)生類型上的差異.出現(xiàn)這種結(jié)果的原因可能是：對(duì)于普通學(xué)校的學(xué)生，幾乎都不能揭示隱蔽在表面特征下面的結(jié)構(gòu)特征，儲(chǔ)存在長(zhǎng)時(shí)記憶中是表面的，非本質(zhì)的特征，從而在解決新問(wèn)題時(shí)易于受表面信息的干擾，使得遷移不能順利進(jìn)行.

5 結(jié)論

在研究中，遷移水平與學(xué)生類型因素對(duì)問(wèn)題解決遷移影響顯著，樣例呈現(xiàn)方式與知識(shí)呈現(xiàn)方式的問(wèn)題特征對(duì)解題方法的通達(dá)、提取和運(yùn)用都沒(méi)有影響.也就是說(shuō)對(duì)于普通學(xué)校的學(xué)生來(lái)說(shuō)，不管用哪種知識(shí)呈現(xiàn)方式，設(shè)計(jì)怎樣的樣例題，對(duì)余弦定理的解題遷移都沒(méi)有明顯影響.這一結(jié)果與示范學(xué)校的實(shí)驗(yàn)結(jié)果幾乎一致.這為余弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)提供了理論上的依據(jù)，不管是示范學(xué)校還是普通學(xué)校的學(xué)生，不同的樣例呈現(xiàn)方式和知識(shí)呈現(xiàn)方式對(duì)余弦定理的遷移成績(jī)沒(méi)有明顯的差異，設(shè)計(jì)不同水平的問(wèn)題和學(xué)生類型是教學(xué)設(shè)計(jì)需要關(guān)注的變量.