基于學科核心素養(yǎng)的2018年高考數(shù)學試題分析

常毓喜

(北京市第四中學 100034)

2020年我國將全面建立起新的高考制度. 這次高考制度改革是1977年恢復高考以來規(guī)模最大、涉及面最廣、難度最艱巨的一次改革.這次高考改革是在我國出臺新的課程標準，全面提出培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的背景下進行的，所以研究基于核心素養(yǎng)的高考試題有什么特點，就顯得尤為重要.

核心素養(yǎng)是育人價值的集中體現(xiàn)，是通過學習而逐步形成的正確價值觀念，是能夠適應終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關鍵能力，具體表現(xiàn)在社會參與、自主發(fā)展、文化基礎三個方面.

數(shù)學學科的核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學基本特征的思維品質(zhì)、關鍵能力以及情感、態(tài)度和價值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學學習和應用的過程中逐步形成和發(fā)展的.具體表現(xiàn)為，會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界；會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界；會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界.

1數(shù)學的眼光

數(shù)學的眼光是什么呢？就是數(shù)學抽象與直觀想象.

1.1數(shù)學抽象

數(shù)學抽象就是通過對數(shù)量關系與空間形式的抽象，得到數(shù)學研究對象的素養(yǎng).數(shù)學的研究源于對現(xiàn)實世界的抽象，通過抽象可以得到數(shù)學的研究對象.

2018年的高考試題就比較重視對數(shù)學抽象的考查.

例1(2017年全國1卷理文3)某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設，農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例．得到如下餅圖：

建設前經(jīng)濟收入構(gòu)成比例

建設后經(jīng)濟收入構(gòu)成比例

則下面結(jié)論中不正確的是

A．新農(nóng)村建設后，種植收入減少.

B．新農(nóng)村建設后，其他收入增加了一倍以上.

C．新農(nóng)村建設后，養(yǎng)殖收入增加了一倍.

D．新農(nóng)村建設后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半.

分析首先要從題設的文字語言中抽象出有用的信息，主要是“經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設，經(jīng)濟收入增加了一倍，變成原來的兩倍”.其次還要從所求出的餅圖中獲得有用的信息，并且進行加工、推理、運算，然后得出正確結(jié)論.

表面上看，種植收入由60%變?yōu)?7%，貌似減少了，如果沒有仔細閱讀題目，特別是題干文字語言中的信息，就很容易錯誤的判斷A是正確的. 其實由于總量增加了一倍，所以種植收入實際上是增加了，所以A是錯的.

1.2直觀想象

與數(shù)學抽象關系密切的是直觀想象，直觀想象是指借助幾何圖形和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學問題的素養(yǎng).直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行邏輯推理、實現(xiàn)數(shù)學抽象的思維基礎.

2018年高考命題，也有意地考查學生的直觀想象.

例2(2018年全國3卷理文3)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是

A

B

C

D

分析此題主要考查學生的直觀想象. 只要準確理解題意，并且能夠正確想象出木構(gòu)件的形狀，就很容易得到正確的結(jié)論.

2數(shù)學的思維

數(shù)學的思維是什么呢？就是邏輯推理與數(shù)學運算.

2.1邏輯推理

邏輯推理是指從一些事物和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng).主要包括合情推理與演繹推理.

數(shù)學的發(fā)展主要依賴于邏輯推理，通過邏輯推理得到數(shù)學的結(jié)論，即數(shù)學命題.邏輯推理是得到數(shù)學結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學體系的重要方式，體現(xiàn)了數(shù)學的嚴謹性.邏輯推理的核心是理性思維，既要體現(xiàn)推理的嚴謹性，還要體現(xiàn)推理的靈活性.

例3(2018年全國2卷理11文12)已知f(x)是定義域為(-∞,+∞)的奇函數(shù)，滿足f(1-x)=f(1+x)．若f(1)=2，則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=

A．-50 B．0 C．2 D．50

分析推理就是從題設或已有的結(jié)論出發(fā)，得出一系列有用結(jié)果的過程. 邏輯推理的關鍵首先就是能利用已知條件可以得出什么有用的結(jié)論.

由f(x)是定義域為(-∞,+∞)的奇函數(shù)可以得到什么結(jié)論？f(-x)=f(x)，f(0)=0，圖像關于原點對稱等.

由f(1-x)=f(1+x)可以得到什么結(jié)論？f(x)的圖像關于直線x=1對稱.

于是進一步可得函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù).

所以由f(0)=0得f(2)=f(4)=0；由f(1)=2得f(-1)=f(3)=-2.

所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)

=f(1)+f(2)=2.

此題對邏輯推理的考查很充分.

例4(2018年全國1卷理12)已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為

分析本題主要考查學生的邏輯推理的素養(yǎng)，同時也考查學生的直觀想象.

與每條棱所成角都相等的平面在什么位置？是什么形狀？這是首先要解決的問題.

因為正方體的12條棱中，每一條都有3條棱與其平行，所以只需考慮與從同一個頂點出發(fā)的3條棱所成角相等即可.顯然平面A1BD就滿足條件(如圖)，于是與平面A1BD平行的平面都滿足條件.

這道題立意新穎，背景公平，很好的考查了邏輯推理與直觀想象的學科素養(yǎng)，在當前高考改革的過度階段，這樣命制試題，對目前進行的新課程下的教學無疑有著良好的導向作用.

2.2數(shù)學運算

數(shù)學運算是指在明確運算對象的基礎上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的素養(yǎng).

數(shù)學運算是解決數(shù)學問題的基本手段，包括理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、選擇運算方法、得到運算結(jié)果等.

數(shù)學學科素養(yǎng)中的數(shù)學運算不僅僅指數(shù)字運算，也包括字母與式子的運算.

分析解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法解決幾何問題，即利用坐標與方程解決問題. 在本題中，A，B兩點的坐標怎么解決就成為解決問題的關鍵.

由于A，B兩點的坐標不方便求出，所以可以采用設出A，B兩點的坐標，然后由于它們都在橢圓C上，其坐標滿足橢圓方程，即所謂的點差法進行運算.

方法一(1)設A(x1,y1)，B(x1,y1),

(2)由題意得F(1,0)，設P(x3,y3)，則

(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0)．

由(1)及題設得x3=3-(x1+x2)=1,

y3=-(y1+y2)=-2m<0．

設該數(shù)列的公差為d，則

如果考慮到A，B兩點是直線l與橢圓C的交點，也使用可以采用設而不求，利用韋達定理的方法進行運算.

方法二(1)設直線AB的方程為y-m=k(x-1)，代入橢圓方程并整理得(4k2+3)x2+8k(m-k)x+4(m-k)2-12=0.

(2)設P點坐標為(x0,y0)，則由題設x0-1=x1-1+x2-1=0，所以x0=1，y0=y1+y2=2m.

所以|FA|+|FB|=4-1=3=2|FP|，

在教學中要讓學生學會選擇正確的運算方法，使用合適的運算法則，才能提高學生的運算能力，做到舉一反三，融會貫通.

3 數(shù)學的語言是什么？就是數(shù)學建模與數(shù)據(jù)分析.

3.1數(shù)學建模

數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，并用數(shù)學語言表達問題、構(gòu)建模型且用數(shù)學方法解決問題的素養(yǎng).

數(shù)學模型使得數(shù)學回歸于現(xiàn)實世界，構(gòu)建了數(shù)學與現(xiàn)實世界的橋梁. 是數(shù)學應用的重要形式. 數(shù)學建模是應用數(shù)學解決實際問題的基本手段，也是推動數(shù)學發(fā)展的重要動力.

近幾年的高考試題同樣比較重視對數(shù)學建?？疾?

例6(2018年全國2卷理文18)下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額y(單位：億元)的折線圖．

(1)分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值；

(2)你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由．

分析不難得到利用模型①，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為226.1(億元)，

利用模型②，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為256.5(億元)．

哪個預測值更可靠呢？

視角一：從過程看：

視角二：從結(jié)果看：

從計算結(jié)果看，相對于2016年的環(huán)境基礎設施投資額220億元，由模型①得到的預測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預測值的增幅比較合理．說明利用模型②得到的預測值更可靠．

此題很好的考查了學生數(shù)學建模的素養(yǎng)，要求學生不僅能夠根據(jù)兩個不同的模型分別計算出結(jié)果，而且能夠利用題目所提供的信息，得出哪個預測值更加可靠的結(jié)論.可以說，對數(shù)學建模的考查比較徹底、充分.

3.2數(shù)據(jù)分析

而在當今一個大數(shù)據(jù)時代，數(shù)據(jù)分析變得越來越重要，逐步形成了一種新的語言，所以也把數(shù)據(jù)分析作為核心素養(yǎng)的一個重要要素提出.

數(shù)據(jù)分析是指針對研究對象獲取數(shù)據(jù)，運用數(shù)學知識與方法對數(shù)據(jù)進行整理、分析和推斷，形成關于研究對象知識的素養(yǎng).

例7(2018年全國3卷理文18)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產(chǎn)任務的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務的工作時間(單位：min)繪制了如下莖葉圖：

(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由；

(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務所需時間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：

超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式

(3)根據(jù)(2)中的列表，能否有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？

分析第(1)就充分的考查了數(shù)據(jù)分析的學科素養(yǎng).題設中利用莖葉圖給出了兩組工人完成任務的時間數(shù)據(jù)，如何獲取信息？怎么推斷？可以得到什么結(jié)論？

視角一：從分布的角度看：

由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務所需時間至少80分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務所需時間至多79分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高．

也可以由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間分布在莖8上的最多，關于莖8大致呈對稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間分布在莖7上的最多，關于莖7大致呈對稱分布，又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間分布的區(qū)間相同，故可以認為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務所需的時間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務所需的時間更少，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高．

視角二：從中位數(shù)的角度看：

由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù)為85．5分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù)為73．5分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高．

視角三：從平均數(shù)的角度看：

由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務平均所需時間高于80分鐘；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務平均所需時間低于80分鐘，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高．

所以在教學中應該突出分析各類各種數(shù)學模型及特征數(shù)的特點，抓住其本質(zhì)屬性，這樣才有可能在解決問題時準確地辨析它們，利用合適的數(shù)學模型準確地解決問題.

顯然，核心素養(yǎng)是在“雙基”、“三維目標”、“四基”的基礎上發(fā)展起來的，是培養(yǎng)學生的終極目標.

高中數(shù)學教學活動要樹立以發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)為導向的教學意識，創(chuàng)設有利于學生數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展的情景，引導學生把握數(shù)學知識的本質(zhì).

在教學中如果能夠充分揭示數(shù)學的學科本質(zhì)，那么對學生培養(yǎng)學生的學科素養(yǎng)，無疑有很大的作用.

雖然到2020年才進行新的高考，但是很顯然在這幾年的過渡期，高考命題已經(jīng)逐步體現(xiàn)出新課程的特點，加強了對學科素養(yǎng)的考查.所以我們在教學中要及時予以關注，重視對學生學科素養(yǎng)的培養(yǎng)，努力培養(yǎng)學生具有能夠適應終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關鍵能力.