巧設(shè)材料中，觸發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維

陳芳

【摘要】作者以《植樹問題》為例，談?wù)勗诮虒W(xué)實(shí)踐中，教師如何創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)材料，抓住教學(xué)的有效時(shí)機(jī)，達(dá)到材料利用效果的最大化，取得最佳的教學(xué)效果，觸發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

【關(guān)鍵詞】創(chuàng)設(shè)；學(xué)習(xí)材料；數(shù)學(xué)思維

所謂“學(xué)習(xí)材料”是指，在新課程教育教學(xué)理念指導(dǎo)下，教材中創(chuàng)設(shè)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料或者師生創(chuàng)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料。在課堂教學(xué)中，通過教師的有效行為，抓住教學(xué)的有效時(shí)機(jī)，呈現(xiàn)學(xué)習(xí)材料，以達(dá)到材料利用效果的最大化，取得最佳的教學(xué)效果，促進(jìn)學(xué)生的有效發(fā)展。

“植樹問題”是人教版新課程標(biāo)準(zhǔn)教材五年級(jí)上冊(cè)“數(shù)學(xué)廣角”的內(nèi)容，通過現(xiàn)實(shí)中常見的實(shí)際問題，借助線段圖等手段，讓學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，抽取出數(shù)學(xué)模型，從而解決實(shí)際問題。在這個(gè)教學(xué)過程中，教師提供的學(xué)習(xí)材料，直接影響著學(xué)生思維發(fā)展的方向和程度。

下面就以“是植樹問題”為例，談?wù)勗诮虒W(xué)實(shí)踐中，教師如何創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)材料，抓住教學(xué)的有效時(shí)機(jī)，達(dá)到材料利用效果的最大化，取得最佳的教學(xué)效果，觸發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

一、引發(fā)思維沖突，滲透化歸思想

數(shù)學(xué)思想的滲透應(yīng)該建立在學(xué)生原有思維框架的基礎(chǔ)上，利用新舊知識(shí)思維方式的差異，巧妙制造思維沖突，有助于激發(fā)學(xué)生積極探究的欲望?！爸矘鋯栴}”引入環(huán)節(jié)，教師提供的信息材料有以下三種。

【材料1-1】24米小路一邊植樹，一共要植多少棵樹？

出示材料后，教師問還要考慮什么，補(bǔ)充“每隔6米種一棵”和三種不同的植樹方案。

【材料2-1】一條馬路長1000米，每隔5米種一棵（兩端要栽），一共要植多少棵樹？

學(xué)生猜測(cè)結(jié)論（201、200），產(chǎn)生爭論。

【材料3-1】一條馬路長1000米，每隔5米種一棵，一共要植多少棵樹？

學(xué)生猜測(cè)結(jié)論（201、200、199），產(chǎn)生爭論。

根據(jù)教師提供的不同材料，學(xué)生的思維都不約而同地想到用“平均分”的舊知來解決問題。這個(gè)大的思維方向基本是一致的，但仔細(xì)看，筆者發(fā)現(xiàn)三種材料對(duì)學(xué)生思維的發(fā)展還是存在差異的。

材料1-1，教師縮小了例題的數(shù)據(jù)（100米），直接從24米引入，便于學(xué)生分析問題，用平均分解決問題。同時(shí)，不規(guī)定植樹的三種情況，也給學(xué)生創(chuàng)造了思維自由發(fā)展的空間，產(chǎn)生不同的結(jié)論，引發(fā)爭論。材料2-1和材料3-1從1000米引入，讓學(xué)生猜測(cè)結(jié)論的同時(shí)，自然引入了要把數(shù)據(jù)改小進(jìn)行研究。

這個(gè)階段材料的設(shè)計(jì)，筆者認(rèn)為體現(xiàn)以下三點(diǎn)比較合適。一是能讓學(xué)生借助舊知“平均分”來解決問題。二是能制造思維沖突。不規(guī)定具體植樹情況，就會(huì)讓學(xué)生在利用舊知解決問題的時(shí)，引發(fā)爭論，打開學(xué)生整堂課學(xué)習(xí)的求知欲和學(xué)習(xí)興趣，提高課堂效率。三是能自然滲透化規(guī)思想。把數(shù)據(jù)合理擴(kuò)大，學(xué)生帶來的猜測(cè)就更加自然，為了方便研究，想到“把數(shù)據(jù)縮小”進(jìn)行研究。如果從數(shù)據(jù)直接縮小開始探究，不利學(xué)生自由思考、滲透化繁為簡的數(shù)學(xué)化歸思想。

二、感知有序思維，體驗(yàn)對(duì)應(yīng)思想

培養(yǎng)學(xué)生有序思維，教師必須在課堂中注重滲透。教師在教學(xué)過程中要用好學(xué)生的材料，引導(dǎo)學(xué)生有序地看、有序地想、有序地說、有序地做，才能讓學(xué)生方法對(duì)頭，思路清晰，體驗(yàn)到一一對(duì)應(yīng)思想，把數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為受益終身的數(shù)學(xué)思想方法。“植樹問題”探究一環(huán)節(jié)，教師可讓學(xué)生自主表征題意，組織有序反饋，并讓學(xué)生體驗(yàn)一一對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)思想。

【材料1-2】用一條線段表示24米，請(qǐng)學(xué)生自主表征。然后，教師選取3種不同情況的表征材料進(jìn)行反饋，并在黑板上示范貼出3種情況，用箭頭標(biāo)注出“棵數(shù)和間隔數(shù)”，最后，讓學(xué)生尋找3種表征的相同點(diǎn)。

【材料2-2】由材料2-1改小數(shù)據(jù)，用一條線段表示20米，學(xué)生自主表征兩端都栽這1種情況。教師選取一個(gè)表征材料進(jìn)行反饋，并在黑板上示范貼出1種情況，用箭頭標(biāo)注出“棵數(shù)和間隔數(shù)”。

【材料3-2】由材料3-1改小數(shù)據(jù)，用一條線段表示20米，學(xué)生自主表征。教師選擇3種不同情況的表征材料進(jìn)行反饋后，顯示表格讓學(xué)生討論。

怎么栽 相同之處 不同之處

兩端都栽

只栽一端

兩端都不栽

教師選取學(xué)生表征的不同材料，展開第一次探究活動(dòng)，學(xué)生都能畫出類似的線段圖，并從圖中得到結(jié)果。教師利用學(xué)生表征材料，從“兩端都栽→只栽一端→兩端都不栽”逐層有序反饋，學(xué)生在有序地看、有序地想、有序地說的同時(shí)，初步體驗(yàn)一一對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，為后面的實(shí)踐活動(dòng)做好鋪墊。

通過比較，筆者發(fā)現(xiàn)三種材料對(duì)學(xué)生思維發(fā)展還是有聯(lián)系又有差異的。材料1-2和材料3-2都讓學(xué)生在觀察表征后，說一說三種情況的相同之處，對(duì)學(xué)生思維的發(fā)展有較強(qiáng)的幫助，利于后面植樹問題規(guī)律的得出。材料2-2是從“兩端都栽”這一種情況示范讓學(xué)生體驗(yàn)，是一種設(shè)計(jì)思路，但是教師牽著走的痕跡比較明顯，有部分學(xué)生的思維受到了暫時(shí)性遏止。

這階段材料的選擇，筆者認(rèn)為能體現(xiàn)以下三點(diǎn)比較合適。一是要讓學(xué)生用畫圖策略創(chuàng)生學(xué)習(xí)材料，經(jīng)歷解決問題的過程。二是教師要合理選擇學(xué)生的表征材料，并有序組織學(xué)生交流，給學(xué)生思維多元表達(dá)的機(jī)會(huì)。三是要借助表征材料讓學(xué)生初步體驗(yàn)一一對(duì)應(yīng)的思想，把間隔數(shù)和栽樹棵數(shù)一一對(duì)應(yīng)起來，滲透對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)思想。

三、觸發(fā)推理思維，感悟數(shù)形結(jié)合

推理是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最基本的思維方式之一，有了對(duì)植樹問題規(guī)律的初步感知，就需要觸發(fā)學(xué)生的推理思維，充分感悟數(shù)學(xué)結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，建立植樹問題的數(shù)學(xué)模型?！爸矘鋯栴}”第二個(gè)探究環(huán)節(jié)，教師創(chuàng)設(shè)的學(xué)習(xí)材料，關(guān)乎能否更好地觸發(fā)學(xué)生的推理思維，取得教學(xué)的最大效果。

【材料1-3】

（1）我想每隔（ ）米種一棵，我先把線段平均分成（ ）段。

（2）畫出三種設(shè)計(jì)方案

兩端都種只種一端兩端都不種

用同樣的方法研究另兩種情況。

教師創(chuàng)設(shè)的這三個(gè)材料都引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用推理思維解決問題，并尋找植樹問題的規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型。但教師創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)材料的差異，決定著學(xué)生在構(gòu)建模型的過程中，是相互混淆的，還是突出本質(zhì)的？是被動(dòng)接受的，還是主動(dòng)建構(gòu)的？是單獨(dú)割裂的，還是融會(huì)貫通的？

材料1-3，教師提供的表格把三種情況都事先預(yù)設(shè)好，每位學(xué)生通過畫圖進(jìn)行探究。但每位學(xué)生只研究了一種長度（24米）的一種間隔數(shù)的情況，學(xué)生實(shí)踐的材料還不夠豐富。隨后，教師把學(xué)生的數(shù)據(jù)填入?yún)R總表，讓學(xué)生觀察表格，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。雖然上面有畫圖的步驟，但是匯總到表格后去發(fā)現(xiàn)規(guī)律時(shí)，還是數(shù)形分離的，而且，三種情況交雜在一起，容易混淆。

材料2-3，教師提供表格先研究兩端要栽這一種情況，得出“棵數(shù)=間隔數(shù)+1”。雖然，一種情況的探究過程比較清楚，但是后面仍舊單獨(dú)介紹“只栽一端”和“兩端都不栽”情況，此過程，過于分裂，知識(shí)斷開，使課堂顯得一問一答式，缺少融合，學(xué)生被動(dòng)接受規(guī)律。

材料3-3，教師在表格材料前，加入了提示語“間隔數(shù)與棵數(shù)之間有什么關(guān)系？借助圖自己研究（數(shù)一數(shù)也可以，圈一圈也可以）”，既讓學(xué)生有明確的研究目標(biāo)，又為學(xué)生提供了研究的策略（數(shù)一數(shù)、圈一圈），使學(xué)生的學(xué)習(xí)有力可借。更為巧妙的是，在提供表格材料的第一行，有線段圖加以支撐，非常巧妙，既給學(xué)生學(xué)習(xí)輔以臺(tái)階，在總長20米栽樹時(shí)可以直接數(shù)一數(shù)，又讓學(xué)生繼續(xù)研究總長25米、30米、35米時(shí)，可以繼續(xù)沿著原有線段圖畫一畫。在畫的同時(shí)，還可以進(jìn)一步強(qiáng)化“一個(gè)間隔數(shù)、一棵數(shù)”的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系體驗(yàn)，還可以得出“間隔數(shù)+1=棵數(shù)”這一規(guī)律。隨后，教師讓學(xué)生用同樣的方法研究另外兩種情況，得出“一端不栽：間隔數(shù)=棵數(shù)”“兩端都不栽：間隔數(shù)-1=棵數(shù)”的規(guī)律。

教師巧妙創(chuàng)設(shè)的材料3-3，承載著多維設(shè)計(jì)意圖，一是讓學(xué)生自主完成表格，二是給學(xué)生輔以圖的支撐，三是在學(xué)生繼續(xù)畫圖時(shí)強(qiáng)化對(duì)應(yīng)思想，四是便于學(xué)生推理，找到規(guī)律，把數(shù)與形完美結(jié)合在一起。材料3-3，把三種植樹情況融會(huì)貫通，主次分明，既突出了知識(shí)的本質(zhì)，又讓學(xué)生于無痕中自主獲取新知，真正觸發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

在教學(xué)實(shí)踐中，教師對(duì)學(xué)習(xí)材料的運(yùn)用異同，直接影響課堂教學(xué)效果。因此，在教學(xué)實(shí)踐中，教師對(duì)課堂教學(xué)中學(xué)習(xí)材料的創(chuàng)設(shè)非常重要，創(chuàng)設(shè)得好，能觸發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，取得最佳的教學(xué)效果。反之，則無法達(dá)到有效或者高效的課堂效率。讓我們不斷地去探索、研究有效學(xué)習(xí)材料的創(chuàng)設(shè)，讓學(xué)生不僅在課堂中獲得知識(shí)，更能促進(jìn)學(xué)生思維的可持續(xù)發(fā)展。