智慧數(shù)學(xué)：在練習(xí)中思辨求真

顧筱巒

【摘要】練習(xí)是學(xué)生掌握知識、形成技能、發(fā)展智力、培養(yǎng)能力及養(yǎng)成良好學(xué)習(xí)習(xí)慣的重要手段，也是教師掌握教學(xué)情況和進(jìn)行反饋調(diào)節(jié)的重要措施。在教學(xué)中，我們要思考如何讓練習(xí)優(yōu)量又少量，讓學(xué)生在少而精的練習(xí)中，充分展示自己的聰明才智，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力，使有限的練習(xí)發(fā)揮最大效能，提高教和學(xué)的實(shí)際效益，實(shí)現(xiàn)真教、真學(xué)，培養(yǎng)出創(chuàng)新型的人才。

【關(guān)鍵詞】思維;創(chuàng)新;求真

在教學(xué)中，常常發(fā)現(xiàn)這樣的現(xiàn)象：學(xué)生“學(xué)得高興，做題痛苦”;講過的題目會，變個說法或者同類型的題目，學(xué)生則可能無從下手;這些情況的出現(xiàn)讓我感覺到平時的練習(xí)可能只注重了數(shù)量，而忽視了質(zhì)量。因此，在教學(xué)中，我們要思考如何讓練習(xí)優(yōu)量又少量，讓學(xué)生在少而精的練習(xí)中，充分展示自己的聰明才智，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力，使有限的練習(xí)發(fā)揮最大效能，提高教和學(xué)的實(shí)際效益，實(shí)現(xiàn)真教、真學(xué)。

一、“對比”練——在對比練習(xí)中優(yōu)化學(xué)生靈活思辨的能力

數(shù)學(xué)練習(xí)中，計(jì)算往往是學(xué)生最不喜歡的，教學(xué)中，我們常常用大量的計(jì)算來培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力，但練習(xí)的量和正確率有時卻不成正比。因此，在計(jì)算練習(xí)中，我們需要加入各種對比練習(xí)，加深學(xué)生對知識本質(zhì)的理解。

1.難點(diǎn)處對比，加強(qiáng)認(rèn)知

例如，教學(xué)三年級上冊“商中間有0的除法”后，可以設(shè)置這樣的練習(xí)。

豎式計(jì)算：204÷2? ? ?214÷2

商中間有0的除法，我們在教學(xué)中更多關(guān)注的是商中間為什么要商0，學(xué)生記憶深刻的也是“不夠商1就商0”，對于十位上不夠商1，這個“1”該如何處理也是一個難點(diǎn)。練習(xí)時這樣的兩道對比豎式計(jì)算放在一起，就引發(fā)了學(xué)生的思考，除數(shù)相同，被除數(shù)不同，結(jié)果還會都是102嗎？十位上1除以2，不夠商1就商0后，怎么辦？有了這樣的對比辨析思考，學(xué)生對商中間有0的除法就有了更深入的認(rèn)識。

2.易混處對比，加強(qiáng)理解

個人認(rèn)為，要使學(xué)生能夠練就透過現(xiàn)象看本質(zhì)的本領(lǐng)，訓(xùn)練辦法就是：從本質(zhì)出發(fā)，不斷變化出題的形式。

例如，乘法分配律是繼乘法交換律、乘法結(jié)合律之后的新的運(yùn)算定律，在算術(shù)理論中又叫乘法對加法的分配性質(zhì)。它不同于乘法交換律和結(jié)合律這些單一的運(yùn)算。從某種程度上來說，其抽象程度要高一些。因此，對學(xué)生而言，難度偏大。尤其是對于像“45×99+45”這樣類型的題目，學(xué)生往往難以判斷是否能用乘法分配律。在教學(xué)中，我給這樣類型的題目賦予了一個新的名稱，即“隱形的翅膀”。還記得孩子們第一次聽到這個詞時，覺得很新鮮，平時常在嘴邊的歌名竟也能出現(xiàn)在數(shù)學(xué)課堂中，便一下子記住了這個特殊的名字。在激起學(xué)生興趣的基礎(chǔ)上，我讓他們找一找隱形的翅膀在哪兒，化“隱形的翅膀”為“有形的翅膀”。當(dāng)?shù)诙卧倏吹筋愃祁}目時，學(xué)生便脫口而出“隱形的翅膀”，他們第一次覺得計(jì)算也可以這么有趣！

在解決了這一難點(diǎn)后，簡便計(jì)算的類型不再單一， 一些類似的題型讓學(xué)生看得眼花繚亂。如何幫學(xué)生區(qū)分這些不同的方法，比較練習(xí)迫在眉睫。于是，在學(xué)習(xí)了乘法分配律的簡便計(jì)算后，我花了一節(jié)課的時間和學(xué)生一起深入理解這些看著相像，卻又完全不同的簡便計(jì)算。

（1）37+99? ? 37×99? ? 37×99+37

（2）37+101? 37×101? ?37×101-37

（3）25×（40+4）? ?25×（40×4）

（4）137+98? ? 137-98

在這樣的對比練習(xí)中，學(xué)生產(chǎn)生了思維的碰撞，準(zhǔn)確地區(qū)分了不同的運(yùn)算律有不同的運(yùn)用。同學(xué)們獨(dú)立完成練習(xí)，正確率較之前有了不小的提高。事實(shí)告訴我們，沒有對比，學(xué)生難有清醒。在學(xué)習(xí)了新知識新策略后，后繼學(xué)習(xí)的東西容易對先前的學(xué)習(xí)產(chǎn)生干擾，這種影響不可小視。

二、“變式”練——用多變的題型錘煉學(xué)生深入思考的能力

1.一題多變建模型

在眾多的練習(xí)中，很多習(xí)題之間是存在一定聯(lián)系的。那么在平時的教學(xué)中，我想不僅要關(guān)注新授課的教學(xué)，更要關(guān)注練習(xí)課的教學(xué)。可以以一道題為例，借題發(fā)揮，靈活變動，一題多解，一題多變，一題多用，長時間的鍛煉，相信學(xué)生一定能多層次、廣視角、全方位地認(rèn)識和研究問題，建立一定的問題體系，培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)思維能力。

例如，在蘇教版四年級下冊“相遇問題”這一節(jié)課，書中的例題是這樣的：小明和小芳同時從家里出發(fā)走向?qū)W校，經(jīng)過4分鐘兩人在校門口相遇。他們兩家相距多少米？對于這一問題，學(xué)生可以通過畫圖來解決，也可以用列表的策略來解決。解題方法上也不盡相同，可以先求兩人的路程再相加，也可以用兩人的速度和乘時間。而對于這兩種不同的方法，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，都符合之前學(xué)習(xí)的乘法分配律。但該問題的解決到這兒還是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。在接下來的練習(xí)設(shè)置中，我選用了這樣一些變與不變的問題。

練習(xí)1：小明和小芳同時從家里出發(fā)走向?qū)W校，經(jīng)過20分鐘兩人在校門口相遇。他們兩家相距多少米？

練習(xí)2：小明和小芳同時從學(xué)校出發(fā)回家吃飯，小芳每分走60米，小明每分走70米。經(jīng)過4分，兩人相距多少米？

練習(xí)3：小明和小芳在環(huán)形道上走，兩人從同一地點(diǎn)出發(fā)，反向而行。小明每分走70米，小芳每分走60米，經(jīng)過4分兩人相遇。環(huán)形道長多少米？

練習(xí)1的設(shè)置是為了鞏固學(xué)生對相向而行畫圖策略的理解，以及解題方法的掌握，當(dāng)練習(xí)2、練習(xí)3這兩道變式練習(xí)出示后，學(xué)生很快就發(fā)現(xiàn)根本不需要再次畫圖，也不需要重新列式。尤其當(dāng)練習(xí)3出示后，有學(xué)生脫口而出：“只要把彎曲的跑道拉直即可！”很顯然，相向、相背、化曲為直這些行程問題中的經(jīng)典問題已經(jīng)被學(xué)生所掌握，他們已經(jīng)在腦袋里建立起了這樣的數(shù)學(xué)模型。有了這樣的模型，問題自然引出。

當(dāng)然，為了防止學(xué)生產(chǎn)生定向思維，在練習(xí)的最后，我出示了一道這樣的練習(xí)：小明和小芳同時從學(xué)校出發(fā)去圖書館，小芳每分走60米，小明每分走70米。經(jīng)過4分，兩人相距多少米？

求異思維是一種創(chuàng)造性思維，它要求學(xué)生憑借自己的知識水平能力，對某一問題從不同的角度，不同的方位去思考，創(chuàng)造性地解決問題。在練習(xí)中，經(jīng)常用這種靈活練習(xí)引導(dǎo)學(xué)生從各個角度去分析思考問題，發(fā)展學(xué)生的求異思維，使其創(chuàng)造性地解決問題。

2.一題多變尋本質(zhì)

一題多變是在原有問題中改變部分條件或者結(jié)論，形成新的問題，在不斷的變形過程中，使學(xué)生關(guān)注前后聯(lián)系，抓住問題本質(zhì)，利于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力。

例如，六年級上冊練習(xí)中有一道這樣的習(xí)題。

一件羽絨服400元，先漲價(jià) ，后又降價(jià) ，現(xiàn)價(jià)多少元？

學(xué)生經(jīng)歷具體的探究，明確了兩次價(jià)格的變化的單位“1”是不同的，才能正確地進(jìn)行解答。而后，我們不妨變換條件或者問題，讓問題多面化。

一件羽絨服，先漲價(jià) ，后又降價(jià) ，現(xiàn)價(jià)與原價(jià)一樣多嗎？

有了前一題的基礎(chǔ)，不同的學(xué)生就會有不同的思考。思維能力強(qiáng)的學(xué)生想到的是：雖然漲和降的幅度相同，但是單位“1”不同，所以現(xiàn)價(jià)肯定和原價(jià)不同。思維能力一般的學(xué)生則會想到：雖然現(xiàn)在衣服的原價(jià)不知道，但我們可以假設(shè)一下它的原價(jià)，然后像剛才一樣算出現(xiàn)價(jià)，然后跟原價(jià)比一比。這樣計(jì)算，雖然顯得有點(diǎn)煩瑣，但是他們有一個具體的實(shí)體數(shù)據(jù)可供判斷，心里比較踏實(shí)。而且，多次舉例之后，這些學(xué)生也能夠慢慢悟出其中的原理。然后可以繼續(xù)改編。

一件羽絨服，先漲價(jià) ，后又降價(jià) ，現(xiàn)價(jià)與原價(jià)一樣多嗎？

這一題與前一題相比，在于降價(jià)的幅度發(fā)生了變化，所以單位“1”和價(jià)格改變幅度都發(fā)生變化的情況下，是不能肯定現(xiàn)價(jià)和原價(jià)是絕對不一樣的。但思維能力一般的學(xué)生只要踏實(shí)舉例驗(yàn)證，還是比較容易獲得現(xiàn)價(jià)與原價(jià)是一樣多的結(jié)論。而對于思維能力強(qiáng)的學(xué)生，則可以更進(jìn)一步要求：不舉例，你能證明現(xiàn)價(jià)和原價(jià)一樣多嗎？學(xué)生定會認(rèn)識到，把羽絨服原價(jià)看作單位“1”，漲價(jià)后的價(jià)格是 ，再降價(jià)是 的 ，相當(dāng)于

降了原價(jià)的 ，所以現(xiàn)價(jià)和原價(jià)是一樣多的。

無論是怎樣的變式練習(xí)，它們都是減免問題單調(diào)的重復(fù)，避免學(xué)生興趣的衰退，將題目用到極致，讓學(xué)生在千變?nèi)f化的過程中學(xué)會辨析，能夠透過問題現(xiàn)象看清問題的本質(zhì)，從而能夠概括整理，體會問題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法。

只有教師做到心中有“本”，學(xué)生才能在長期的學(xué)習(xí)熏陶中掌握于“千樹萬樹梨花開”的璀璨情境中“溯本逐源”的本領(lǐng)。

三、“創(chuàng)新”練——用全新的練習(xí)模式提高學(xué)生反思的能力

1.文本閱讀式，挑戰(zhàn)自我

從心理學(xué)的角度講，小學(xué)生中很多孩子都具有強(qiáng)烈的好勝心和求知欲，這可以促使他們積極地求知、主動地探索。體驗(yàn)成功是保持孩子強(qiáng)烈的好勝心、求知欲的最佳方法。因此，在平時的練習(xí)中，當(dāng)遇到一些較難、學(xué)生不易懂的題目時，我沒有采用直接講授的方式，而是提供一些相關(guān)的文本閱讀，在閱讀中發(fā)現(xiàn)解決問題的方法，激發(fā)更多的學(xué)生參與到主動探究與學(xué)習(xí)中來。

例如，蘇教版數(shù)學(xué)四年級下冊中有這樣一道思考題：用1、2、3、4、5這五個數(shù)字組成一個兩位數(shù)和一個三位數(shù)。要使乘積最大，應(yīng)該是哪兩個數(shù)？要使乘積最小呢？換五個數(shù)字再試試。

要解決這個問題，還是比較復(fù)雜的。首先，要讓學(xué)生明確兩個乘數(shù)的差越小，積越大;其次，對于兩個數(shù)首位的確定還需要進(jìn)行多次嘗試;最后，還要通過幾次計(jì)算進(jìn)行比較，才能得到最后的結(jié)果。如果一步一步講解，大部分學(xué)生只能一知半解，還有一部分學(xué)生會因?yàn)檫^程的繁雜而失去耐心，最終只求一個結(jié)果。怎樣才能讓這樣的練習(xí)產(chǎn)生意義，讓更多的學(xué)生參與其中，讓更多的學(xué)生掌握解決問題過程中的關(guān)鍵呢？能不能讓學(xué)生先自主閱讀呢？于是便有了下面這樣一次閱讀練習(xí)。

前一天，我讓學(xué)生自主嘗試解決問題，幾乎所有的同學(xué)都感到毫無頭緒、無從下手。學(xué)生在嘗試失敗的同時，也激發(fā)起了解決問題的好勝心，趁著這樣的勁頭，第二天的課上，我讓同學(xué)們拿出相關(guān)文本，開始了閱讀。同學(xué)們一邊拿草稿本畫著，一邊在報(bào)紙上畫著，還有些同學(xué)竊竊私語討論著。很明顯，他們在報(bào)紙?jiān)敿?xì)的解答中一步一步地理解著問題，也在享受著解決問題的樂趣……從同學(xué)們的眼中，我看到了他們解決問題獲得的興奮感，還有迫切想要和他人交流的愿望，接下來還需要我進(jìn)一步講解嗎？

于是，接下來的課堂便成了小老師講壇：從確定兩個數(shù)的首位開始，到兩個乘數(shù)越接近積越大，再到如何確定兩個數(shù)……小老師一步一步清清楚楚地講解，下面聽的同學(xué)也格外的認(rèn)真。就這樣，一道復(fù)雜而煩瑣的練習(xí)，在閱讀思考中解決了，學(xué)生覺得很是有趣，一個個樂在其中。

其實(shí)，很多時候，我們會發(fā)現(xiàn)，把一個完整的數(shù)學(xué)問題拎出來放在孩子面前，孩子可以準(zhǔn)確地解答;而當(dāng)我們把這些信息融入其他信息之中時，孩子就愣住了?？梢姡瑪?shù)學(xué)文本閱讀能力制約了孩子數(shù)學(xué)潛能的發(fā)揮。大信息量的閱讀分析，培養(yǎng)的不僅僅是孩子的信息提取、分析能力，還有概括歸納、自我探究的能力。

2.自主探究式，挖掘潛力

隨著年級的遞增，課程知識內(nèi)容越來越多，學(xué)生要發(fā)展的能力也越來越多，但其中推理能力和創(chuàng)新意識的培養(yǎng)是貫穿教學(xué)始終的。每個人生來就有探究未知的欲望，小學(xué)生也是如此。常規(guī)的練習(xí)限制了學(xué)生的創(chuàng)新意識，因此，全新的以探究式為主的練習(xí)應(yīng)運(yùn)而生。

例如，蘇教版六年級下冊學(xué)習(xí)了“圓柱的表面積”一課后，我布置了這樣的練習(xí)：1. 請你用你喜歡的方式進(jìn)行描述圓柱側(cè)面積的推導(dǎo)過程;2. 思考解決實(shí)際問題是否都要把圓柱三個面的面積都算出來？如果不是，請舉例說明。

這樣一種全新的練習(xí)模式，滿足了學(xué)生的“創(chuàng)作”欲望，激發(fā)了他們進(jìn)行奇思妙想的樂趣。事實(shí)上，不同層次的孩子都能用他自己的方式完成這次練習(xí)。能力強(qiáng)的孩子能用各種形式將數(shù)學(xué)知識進(jìn)行“創(chuàng)作式”表達(dá)，具有兒童的個性魅力;而學(xué)習(xí)相對較弱的孩子則會將書上的內(nèi)容進(jìn)行“復(fù)制式”學(xué)習(xí)。

例如：在解決蘇教版六年級書上第19頁的思考題時，這個問題和上學(xué)期所學(xué)的《認(rèn)識長方體和正方體》中的問題類似，于是我也選擇了這樣創(chuàng)新式的練習(xí)：1. 分析題目時，你想到了什么？2. 由這個問題，你想到了哪些問題？3. 這些問題之間有什么聯(lián)系？這樣的練習(xí)，學(xué)生顯然是很有興趣的，完成的情況又一次讓我眼前一亮。

實(shí)踐證明，這樣的非常規(guī)練習(xí)，不僅關(guān)注了孩子的興趣和經(jīng)驗(yàn)，還反映了數(shù)學(xué)知識的形成過程，努力為孩子的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了生動活潑、主動求知的材料與環(huán)境，使孩子在獲得數(shù)學(xué)基本知識和基本技能的同時，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)了他們的創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力，建立學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的興趣和信心，真正培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，學(xué)會用數(shù)學(xué)思維思考問題。

【參考文獻(xiàn)】

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[2]鄭毓信.小學(xué)數(shù)學(xué)教育的理論與實(shí)踐——小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)180例[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2017.