對汽車功率恒定啟動問題的深入研究

廣東 任富華

定與不定，一探便知。

一、問題引入

【例1】(2015年全國卷Ⅱ)一汽車在平直公路上行駛。從某時刻開始計(jì)時，發(fā)動機(jī)的功率P隨時間t的變化如圖所示。假定汽車所受阻力的大小f恒定不變。下列描述該汽車的速度v隨時間t變化的圖線中，可能正確的是

( )

A

B

C

D

物理是一門以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)的學(xué)科，實(shí)驗(yàn)往往伴隨著數(shù)據(jù)。在教學(xué)中，一個物理過程或現(xiàn)象都能夠呈現(xiàn)具體的數(shù)據(jù)，也更能讓學(xué)生理解，于是就出現(xiàn)了例2。

【例2】質(zhì)量m=20 kg的探測車以額定功率從靜止啟動，經(jīng)過時間t0=22 s速度達(dá)到最大值vm=10 m/s，已知探測車始終沿直線運(yùn)動，探測車在運(yùn)動過程中受到的阻力為自身重力的0.05，取重力加速度g=10 m/s2，求：

(1)探測車的額定功率；

(2)探測車從啟動至速度達(dá)到最大值的過程中的位移大小。

本題主要考查功率和動能定理的綜合應(yīng)用，簡單解析如下：

(1)由P0=Fv知，當(dāng)F=f=0.05mg=10 N時，速度最大，可得額定功率P0=100 W。

以上每一個步驟都有理有據(jù)，解答過程沒有問題。筆者質(zhì)疑的是22 s達(dá)到最大速度這個“事實(shí)”，可不可以說經(jīng)過10 s或者100 s速度達(dá)到最大值？探測車功率恒定，所受阻力恒定，探測車運(yùn)動情況應(yīng)該是唯一的，一個時刻對應(yīng)唯一的速度。接著出現(xiàn)兩個問題：探測車能不能達(dá)到最大速度？探測車經(jīng)過多長時間達(dá)到最大速度？

二、問題分析

物理題目往往都是將真實(shí)生活或?qū)嶒?yàn)情景抽象化、理想化，而抽象化、理想化本身就是物理學(xué)所要求的一種思維方式，并不違背科學(xué)性。例2中探測車的最大速度為10 m/s，探測車運(yùn)動過程中受到的阻力為自身重力的0.05，這樣的假設(shè)是合理的。

假設(shè)探測車可以達(dá)到最大速度10 m/s，怎么近似研究全過程的運(yùn)動時間呢？我們將整個加速運(yùn)動過程分成若干個速度增加量均為0.2 m/s的過程，將每一個過程當(dāng)作勻加速直線運(yùn)動，探測車的運(yùn)動時間會怎樣呢？

研究探測車的兩個運(yùn)動過程，過程1：速度從9.6 m/s增加到9.8 m/s；過程2：速度從9.8 m/s增加到10 m/s。

對于過程1，當(dāng)速度v1=9.6 m/s時，牽引力

此時探測車的加速度

此過程運(yùn)動的時間

對于過程2，速度v2=9.8 m/s時，牽引力

此時探測車的加速度

此過程運(yùn)動的時間

圖1

實(shí)際上，探測車在上面兩個過程的運(yùn)動時間要大于解得的時間。以過程1為例，速度變化大致圖象如圖1 所示，實(shí)際運(yùn)動時間為t1′，近似處理后運(yùn)動時間為t1，由圖1可知t1′>t1。所以，上面兩個過程運(yùn)動的總時間t′>(t1+t2)=29.2 s。

經(jīng)過以上分析，我們至少可以得出一個結(jié)論：例2中“經(jīng)t0=22 s速度達(dá)到最大值vm=10 m/s”是不科學(xué)的，“t0=22 s”是編題者隨意設(shè)定的時間。那到底探測車能否達(dá)到最大速度？如果能，需要多長時間？要圓滿回答以上問題，需要用到高等數(shù)學(xué)知識——微積分。

三、問題解答

探測車從靜止保持功率恒定啟動，t=0時，速度v0=0。設(shè)t時刻探測車的速度為v，此時，牽引力

根據(jù)加速度的定義可知t時刻的加速度

根據(jù)牛頓第二定律，可知加速度

由以上3式可得

將④式變式可得

將⑤式積分，結(jié)合t=0時，v0=0可得

將例2中m=20 kg，f=10 N，P0=100 W代入⑥式，可得

利用幾何畫板，得到v隨t變化的函數(shù)圖象如圖2所示，圖象趨近于直線v=10 m/s，但不會相交。

圖2