線框在磁場(chǎng)中平動(dòng)模型的九種情景剖析

河南 王春旺

線框平動(dòng)，四情九景。

線框在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中平動(dòng)是高考命題熱點(diǎn)，2018年全國(guó)卷Ⅱ第18題，天津卷第12題，浙江4月卷第3題，2017年全國(guó)卷Ⅱ第20題，都是以線框在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中平動(dòng)作為情景命題。通過(guò)對(duì)近年高考題和各地模擬題研究，可歸納為閉合線框平動(dòng)進(jìn)入磁場(chǎng)四種情形的九種情景。

一、線框在水平面進(jìn)入磁場(chǎng)情形

情景解讀線框以一定的初速度在光滑的水平面上進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域線框在拉力作用下在光滑的水平面上進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域示意圖運(yùn)動(dòng)分析線框若以一定的初速度進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域后,右側(cè)邊切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和感應(yīng)電流,線框受到安培力作用,做變減速運(yùn)動(dòng);完全進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域,不產(chǎn)生感應(yīng)電流,做勻速運(yùn)動(dòng);右側(cè)邊出磁場(chǎng)區(qū)域,左側(cè)邊切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和感應(yīng)電流,線框受到安培力作用,做減速運(yùn)動(dòng)線框若在拉力作用下在光滑的水平面上進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域,若拉力大于線框所受的安培力,則做變加速運(yùn)動(dòng);若拉力等于線框所受的安培力,則做勻速運(yùn)動(dòng);若拉力小于線框所受的安培力,則做變減速運(yùn)動(dòng)速度圖象 能量轉(zhuǎn)化分析進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程,線框動(dòng)能轉(zhuǎn)化為電能,又轉(zhuǎn)化為焦耳熱;完全進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域后動(dòng)能不變;出磁場(chǎng)過(guò)程,線框動(dòng)能轉(zhuǎn)化為電能,又轉(zhuǎn)化為焦耳熱若拉力大于安培力,拉力做功,產(chǎn)生電能和機(jī)械能,電能又轉(zhuǎn)化為焦耳熱;若拉力等于安培力,拉力做功,產(chǎn)生電能,電能又轉(zhuǎn)化為焦耳熱;若拉力小于安培力,拉力做功,產(chǎn)生電能,減小的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為電能,電能又轉(zhuǎn)化為焦耳熱解題思維模型線框以某一速度進(jìn)入磁場(chǎng)情形,利用法拉第電磁感應(yīng)定律和閉合電路歐姆定律、安培力及其相關(guān)知識(shí)解答受到拉力作用進(jìn)入磁場(chǎng)情形,分析所受外力情況和運(yùn)動(dòng)情況,利用法拉第電磁感應(yīng)定律和閉合電路歐姆定律、安培力及其相關(guān)知識(shí)解答

( )

A

B

C

D

【解析】金屬線框在導(dǎo)軌上向左勻速運(yùn)動(dòng)，要明確哪側(cè)導(dǎo)體切割哪個(gè)區(qū)域的磁場(chǎng)磁感線，用右手定則判斷產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和感應(yīng)電流的方向，需要分過(guò)程分析。

再?gòu)蘑谝苿?dòng)到③的過(guò)程中左右兩根棒切割磁感線產(chǎn)生的電流大小相等，方向相反，所以回路中感應(yīng)電流為零。

【試題評(píng)析】此題中給出的磁場(chǎng)為磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等、方向交替向上向下，正方形金屬線框在導(dǎo)軌上向左勻速運(yùn)動(dòng)，判斷線框中產(chǎn)生的感應(yīng)電流圖象。若給出線框中的磁通量圖象、左側(cè)邊產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)圖象、左側(cè)邊兩端點(diǎn)電壓圖象，可仿照上面的解析方法分析判斷。

二、在豎直面進(jìn)入磁場(chǎng)情形

情景解讀在豎直或傾斜平面內(nèi)線框在重力作用下由靜止進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域在豎直或傾斜平面內(nèi)線框在重力作用下以某一速度進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域在豎直平面內(nèi)線框在重力作用下以某一速度從下方進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域示意圖運(yùn)動(dòng)分析線框在重力作用下加速進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域,切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和感應(yīng)電流,線框受到安培力作用,加速度減小,線框做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng);完全進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域,不產(chǎn)生感應(yīng)電流,做加速度為g的加速運(yùn)動(dòng)線框以某一速度進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域,切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和感應(yīng)電流,線框受到重力和豎直向上的安培力作用。①若重力大于安培力,則做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng);②若重力等于安培力,則做勻速運(yùn)動(dòng);③若重力小于安培力,則做加速度逐漸減小的減速運(yùn)動(dòng)線框以某一速度進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域,切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和感應(yīng)電流,線框受到重力和豎直向下的安培力作用,線框做加速度逐漸減小的減速運(yùn)動(dòng)速度圖象

續(xù)表

【典例2】(2019年洛陽(yáng)尖子生聯(lián)考)如圖所示，空間存在一有水平邊界的條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向與豎直平面垂直，邊界間距為L(zhǎng)。一邊長(zhǎng)也為L(zhǎng)的正方形導(dǎo)線框沿豎直方向運(yùn)動(dòng)，線框所在平面始終與磁場(chǎng)方向垂直，且線框上、下邊始終水平。t=0時(shí)刻導(dǎo)線框的上邊恰好與磁場(chǎng)的下邊界重合(圖中位置Ⅰ)，導(dǎo)線框的速度為v0。經(jīng)t1時(shí)間導(dǎo)線框的下邊恰好與磁場(chǎng)的上邊界重合(圖中位置Ⅱ)，且導(dǎo)線框的速度剛好為零。再經(jīng)t2時(shí)間又回到初始位置Ⅰ，此時(shí)線框的速度大小為v。設(shè)重力加速度為g，下列說(shuō)法正確的是

( )

A.上升過(guò)程中線框的感應(yīng)電流方向發(fā)生了改變

B.線框從位置Ⅰ向上運(yùn)動(dòng)到再落回到位置Ⅰ的過(guò)程中，它的加速度可能逐漸減小

C.t1>t2

【答案】ABD

【試題評(píng)析】此題以豎直上拋運(yùn)動(dòng)的線框進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域?yàn)榍榫埃ㄟ^(guò)分析線框的受力及運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，考查物理核心素養(yǎng)“物理觀念”中的運(yùn)動(dòng)和相互作用，推導(dǎo)線框上升時(shí)間和下落時(shí)間的關(guān)系，考查科學(xué)推理能力。

三、受到拉力作用在豎直面或傾斜面進(jìn)入磁場(chǎng)情形

情景解讀在豎直平面內(nèi)線框在重力和拉力作用下以某一速度進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域在傾斜平面內(nèi)線框在重力和拉力作用下以某一速度進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域示意圖 運(yùn)動(dòng)分析線框以某一速度進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域,切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和感應(yīng)電流,線框受到重力、拉力和向下的安培力作用。對(duì)于線框向上的運(yùn)動(dòng)可能為:①若拉力大于重力與安培力沿運(yùn)動(dòng)方向分力之和,則做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng);②若拉力等于重力與安培力沿運(yùn)動(dòng)方向分力之和,則做勻速運(yùn)動(dòng);③若拉力小于重力與安培力沿運(yùn)動(dòng)方向分力之和,則做加速度逐漸減小的減速運(yùn)動(dòng)。對(duì)于線框向下的運(yùn)動(dòng)可能為:①若拉力與安培力沿運(yùn)動(dòng)方向分力之和大于重力沿運(yùn)動(dòng)方向分力,則做加速度逐漸減小的減速運(yùn)動(dòng);②若拉力與安培力沿運(yùn)動(dòng)方向分力之和等于重力沿運(yùn)動(dòng)方向分力,則做勻速運(yùn)動(dòng);③若拉力與安培力沿運(yùn)動(dòng)方向分力之和小于重力沿運(yùn)動(dòng)方向分力,則做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)速度圖象 能量轉(zhuǎn)化分析拉力做功,產(chǎn)生電能和機(jī)械能,電能轉(zhuǎn)化為焦耳熱解題思維模型受到拉力作用在豎直面或傾斜面進(jìn)入磁場(chǎng)情形,分析所受外力情況和運(yùn)動(dòng)情況,利用法拉第電磁感應(yīng)定律和閉合電路歐姆定律、安培力及其相關(guān)知識(shí)解答

【典例3】如圖所示，正方形單匝均勻線框abcd，邊長(zhǎng)L=0.4 m，每邊電阻相等，總電阻R=0.5 Ω。一根足夠長(zhǎng)的絕緣輕質(zhì)細(xì)線跨過(guò)兩個(gè)輕質(zhì)光滑定滑輪，一端連接正方形線框，另一端連接絕緣物體P，物體P放在一個(gè)光滑的足夠長(zhǎng)的固定斜面上，斜面傾角θ=30°，斜面上方的細(xì)線與斜面平行。在正方形線框正下方有一有界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，上邊界Ⅰ和下邊界Ⅱ都水平，兩邊界之間距離也是L=0.4 m。磁場(chǎng)方向水平，垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=0.5 T?，F(xiàn)讓正方形線框的cd邊距上邊界Ⅰ的正上方高度h=0.9 m的位置由靜止釋放，且線框在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終與磁場(chǎng)垂直，cd邊始終保持水平，物體P始終在斜面上運(yùn)動(dòng)，線框剛好能以v=3 m/s的速度進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)并勻速通過(guò)勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域。釋放前細(xì)線繃緊，重力加速度g=10 m/s2，不計(jì)空氣阻力。

(1)線框的cd邊在勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，c、d間的電壓是多大？

(2)線框的質(zhì)量m1和物體P的質(zhì)量m2分別是多大？

(3)在cd邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，給線框施加一個(gè)豎直向下的拉力F使線框以進(jìn)入磁場(chǎng)前的加速度勻加速通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域，在此過(guò)程中，力F做功W=0.23 J，求正方形線框cd邊產(chǎn)生的焦耳熱是多少？

【解析】(1)正方形線框勻速通過(guò)勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的過(guò)程中，設(shè)cd邊上的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E，線框中的電流強(qiáng)度為I，c、d間的電壓為Ucd，則

由法拉第電磁感應(yīng)定律得E=BLv

解得Ucd=0.45 V

(2)正方形線框勻速通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域的過(guò)程中，設(shè)受到的安培力為F，細(xì)線上的張力為FT，則

F=BIL

FT=m2gsinθ

m1g=FT+F

正方形線框在進(jìn)入磁場(chǎng)之前的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，根據(jù)能量守恒，則

解得m1=0.032 kg，m2=0.016 kg

(3)因?yàn)榫€框在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的加速度與進(jìn)入前的加速度相同，所以在通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域的過(guò)程中，線框和物體P的總機(jī)械能保持不變，故力F做的功W等于整個(gè)線框中產(chǎn)生的焦耳熱Q，即W=Q

設(shè)線框cd邊產(chǎn)生的焦耳熱為Qcd，根據(jù)Q=I2Rt得

解得Qcd=0.057 5 J

【試題評(píng)析】此題以在拉力作用下線框通過(guò)勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域?yàn)榍榫埃ㄟ^(guò)分析線框在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的各力做功與各種能量轉(zhuǎn)化情況，考查能量觀念核心素養(yǎng)。

四、平拋或斜拋運(yùn)動(dòng)進(jìn)入磁場(chǎng)情形

情景解讀在豎直平面內(nèi)線框平拋運(yùn)動(dòng)進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域在豎直平面內(nèi)線框平拋或斜拋運(yùn)動(dòng)進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域示意圖運(yùn)動(dòng)分析線框在磁場(chǎng)區(qū)域外運(yùn)動(dòng)遵循平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律若勻速進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域,在線框進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域的過(guò)程中,線框左右兩側(cè)邊切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)抵消,在計(jì)算感應(yīng)電流時(shí)只需考慮下側(cè)邊切割磁感線運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)線框左右兩側(cè)邊所受安培力抵消,線框在水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng),在豎直方向受到安培力和重力作用,可按照線框在豎直面內(nèi)進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)分析線框完全進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域后,磁通量不變,不產(chǎn)生感應(yīng)電流,線框在重力作用下運(yùn)動(dòng)線框在磁場(chǎng)區(qū)域外運(yùn)動(dòng)遵循平拋或斜拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律在線框進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域的過(guò)程中,線框上下兩側(cè)邊切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)抵消,在計(jì)算感應(yīng)電流時(shí)只需考慮右側(cè)邊切割磁感線運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)剛進(jìn)入磁場(chǎng)線框上下兩側(cè)邊所受安培力抵消,線框在水平方向受到向左的安培力作用,做減速直線運(yùn)動(dòng),在豎直方向只受到重力,可按照線框在豎直面內(nèi)做自由落體或豎直上(下)拋運(yùn)動(dòng)分析線框完全進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域后,磁通量不變,不產(chǎn)生感應(yīng)電流,線框在重力作用下運(yùn)動(dòng)速度圖象 能量轉(zhuǎn)化分析重力做功,產(chǎn)生電能,電能轉(zhuǎn)化為焦耳熱動(dòng)能轉(zhuǎn)化為電能,電能轉(zhuǎn)化為焦耳熱解題思維模型平拋或斜拋運(yùn)動(dòng)進(jìn)入磁場(chǎng)情形,需要把線框的運(yùn)動(dòng)分解為水平方向和豎直方向的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng),分別遷移相關(guān)知識(shí)分析解答

【典例4】(2018年4月浙江選考)如圖所示，在豎直平面內(nèi)建立xOy坐標(biāo)系，在0≤x≤0.65 m、y≤0.40 m范圍內(nèi)存在一具有理想邊界，方向垂直紙面向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域。一邊長(zhǎng)l=0.10 m、質(zhì)量m=0.02 kg、電阻R=0.40 Ω的勻質(zhì)正方形剛性導(dǎo)線框abcd處于圖示位置，其中心的坐標(biāo)為(0，0.65)?，F(xiàn)將線框以初速度v0=2.0 m/s水平向右拋出，線框在進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程中速度保持不變，然后在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，最后從磁場(chǎng)右邊界離開磁場(chǎng)區(qū)域，完成運(yùn)動(dòng)全過(guò)程。線框在全過(guò)程中始終處于xOy平面內(nèi)，其ab邊與x軸保持平行，空氣阻力不計(jì)。求：

(1)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大??；

(2)線框在全過(guò)程中產(chǎn)生的焦耳熱Q；

(3)在全過(guò)程中，cb兩端的電勢(shì)差Ucb與線框中心位置的x坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系。

【解析】(1)線框做平拋運(yùn)動(dòng)，當(dāng)ab邊與磁場(chǎng)上邊界接觸時(shí)，豎直方向分速度

由于水平速度與豎直速度數(shù)值相等，所以線框進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域的速度方向與水平方向成45°角。題述線框勻速進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域，線框受力平衡，mg=BIl，線框ad邊和cd邊切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)抵消，只需考慮ab邊切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，E=Blvy

聯(lián)立解得B=2 T

(2)線框全部進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域后，磁通量不變，不產(chǎn)生感應(yīng)電流，在水平方向做勻速運(yùn)動(dòng)，在豎直方向做加速度為g的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。

從磁場(chǎng)右邊界離開磁場(chǎng)區(qū)域過(guò)程中，上下兩邊產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)抵消，只需考慮左側(cè)邊切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。

在水平方向，由動(dòng)量定理-BilΔt=mΔv

設(shè)線框出來(lái)磁場(chǎng)區(qū)域的水平速度為v，方程兩側(cè)求和，注意到ΣiΔt=q，ΣmΔv=m(v-v0)

得Blq=m(v0-v)

代入相關(guān)數(shù)據(jù)解得v=1.5 m/s

根據(jù)能量守恒定律，線框在全過(guò)程中產(chǎn)生的焦耳熱

代入相關(guān)數(shù)據(jù)解得Q=0.037 5 J

(3)圖中2,3,4,5狀態(tài)下線框中心橫坐標(biāo)分別為0.4 m，0.5 m，0.6 m，0.7 m。

當(dāng)x≤0.4 m時(shí)，線框還沒(méi)有進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域，Ucb=0；

由于x=0.4+v0t

當(dāng)0.5 m

Ucb=Blv0=0.4 V

當(dāng)0.6 m

代入數(shù)據(jù)解得vx=(5-5x) m/s

E=Blvx=2×0.1×(5-5x) V=(1-x) V