高考全國卷理科數(shù)學“函數(shù)和導數(shù)”試題特點及復習策略

陳序平

【中圖分類號】H310.4 【文獻標識碼】A

【文章編號】2095-3089（2019）08-0266-01

“函數(shù)和導數(shù)”是高考數(shù)學的重要內容之一，全國卷理科數(shù)學從分值比重來看，近三年（2016年～2018年）高考所占分值基本上保持在17～27分之間，具體如下表：

導數(shù)的應用是函數(shù)考查的重要要求之一，從近三年全國卷高考理科數(shù)學試題分析看，常見考點可分為六個方面：（1）含參變量的取值范圍問題，如2018年全國Ⅱ卷第21題、2016年全國Ⅰ卷第21題，通常在“函數(shù)與導數(shù)”的解答題出現(xiàn)。（2）證明不等式的問題，如2017年全國Ⅲ卷第21題、2016年全國Ⅰ卷第21題。（3）函數(shù)零點（方程的根）問題，如2017年全國Ⅰ、Ⅱ卷。（4）函數(shù)的最值與極值問題，如2018年全國Ⅰ卷第16題、2016全國Ⅱ卷第21題。（5）導數(shù)的幾何意義問題，如2018年全國Ⅱ卷14題、2016全國Ⅱ卷16題，通常在選擇填空題較多。（6）存在性問題，如2018年全國Ⅱ卷21題、2017年全國Ⅱ卷第21題。

選擇、填空題考點可總結為八類：一是分段函數(shù)，如2018全國Ⅰ卷第9題、2017年全國Ⅲ卷第15題；二是函數(shù)的性質，如2017全國Ⅰ卷第5題；三是基本函數(shù)，如2016年全國Ⅲ第6題；四是函數(shù)圖象，如2018年全國Ⅱ卷第3題；五是函數(shù)零點（方程的根），如2017全國Ⅲ卷第11題；六是函數(shù)的最值，如2018年全國Ⅰ卷第16題；七是導數(shù)及其應用，如2016全國Ⅰ卷第7題；八是定積分，雖然近三年全國卷沒有考查到，但這以前的全國卷也偶爾涉及到，也應引起關注。

選擇、填空題考查涉及到的數(shù)學思想方法也相當豐富，如分段函數(shù)問題常與分類討論思想相結合，有關方程根的情況判斷常涉及函數(shù)與方程思想和等價轉化思想，研究函數(shù)的圖象問題和基本函數(shù)的性質時常利用數(shù)形結合思想等。

例1（2018年理科全國Ⅰ卷T9）已知函數(shù)f（x）=ex，x≤0Inx，x>0，g（x）=f（x）+x+a.若g（x）存在2個零點，則a的取值范圍是（ ）

A.[-1，0） B.[0，+∞） C.[-1，+∞） D.[1，+∞）

分析：本題主要考查分段函數(shù)、函數(shù)零點個數(shù)等知識的綜合運用，考查分類討論，數(shù)形結合等思想的應用。

例2（2017年理科數(shù)學全國Ⅱ卷T11）若x=2是函數(shù)f（x）=（x2+ax-1）ex-1的極值點，則函數(shù)f（x）的極小值為 （ ）

A.-1 B.-2e-3 C.5e-3 D. 1

分析：本題考查導數(shù)計算，導數(shù)與含參函數(shù)極值問題的結合，求導數(shù)時涉及簡單的復合求導問題。

解答題主要是利用導數(shù)處理函數(shù)、方程和不等式等問題，有一定的難度，往往是解答題最后兩道題之一，特別地，近五年全國卷都是以最后一道壓軸題的形式出現(xiàn)。解答題較為側重考查豐富的數(shù)學思想，如函數(shù)與方程思想常應用解決函數(shù)與方程的相關問題，等價轉化思想常應用于不等式恒成立問題和不等式證明問題，分類討論思想常用于判斷含有參數(shù)的函數(shù)的單調性、最值等問題。同時要求考生有較強的計算能力和綜合問題的分析能力。

例3 （2016年理科數(shù)學全國Ⅰ卷T21）已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點.（I）求a的取值范圍；（II）設x1，x2是f（x）的兩個零點，證明：x1+x2<2.

分析：本題考查含有參數(shù)的函數(shù)單調性、極值、零點等問題，難度較大。通常要根據(jù)參數(shù)進行分類討論，要注意分類討論的原則：互斥、無漏、最簡，解決函數(shù)不等式的證明問題的思路是構造適當?shù)暮瘮?shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性或極值破解.

近幾年來與導數(shù)有關的函數(shù)壓軸題，經常會碰到導函數(shù)具有零點，但求解相對比較繁雜甚至無法求解的問題。此時，我們不必正面強求，可以采用將這個零點只設出來而不必求出來，然后謀求一種整體的轉換和過渡，再結合其他條件，從而最終獲得問題的解決，我們稱這種解題方法為“虛設零點”法?！傲泓c分布和運用極值點滿足關系式——虛設零點”，這一方法最早在2012年全國文科第21題官方答案中出現(xiàn)，接著在2013年全國Ⅱ卷理科第21題、2015年全國Ⅰ卷和Ⅱ卷第21題、2016年全國Ⅱ卷理科第21題、2017年全國Ⅱ卷理科第21題第二問等題目的官方答案中多次出現(xiàn)。在教學時候，如果學生本身程度較高，需要做必要的突破時，可以適當引導學生理解并運用這一方法。

針對近幾年高考全國卷的試題特點，我們在復習備考時要強調幾點：（1）深研課標、考綱，深入學習新課改的數(shù)學理念，在教學中滲透“六大核心素養(yǎng)”的要求；（2）落實“三基”教學，確?；A過關；（3）注重思想方法，掌握通性通法；（4）回歸課本，研究題型來源及變化；（5）重視重要知識和重要思想方法；（6）強化解題能力，注意解題規(guī)范；（7）遵循課標理念，合理控制題目難度，要基礎也要區(qū)分度；（8）降低選擇填空題的難度并多涉獵壓軸題的題型。

注：本文是基于“福建省寧德市中學教育科學研究2018年度課題：高考全國卷數(shù)學科試題特點及教學對策研究”的研究成果，課題立項批準號：FJNDKY18-803。