小議三角函數(shù)的物理意義與數(shù)學(xué)意義的對比

閆嘉啟

摘要：三角函數(shù)不僅是數(shù)學(xué)知識，在物理學(xué)習(xí)中，我們也會常發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)的身影，如力的正交分解、運(yùn)動的合成與分解等，所以導(dǎo)致很多學(xué)生對其物理意義與數(shù)學(xué)意義弄混亂。本文將以三角函數(shù)為例，將其的物理意義與數(shù)學(xué)意義進(jìn)行對比分析，以期能夠幫助學(xué)生能夠理清兩者的關(guān)系。

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)知識? ?物理意義? ?數(shù)學(xué)意義? ?對比

近年來，為了促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展，不難發(fā)現(xiàn)很多學(xué)科知識點都在互相滲透，在數(shù)學(xué)題目中會出現(xiàn)重力、摩擦力等物理相關(guān)的詞匯，而在物理解題過程中也會利用一些數(shù)學(xué)知識來提高解題的便利性。由此，可以看出目前高中教學(xué)正在嘗試著將各個學(xué)科的知識進(jìn)行融合，從而盡可能地避免學(xué)生出現(xiàn)偏科現(xiàn)象。三角函數(shù)就是一個學(xué)科之間進(jìn)行融合的典型代表，雖然它是數(shù)學(xué)初等函數(shù)中的一種類型，但是卻也能夠在物理解題中發(fā)揮一定的功效，是不可缺少的一個重要工具。

一、三角函數(shù)的概念

三角函數(shù)是初等函數(shù)中的一種，其本質(zhì)是任意角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。它包含六種基本函數(shù)：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。一般來說，三角函數(shù)是在平面直角系中進(jìn)行定義的，定義為整個實數(shù)域，在數(shù)學(xué)和物理解題中都有著重要意義。

二、三角函數(shù)的應(yīng)用

（一）三角函數(shù)在數(shù)學(xué)題中的應(yīng)用

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)知識點的中的一個難點所在，通常會被用來求證某些幾何圖形的關(guān)系或者一些不規(guī)則圖形的面積、最大值、最小值等。對于高中學(xué)生而言，三角函數(shù)更多的是考察他們對于三角函數(shù)的定義、性質(zhì)、以及一些公式是否能夠正確理解和應(yīng)用。由于三角函數(shù)的特殊性，在遇到關(guān)于三角函數(shù)的相關(guān)問題時，一般都會需要用到直角坐標(biāo)系，通過圖形結(jié)合能夠更加準(zhǔn)確清晰地知道對應(yīng)的答案。

例1，已知三角函數(shù)y=sinx2+cosx，求該三角函數(shù)的最大值。

解析：在解決最值問題時，我們通常都會借助三角函數(shù)的一些特性，在這道題目中需要結(jié)合圓方面的知識進(jìn)行解題，即cos2x+sin2x=1。畫一個直角坐標(biāo)系，設(shè)點A（cosx，sinx），根據(jù)三角函數(shù)cos2x+sin2x=1可知，A是單位圓上的一點。對函數(shù)y=sinx2+cosx分析可知，它過定點B（-2，0），而這個y函數(shù)也就可以理解為是定點A與B之間的斜率。本題是想要得到函數(shù)的最大值，而當(dāng)直線AB與單位圓相切時斜率最大。經(jīng)計算可知，最大值為33。

（二）三角函數(shù)在物理題中的應(yīng)用

在高中物理解題過程中我們通常會借助一些數(shù)學(xué)知識來幫我們把一些物理問題簡單化，如三角函數(shù)在物理解題過程中就有著廣泛的應(yīng)用，在力的合解、運(yùn)動的合成等方面都能夠幫助我們輕易地解決物理問題。但是在物理中需要用三角函數(shù)解決問題時，首先需要將一些物理量轉(zhuǎn)化為含有三角函數(shù)的關(guān)系式，如此才能夠利用三角函數(shù)的一些圖像、性質(zhì)來解決相關(guān)問題。誠然，三角函數(shù)在物理解題中的應(yīng)用，不僅能夠使得解題變得更加簡潔、方便，還能夠開拓學(xué)生的思維，拉近學(xué)科之間的距離。

例2：如圖1，在水平向右電場強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場中，一帶電小球靜止在電場中，剪短細(xì)繩后t離開電場，小球質(zhì)量為m，電荷量為q，求小球離開電場時刻與電場線的夾角的正切值。

解析：從題意可知，正切就是三角函數(shù)中的一種類型，求解正切值無疑需要用到三角函數(shù)。首先對剪短細(xì)繩后的小球進(jìn)行受力分析，如圖2，最后根據(jù)正、余弦函數(shù)邊角關(guān)系表示出正切值。

三、三角函數(shù)物理意義與數(shù)學(xué)意義對比分析

（一）相同點

三角函數(shù)無論對于數(shù)學(xué)還是物理而言，其都是一個重要的解題工具，能夠幫助學(xué)習(xí)者們更好更快地解決問題。不管是物理題目中的物理量，還是數(shù)學(xué)題目中的一些最大值、最小值，都不是直接利用三角函數(shù)關(guān)系去解決的，而是需要先將題目中涉及到的點轉(zhuǎn)化為與三角函數(shù)相關(guān)聯(lián)的數(shù)，如此才能夠借助三角函數(shù)的知識去解題。三角函數(shù)的應(yīng)用的確讓一些立體化的知識變得更加平面化、具體化，既提高了學(xué)生的解題速度和效率，又能夠方便我們學(xué)生理解和學(xué)習(xí)。

（二）不同點

三角函數(shù)在數(shù)學(xué)中的重要性要遠(yuǎn)高于在物理中的重要性。簡單來講，三角函數(shù)并沒有作為一個單獨的知識點出現(xiàn)在物理教材中，但是卻出現(xiàn)在數(shù)學(xué)教材中，由此可以看出，三角函數(shù)對于物理的意義而言僅是一個輔助工具，雖然很重要，但還是不能夠與力學(xué)、運(yùn)動學(xué)、磁學(xué)等知識點相匹配。從上述的舉例中也可以看出，三角函數(shù)在物理題中的應(yīng)用僅是一個轉(zhuǎn)化，更多的是考察學(xué)生對于力學(xué)知識的掌握程度。然而，三角函數(shù)在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用卻不僅僅是一個輔助工具，它充當(dāng)?shù)氖且粋€獨特的知識點，是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。在數(shù)學(xué)題目中三角函數(shù)的應(yīng)用并不僅僅是一個簡單的轉(zhuǎn)化，還需要結(jié)合三角函數(shù)的圖像、性質(zhì)等。

四、結(jié)語

綜上所述， 雖然三角函數(shù)在物理和數(shù)學(xué)中都有廣泛的涉獵，但是究其重要性而言，還是數(shù)學(xué)意義更加深遠(yuǎn)。所以，對于高中生而言要能夠分清主次，三角函數(shù)在物理學(xué)科中只需要掌握一些簡單的理論即可，但是在數(shù)學(xué)學(xué)科中卻要對其性質(zhì)、圖像、定義、公式等進(jìn)行理解和記憶，畢竟三角函數(shù)在數(shù)學(xué)題目中的應(yīng)用不僅僅局限于表中，還會與其他的一些東西進(jìn)行聯(lián)合對學(xué)生進(jìn)行考察?？傊?，如果學(xué)生已經(jīng)能夠熟練應(yīng)用三角函數(shù)知識解決數(shù)學(xué)問題，那么三角函數(shù)在物理中的應(yīng)用自然也是水到渠成。

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（作者單位：三門峽市外國語高級中學(xué)）