一道中考題的多角度解答

羅峻 段利芳

摘要：本文對(duì)2018年武漢市中考物理試題第16題作多角度的分析和解答，揭示蘊(yùn)涵其中的思想方法，挖掘問題的本質(zhì)屬性，以提高學(xué)生的空間想象、邏輯思維能力，優(yōu)化思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生探索創(chuàng)新的意識(shí).

關(guān)鍵詞：中考題;解答;拓展

隨著一年一度的中考落下帷幕，涌現(xiàn)出一批構(gòu)思巧妙，令人深思的考題.這些考題看似毫不起眼，實(shí)則內(nèi)涵豐富，解法多樣靈活.對(duì)這些問題加以解答研究，并揭示出蘊(yùn)涵其中的思想方法，挖掘出問題的本質(zhì)屬性，可以提高學(xué)生的空間想象、邏輯思維能力，優(yōu)化思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生探索創(chuàng)新的意識(shí).

1 試題呈現(xiàn)

題目 （2018年武漢中考第16題）如圖1，△ABC中，∠ACB =60°，AC=1，D是邊AB中點(diǎn)，E是BC上一點(diǎn)，若DE平分△ABC周長(zhǎng)，則DE的長(zhǎng)是___________.

本題文字精煉，圖形簡(jiǎn)潔優(yōu)美，構(gòu)思巧妙，內(nèi)涵豐富，立足基礎(chǔ)，能力并重，解答它極富思維含量，不失為一個(gè)很好的數(shù)學(xué)素材.若從平時(shí)解答的普通題目中提取有用的解題信息，聯(lián)想一些常規(guī)方法，便能迅速找到解決問題的途徑.

2 試題溯源

在平時(shí)教學(xué)中，我們要練習(xí)大量的題目，有的題目經(jīng)典顯得“老土”，往往受到教師的排斥，但這些題目大多蘊(yùn)含著豐富的內(nèi)涵和深邃的思想方法.由題目中“中點(diǎn)”和“平分三角形周長(zhǎng)”的條件，我們易想起兩道簡(jiǎn)單而常見的平幾題：

問題1在等腰△ABC中，AB =AC，AC邊上的中線BD把△ABC的周長(zhǎng)分成15和6兩部分，求這個(gè)三角形的腰長(zhǎng)和底邊長(zhǎng).

問題2 如圖2，在△ABC中，AB =12，AC =20，求BC邊上的中線AD的取值范圍.

問題1采用分類討論，設(shè)未知數(shù)列出方程組解決問題;問題2只需倍長(zhǎng)中線AD，構(gòu)造全等三角形即可解答，這里的“設(shè)未知數(shù)”和“倍長(zhǎng)中線”都是很重要又常見的解決問題的利器.

3 解法探究

由條件“D是AB中點(diǎn)”，聯(lián)想到三角形中位線或倍長(zhǎng)中線，因此可作平行線或?qū)D倍長(zhǎng)，又由“DE平分三角形的周長(zhǎng)”，發(fā)現(xiàn)AC+ CE= BE，可將AC+CE轉(zhuǎn)換成同一直線上的另一線段，其中可用設(shè)未知數(shù)的方法，利用圖形性質(zhì)得出相等的線段，并利用60。角這個(gè)特殊條件解決，

思路1 作平行線，利用中位線定理

解法1 如圖3，過點(diǎn)A作AF //DE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

因?yàn)镈E平分△ABC的周長(zhǎng)，設(shè)CE =x，則BE =AC+ CE =1 +x.

因?yàn)镈E //AF，D為AB的中點(diǎn)，那么DE為△BAF的中位線，則EF =BE =1+x.

那么CF =1 =AC.

又因?yàn)椤螦CB= 60°，則∠FCA= 120°。

在△ACF中，頂角∠FCA= 120°，腰AC =1，解這個(gè)三角形得AF=√3

因此 DE=1/2AF=√3/2

解法2 如圖4，過點(diǎn)D作DF //AC交BE于點(diǎn)F.設(shè)CE =x，同解法1，易知BE =1 +x.

因?yàn)镈F為△ABC的中位線，則DF=1/2AC= 1/2

F為BC中點(diǎn)，則CF =1/2BC= 1/2（2x+1）=_x+1/2

因此EE=1/2，即EF= DF.

又因?yàn)椤螪FB=∠C= 60°，在△DEF中，∠EFD =120°，DF= 1/2可解得DE=√3/2

說明解法1、解法2都是遵循D是AC中點(diǎn)，作平行線構(gòu)造中位線，并解頂角是120°的等腰三角形.解題是由已知條件運(yùn)用已知定義、定理、法則，通過運(yùn)算推理得到結(jié)論的過程.因此，題干條件是什么，能得到什么結(jié)論，需要什么條件，條件與結(jié)論之間用什么方法打通，有哪些思路，這是解題者必須思考的問題.

思路2 倍長(zhǎng)中線，作平行線

解法3如圖5，連接CD并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使DF=CD，連接BF，過點(diǎn)F作FG //DE交BC于點(diǎn)G.

因?yàn)锳D= BD，∠CDA= ∠BDF，CD= DF，

所以△ACD≌△BFD（SAS）.

那么BF =AC =1，CD= DF.

而DE //GF，則E是CG的中點(diǎn).

因此DE是△CFG的中位線.所以EC= CE=x，

又EB =1 +x，所以BG =1.

即△BFG是腰長(zhǎng)為1的等腰三角形.

又∠A+∠CBA =120°，由全等知∠A= ∠ABF.

所以∠ABF+∠CBA =120°，

在△BFG中，解得FG=√3.所以DE=√3/2，

說明 解法3的解題思路是先倍長(zhǎng)中線CD，得全等三角形，作平行線后，利用平行線等分線段定理得E是CG中點(diǎn)，構(gòu)造出三角形中位線，利用圖形的性質(zhì)解腰長(zhǎng)為1、頂角為120°的等腰△BFG，即可解決問題這里的倍長(zhǎng)中線、作平行線都是解題的通法，可見遵循已知條件，嘗試添置常見輔助線是解題經(jīng)驗(yàn)中的重要一環(huán).

思路3倍長(zhǎng)中點(diǎn)線段ED，構(gòu)造全等，結(jié)合平行四邊形性質(zhì)

解法4 如圖6，延長(zhǎng)ED到點(diǎn)F，使DF= DE，連接AF，過點(diǎn)C作CG //EF交AF于點(diǎn)G.

設(shè)CE =x，由ED=DF，∠ADF=∠EDB，AD=BD，得△BDE≌△ADF（SAS）.

所以BE =AF =1 +x，∠B= ∠BAF.

則AF //BC。

又因?yàn)镃G //EF，則四邊形CEFG是平行四邊形.

那么FG= CE=x.所以AG =AF - FG =1.

即AC =AG =1.

又因?yàn)椤螧= ∠BAF，∠ACB =60°，

所以∠CAB+ ∠B =120°= ∠CAF.

在△ACG中，∠CAG= 120°，AC =AG =1，鋸得CG=√3，所以EF=√3，于是ED=√3/2.

解法5 如圖7，延長(zhǎng)ED到點(diǎn)F，使DF= ED，連接AF，過點(diǎn)E作EG //AC交AF于點(diǎn)G.

同解法4 易證△ADF≌△BDE，四邊形CEGA是平行四邊形.

設(shè)CE =x，則AG=x，F(xiàn)G =1.

而EG =AC =1，那么EG= FG.

可推出∠CAF= ∠CAB+ ∠BAF= ∠CAB+ ∠B=120°.即∠EGF =120°.

在△EFG中，得EF=√3，貝ED=√3/2

說明 解法4、解法5的解題思路是倍長(zhǎng)與中點(diǎn)有關(guān)的線段E，構(gòu)成全等三角形，再作平行線，構(gòu)成平行四邊形，再利用60°角和全等的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)得出一個(gè)頂角為120°，腰長(zhǎng)為1的等腰三角形，解這個(gè)三角形即可.這里的倍長(zhǎng)線段ED構(gòu)造全等，作平行線構(gòu)造平行四邊形，都是對(duì)此類問題的通用方法，因此在平時(shí)教學(xué)過程中，唯有注重通法通解，學(xué)生才可在以后的解題中起到潛移默化，快速解決問題，達(dá)到解一題，通一類，會(huì)一片的效果.

思路4 特值法

解法6 由題目條件“E是BC上一點(diǎn)”，改變圖形的形狀，使之特殊化，當(dāng)E與C重合，且∠A= 60°時(shí)，△ABC是等邊三角形.如圖8，易看出此時(shí)皆符合題目條件，即CD是等邊三角形的高，則CD=√3/2.

說明 特殊值法是在特殊條件下（如特殊位置、特殊數(shù)值）求得結(jié)果的一種非常規(guī)方法，特殊是一般的一種形式，其結(jié)果符合一般情形和一般規(guī)律.雖然在解題教學(xué)中，淡化特殊解法，但淡化并不等于不用，在有限的時(shí)間內(nèi)，對(duì)于選擇、填空題是制勝法寶，應(yīng)該重視.如若在進(jìn)行一題多解的通性解法后，補(bǔ)充問題的特解、妙解，往往可以讓人眼前一亮，從而提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的探究興趣和欲望，而且特解、妙解是突破慣性思維的創(chuàng)造性解法，能提升學(xué)生的創(chuàng)新品質(zhì).

4 結(jié)論推廣與類題鏈接

著名數(shù)學(xué)家希爾伯特說過：“一個(gè)問題的解決意味著一系列新的問題誕生，當(dāng)我們解題成功時(shí)，不要忘了提出新的問題，因?yàn)檫€有許多寶藏尚未開發(fā)出來，”在解得問題答案之后，如果引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)將試題的結(jié)論進(jìn)行更深層次的探究和拓展，不但可以激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探索知識(shí)的欲望，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，而且還可以提高學(xué)生類比、聯(lián)想，以及分析、處理問題的能力.

注意到60°是個(gè)較特殊的條件，能否進(jìn)一步弱化？也正因?yàn)?0°角的強(qiáng)化，才為特殊解創(chuàng)造了條件，也為不能直接得出答案的考生，大開方便之門，這也是本題的“瑕疵”所在.

推廣 如圖1，在△ABC中，∠ACB =a，AC=m，D是AB中點(diǎn)，E是BC上一點(diǎn)，若DE平分△ABC的周長(zhǎng)，則DE的長(zhǎng)是____.

解析DE=m·cosα/2.具體證明可類比上面解法，此處略寫.

數(shù)學(xué)大師陳省身先生曾經(jīng)表達(dá)過這個(gè)意思：“單個(gè)數(shù)學(xué)題再精致，也只是孤島，不具備普遍性.”好的習(xí)題往往有深刻的問題背景，教師不但要帶領(lǐng)學(xué)生有效探究問題本質(zhì)，在充分體驗(yàn)、理解、內(nèi)化的基礎(chǔ)上進(jìn)行提煉升華，還要讓學(xué)生了解習(xí)題的“前世今生”，幫助學(xué)生了解同類問題的呈現(xiàn)方式，展現(xiàn)“未來”，促使學(xué)生在不同的知識(shí)板塊形成完整的知識(shí)鏈接.

除了前面“試題溯源”提到的兩個(gè)問題外，再看兩個(gè)類似問題

鏈接1 如圖9，已知△FMC，延長(zhǎng)CM至B，使BM= CM，E在FM上，若∠BEM=∠F，求證：BE= CF.（本題逆命題也成立，即將條件∠BEM=∠F與結(jié)論BE=CF互換）.

鏈接2 如圖10，在△ABC中，AD交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，EF //AD交CA的延長(zhǎng)線于F，交AB于點(diǎn)G，若AD是△ABC的角平分線，求證：BG= CF.

這兩道題目解法甚多，限于篇幅，本文不再贅述.

5 一點(diǎn)感想

怎樣學(xué)好數(shù)學(xué)？有位數(shù)學(xué)家說過：第一，解題;第二，解題;第三，還是解題.可見，解題是貫穿數(shù)學(xué)活動(dòng)的不可缺少的一環(huán).拿到一道試題，在理解題意，弄清主要條件及結(jié)論，應(yīng)該立即思考問題屬于哪一主題，哪一章節(jié)？與這一章節(jié)的哪個(gè)類型的問題比較接近？與已做過的哪個(gè)問題比較接近？以前的問題是如何解決的？能否用這種方法解決？這樣一想，下手的地方就有了，解題的方向就有了，這就是解題經(jīng)驗(yàn)在解決問題中的應(yīng)用.運(yùn)用解題經(jīng)驗(yàn)、模式識(shí)別，將隱性問題顯現(xiàn)，可以簡(jiǎn)潔回答解題中的兩個(gè)基本問題：從何處下手？向何方前進(jìn)？從辯認(rèn)題型模式人手，向著提取相應(yīng)方法、使用相應(yīng)方法解題的方向前進(jìn).正如本題所提到的作平行線、倍長(zhǎng)中線、倍長(zhǎng)與中點(diǎn)有關(guān)線段，構(gòu)造中位線、平行四邊形、等腰三角形等基本模型，都是平時(shí)解題常見的方法和手段，也是寶貴的解題經(jīng)驗(yàn)與直覺.因此在平時(shí)教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生在解題中，積累解題經(jīng)驗(yàn)，提煉常用基本模型，從而提高解題能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]羅峻，馬先明.勤提煉活運(yùn)用促提高——“雙A”字基本圖形在解題中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（8）：83-87.