構造等腰三角形，證明幾何問題

方海國

摘要：解幾何題時，若遇到角平分線、線段的垂直平分線、倍角三角形等問題，可巧妙構造等腰三角形，借助等腰三角形的有關性質，往往能夠迅速找到解題方法，使問題化難為易，迎刃而解.本文舉例說明構造等腰三角形解幾何問題.

關鍵詞：線段;等腰三角形;性質

1 構造等腰三角形證兩線段相等

例1 如圖1所示，在△ABC中，BD平分∠ABC，BD上CD于點D，DE //AB交BC于點E.

求證：BE= CE[l].

分析 由BD是角平分線和垂線聯(lián)想到等腰三角形，為此需要分別延長BA和CD，設它們相交于點F，則△BCF是等腰三角形，故點D為CF的中點.又DE//AB，所以BE= CE.

2 構造等腰三角形證兩線段不相等

例2 如圖2所示，△ABC中.AB >AC，AD平分∠A交BC于點D.

求證：BD> DC.

分析 如果能將BD和CD轉移到同一個三角形中，則可用邊角關系來證，為此可延長AC到點E，使AE =AB，連BE交AD的延長線于點F，則由等腰三角形“三線合一”的性質可知AF垂直平分BE，連結DE，則 BD= DE.

又因為∠1=∠2，而∠3>1，故∠3>∠2，從而DE> DC.因此BD >DC.

3 構造等腰三角形證線段的倍分關系

例3 如圖3所示，BD平分∠ABC，BD⊥CD于點D，BE= DE.求證：BC =3AB，

分析 因為BD既是角平分線又是垂線，所以可考慮構造等腰三角形來證明，延長CD交BA的延長線于點F，則BF= BC.

過D作DG //AE交BF于點G，因點D是CF的中點，所以AG =FG.又因為E是BD的中點，即AB=AG，因而BF =3AB，從而得到BC= 3AB.

4 構造等腰三角形證兩線段垂直

例4 如圖4所示，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD =90°，點E、F分別是對角線AC、BD的中點.

求證：EF⊥AC.

分析欲證EF⊥AC，因為點E為AC的中點，即證EF是AC的中垂線，為此可考慮構造等腰三角形來證，

連結AF和CF，由題設知△AFC是等腰三角形，由其“三線合一”的性質可得EF⊥AC，

5 構造等腰三角形證線段的等積關系

例5如圖5所示，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的中垂線EF交CB的延長線于點F.

求證：DF²= BF·CF.

分析 線段的等積關系一般用相似三角形證明.因為求證式中的三條線段共線，故應將其中某些線段進行代換，注意到EF垂直平分AD，則連AF可得等腰△FDA，且DF= AF，如果AF代DF，即證AF²= BF·CF，即證AF/BF=CF/AF.為此只需證△AFB∽△CFA.

此時可由∠AFB公用和∠ABF= ∠ABF+1/2∠BAC=∠DAF+1/2∠BAC=∠CAF從而得證.

6 構造等腰三角形證線段和差關系

例6 如圖6所示，點D為△ABC的BC邊的中點，PD ⊥DQ于點D，點P、Q分別在AB、AC上，連PQ.

求證：PB+ QC> PQ.

分析 乍一看此題似無從下手，因為求證式中的三條線段分散于圖形之中，關系并不明顯[2]，仔細觀察則豁然開朗，因為由題設可將三條線段集中在一個圖形中，延長QD到點E，使DE =DQ，連結PE、BE，則△PEQ是等腰三角形，故PQ=PE.易證△BDE≌△CDQ，則QC= BE.

在△PBE中，PB+ BE> PE，因此PB +QC>PQ.

7 構造等腰三角形證明兩個角相等

例7 如圖7，四邊形ABCD中，AB= CD，點E、F分別是AD、BC中點，BA、CD延長線分別交FE的延長線于點M、N.求證：∠AME= ∠DNE.

分析 如果能將∠AME和∠DNE轉化為等腰三角形的兩底角，則問題就能馬上解決.從題中“等線段”和“中點”兩個條件可以看出，這種轉化能實現(xiàn)

連結BD并取中點G，連結EG、FG.則△GEF是等腰三角形.

故∠1=∠2.再由GE //BM，GF //CN即可獲證，

8 構造等腰三角形證角的倍分關系

例8 如圖8，平行四邊形ABCD中，AB= 2AD，過點B作DA的延長線的垂線，垂足為E.設點F為CD的中點.

求證：∠EFC =3 ∠DEF.

分析過點F作FG //DE分別交AB、EB于點日、G，則∠1=∠2.

連結BF，由DF= CF，得EG =BG.

又BE⊥DE，所以FG⊥BG.

即△FEB是等腰三角形.

從而∠2= ∠3，易證四邊形BCFH是菱形.

故∠3= ∠4.從而∠EFC =3 ∠DEF.

9 構造等腰三角形證角的和差關系

例9 如圖9，△ABC中，BD平分∠ABC，AE ⊥BD于點E.求證：∠BAE= ∠C+ ∠DAE.

分析 由題設可知，延長AE交BC于點F，△ABF是等腰三角形，則∠AF= ∠BFA.再根據(jù)三角形的外角定理即可獲證.

總之，當圖形有角平分線、垂線等條件時，可考慮構造等腰三角形使問題化繁為簡，尋找解題捷徑[2].

參考文獻：

[1]魏祥勤.一類與函數(shù)圖像有關的問題探究[J].中學數(shù)學教學參考，2016（6）：66 -68.

[2]莊彩丹.構建等腰三角形的三種思路[J].讀書文摘2016（06）：125.