基于污染混沌動力系統(tǒng)的序列加密算法

許 佳 佳

(四川外國語大學成都學院 經(jīng)濟管理系，成都 611844)

0 引 言

信息安全不僅關乎國家利益還關乎老百姓的切身利益，研究信息安全問題有著重大的學術與實際意義[1-7]。如何把信息進行偽裝與隱藏已經(jīng)成為人們關心的話題，也是信息安全部門研究的新方向，更是密碼學學者研究的重點。

最近幾年在序列密碼加密方面，文獻[8]提出了以混沌理論作為基礎的應用字符串的加密算法，該加密算法的運算量小，靈活性強；王林林在文獻[9]中提出了一種加密算法，這種算法能夠在確保迅速加密的基礎上，使得混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌序列結(jié)果具有較強的隨機性，加密系統(tǒng)在防攻擊性、安全性等方面都優(yōu)于那些基于聯(lián)合混沌和基于三維混沌密碼的加密系統(tǒng)；柳揚等[10]研究了基于可變參數(shù)的混沌動力系統(tǒng)的序列密碼，研究了動力系統(tǒng)經(jīng)平移變換之后新的動力系統(tǒng)與原動力系統(tǒng)具有相同的不變測度與均值，并且在新的動力系統(tǒng)基礎上采用序列密碼設計了加密與解密的算法。2014年李占梅[11]首次引入不變的污染系數(shù)，構(gòu)造了基于一維Logistic映射和分段線性映射的污染混沌動力系統(tǒng)，并提出相應的加密算法。

本文基于對文獻[11]的研究，引入了一個不斷變化的污染系數(shù)，構(gòu)造了污染系統(tǒng)，進而介紹序列加密算法。第1節(jié)介紹了污染混沌動力系統(tǒng)的定義與例子，第2節(jié)基于污染混沌動力系統(tǒng)，介紹了本文的加密解密算法；第3節(jié)針對本文的加密算法進行計算機仿真；第4節(jié)對本文的加密算法進行安全性分析及相關檢驗，第5節(jié)是本文的結(jié)論。

1 污染混沌動力系統(tǒng)的加密算法

1.1 污染混沌動力系統(tǒng)的定義與例子

定義1 設f1和f2是兩個動力系統(tǒng)，稱f=αf1+(1-α)f2為污染動力系統(tǒng)。其中，0<α<1稱為污染系數(shù)[11]。選取拋物線映射[12]：

f1(n+1)=X(n+1)=μxn(1-xn)，μ∈(0，4)，xn∈[0，1]

(1)

當μ∈(3.6，4)時，映射出現(xiàn)分岔，是混沌映射。x隨μ的變化如圖1所示。

分段非線性映射[13]:

f2(n+1)=x(n+1)=

(2)

其中，x∈[0，1]，p∈(0，0.5)。在p=0.25時，分段非線性映射的圖像如圖2所示。

圖2 分段非線性映射圖

由拋物線映射式(1)與分段非線性映射式(2)形成的污染混沌動力系統(tǒng)為

f(n)=αf1(n)+(1-α)f2(n)

(3)

當α=0.099，μ=0.2，p=0.25時，并且α=0.008 9，μ=3.8，p=0.15時的污染動力學系統(tǒng)式(3)的圖像分別如圖3和圖4所示。

圖3 α=0.099，μ=0.2，p=0.25污染系統(tǒng)

圖4 p=0.15，α=0.008 9，μ=3.8污染系統(tǒng)

由圖3和圖4可知，當p，α，μ取不同值時，污染系統(tǒng)的輸出值相差很大。

證明在各參數(shù)取值范圍內(nèi)取

另一方面當0.5≤x<1時

又因為

求導可知，q1(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且

當0.5≤x<1-p時，

綜上可知：

|f′|>1

本文在各參數(shù)取值范圍內(nèi)選取

初值選取

x(1)=0.195，α(1)=0.001，p(1)=0.22，

μ(1)=3.66，n=1 500

則該污染混沌動力系統(tǒng)輸出值x(n)的值如圖5所示，顯然輸出結(jié)果在[0，1]上服從均勻分布。

圖5 污染混沌動力系統(tǒng)輸出值的分布

1.2 加密解密算法

加密思想：在傳輸密文過程中，如果明文信息有變化密文也會變化，密鑰的微小變化也會引起密文的改變，本文的加密算法考慮了以上兩個影響因素。首先把原始明文信息轉(zhuǎn)化為相應的二進制序列，由初值出發(fā)通過污染系統(tǒng)的迭代得到混沌結(jié)果序列，把混沌序列處理后得到密鑰序列，最后把明文序列與密鑰序列進行特殊運算以得到效果更好的密文。加密過程如圖6所示：

圖6 加密過程框圖

具體加密算法如下：

步驟1將明文字符串轉(zhuǎn)化為ASCII碼，再將ASCII碼值由十進制轉(zhuǎn)化為十六位二進制，得到二進制的明文序列D={d1d2d3…dL}，L∈N+；其中di只取0或1。

步驟3由Tj(x(i))=[10jx(i)]mod 2計算得到密鑰序列{ki}。

步驟4加密。第一輪加密后得到第一輪密文si，明文與密鑰序列的相鄰bit影響第一輪密文，第二輪加密則是把第一輪密文與密鑰逆序列異或，得到最終密文mi序列，這樣保證了密文的不可攻擊性，進一步加強了密鑰對密文的影響。

第一輪加密：

第二輪加密：

最后得到密文序列M={m1，m2，m3，…，mL}。

解密圖如圖7所示，解密時，第一輪解密得到第一輪密文si，第二輪解密時與密鑰ki，ki-1異或得到兩個相鄰明文di，di-1的異或值yi，再用d1與yi+1層層異或逐步得到d2，d3，…。

圖7 解密過程框圖

具體解密過程：

步驟1取定系統(tǒng)值。

給定污染混沌動力系統(tǒng)中的初始值，則迭代系統(tǒng)中其他參數(shù)值為

并代入污染混沌系統(tǒng)中進行迭代，得到混沌序列{x(i)}，i=1，2，3，…，L。

步驟2得到密鑰。

由Tj(x(i))=[10jx(i)]mod 2計算得到密鑰序列ki=Tj(x(i))，i=1，2，3，…，L。

步驟3解密。

第一輪解密：

第二輪解密：

步驟4得到明文序列。

D={d1d2…dL}

步驟5轉(zhuǎn)化為明文。

將明文二進制序列的ASCII碼值轉(zhuǎn)換為明文。

1.3 算法仿真

為了更清楚地說明加密算法的加密過程，對加密算法進行性能分析，下面給出一個例子，對一段文字用Matlab進行加密。

明文：個人信息的安全性

首先將明文文字轉(zhuǎn)化成ASCII碼值，然后轉(zhuǎn)化為十六位二進制序列，得到明文序列：010011100010101001001110101110100100111111100001011000000 110111101110110100001000101101110001001010100 01011010000110000000100111。

(1)在原初值條件下的密文為“〗?z宻J? ガ”。

(2)當x(1)=0.195 000 1密文為“?┉Ut'.犧y鵎?”。

(3)將j=7改為j=9密文為“B鲇Y(進;賗株?S”。

(4)將α(1)=0.01改為α(1)=0.000 1，密文為“8V?緧ェ蕾l笒”。

(5)將p(1)=0.22改為p(1)=0.220 001，密文為“踻<_x0019_憖飪??f袲e”。

(6)將μ(1)=3.66改為μ(1)=3.660 001密文為“? /!_x0016_??O琲贊E”。

(7)當x(1)=0.195 000 01，j=8時，其他值不變“F3-?"瑣,Y庣婄”。

以上(1)～(7)的結(jié)果用0，1二進制序列表示后，如圖8所示。分析圖形結(jié)果，初始值的極微小的變化會使得密文產(chǎn)生巨大變化。

圖8 不同條件下明文與密文二進制序列圖

當輸入正確的解密密鑰時，可以得到正確的原始明文信息。如把步驟(1)中x(1)=0.195中輸入污染混沌動力系統(tǒng)，得到的密鑰流與密文流進行多次異或就得到正確的明文信息，而把密鑰當作x(1)=0.195+10-16時，得到的明文為“>楑桳D?設8P謾”。由此可見，輸入錯誤密鑰不能得到正確的明文信息。

2 安全性分析及相關檢驗

2.1 均勻分布特性

判斷污染混沌動力系統(tǒng)加密效果的好壞，要看加密后密文流二進制序列中0與1的個數(shù)是否接近，越接近加密效果越好。污染系統(tǒng)式(3)中，在指定范圍內(nèi)取定參數(shù)值，代入后得到混沌序列，再經(jīng)過計算得到密鑰流。當n取值越來越大時，密鑰流中0與1的個數(shù)幾乎相等，這說明密文流是均勻分布的，該污染系統(tǒng)有良好的隨機性質(zhì)，可以有效抵抗統(tǒng)計分析。

圖9 0在密文序列中所占的比例

由圖9可知，當n增大時，0在密文流中所占的比例逐漸接近0.5，說明密文流中0與1的個數(shù)幾乎相等，可見密文是均勻分布的，可以有效抵抗統(tǒng)計分析。

2.2 相關性分析

在參數(shù)取值范圍內(nèi)選取密鑰值，通過污染系統(tǒng)運算后產(chǎn)生密鑰值，對明文進行加密，通過明文與密文的相關度檢驗加密效果。

定義明文與密文的相關度[12]：

設{d1d2d3…dn}為明文信息的二進制序列，{m1m2m3…mn}為密文流的二進制序列，α，μ，p均為式(3)中的參數(shù)。

R(x(1)，α(1)，p(1)，μ，j，n)=

例1 明文為混沌密碼學原理及其應用，污染系統(tǒng)中各參數(shù)值為初值：x(1)=0.195,a(1)=0.000 1,p(1)=0.22,μ(1)=3.66，以上明文的二進制序列長度為176，則n最大取到176，迭代系統(tǒng)中其他參數(shù)滿足：

明文二進制、密文二進制以及明文與密文的相關度值隨n的變化情況如圖10所示，由圖10可知，隨著n的不斷增大，明文與密文的相關度值逐漸趨近0。

圖10 明文與密文及其相關度值

通過以上例子，可以得到結(jié)果：明文與經(jīng)過該污染系統(tǒng)加密后的密文相關度很低，并且隨著n值的不斷增大，相關度值逐漸趨近于0，說明加密后的明文與原始明文幾乎不相關。

2.3 靈敏度檢驗

靈敏度[13]的定義：

設{d1d2d3…dn}為明文信息的二進制序列，{m1m2m3…mn}為密文流的二進制序列。

靈敏度δ(di，mi，x(1)，α(1)，μ(1)，p(1)，j，n)=

用密鑰{x1，α(1)，μ(1)，p(1)，j}={0.195，0.001，3.66，0.22，7}

對長度為10 000的0序列加密，得到的明文與密文靈敏度如圖11所示。

圖11 密文與明文的靈敏度

當取不同密鑰時，分別選取x(1)={0.195，0.195 02，0.195 04，0.195 06，0.195 08}對10 000個0序列加密后，明文與密文的靈敏度如圖12所示。

圖12 不同初值下密文與明文的靈敏度分析圖

取p(1)={0.22，0.220 002，0.220 004，0.220 006，0.220 008},對10 000個0序列加密后，明文與密文的靈敏度如圖13所示。

圖13 不同p值下密文與明文靈敏度

當j={5，6，7，8，9}時，密文與明文的敏感度如圖14所示。密文與明文之間隨著信息量以及各個密鑰的變化靈敏度在變化，幾乎趨近于0.5。說明加密時明文信息會以0.5的概率改變。

圖14 不同j值密文與明文的敏感度

2.4 平衡度檢驗

設{m1m2m3…mn}為加密后的密文二進制序列，定義平衡度：

n1，n0分別是序列中1，0的個數(shù)。平衡度越小，0與1的個數(shù)越接近，獲得的密文隨機性越好。

取密鑰x(1)=0.195,a(1)=0.001,p(1)=0.22,μ(1)=3.66。長度為10 000的0序列加密，得到密文的平衡度分析圖如圖15所示。

圖15 密文的平衡度分析圖

由圖15可知，明文全是0時，密文的平衡度接近于0，說明密文中0，1個數(shù)大體相等，對于更一般的明文，密文更有隨機性。

2.5 密文序列的自相關性檢驗

定義二值序列的自相關系數(shù)為

其中，m為步長，n為比較的密文長度bit數(shù)，自相關系數(shù)的值與步長m及n有關，當m一定時，自相關系數(shù)與n有關，當n變化時，如果自相關系數(shù)變化很小，說明密文序列隨機性越好。當m=1，m=2，m=3時，做比較的密文長度為10 000時，用密鑰x(1)=0.195，α(1)=0.001，p(1)=0.22，μ(1)=3.66得到的密文自相關系數(shù)與n的圖像如圖16所示?？梢钥闯?，當步長分別取1，2，3時，密文序列的自相關系數(shù)變化很小，說明密文的隨機性很好。

圖16 密文的自相關系數(shù)圖

2.6 密鑰空間分析

對于選取的密鑰為x(1)，α(1)，p(1)，μ(1)及離散化算子j，若計算機精度為10-5估算本算法的密鑰空間，結(jié)果密鑰空間為5×1025，實際上計算機的精度遠大于10-5，則密鑰空間遠大于5×1025，由此可知該污染混沌動力系統(tǒng)有足夠大的密鑰空間可以抵抗窮舉攻擊。

3 結(jié) 論

文章介紹的密碼算法是基于污染混沌動力系統(tǒng)的加密算法，使得簡單的映射能產(chǎn)生足夠安全的密文，真正做到了明文任一比特的改變都能引起密文的巨大改變。本文介紹了由拋物線映射和分段非線性映射構(gòu)造的污染混沌映射，用計算機模擬實例來驗證加密的結(jié)果，并且進行了多項加密性能分析，如密文是否均勻分布、平衡度以及密文的自相關性等，分析后表明該加密算法加密效果良好，密文及算法都可以有效抵抗攻擊。