魯棒凸多目標(biāo)優(yōu)化問題解集的刻畫*

鄭 霜，周俊屹

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶 401331)

單目標(biāo)數(shù)學(xué)規(guī)劃問題最優(yōu)解集的刻畫方法對(duì)理解具有多重最優(yōu)解的數(shù)學(xué)規(guī)劃問題的解法具有重要的作用.眾所周知，對(duì)于各種類型的數(shù)學(xué)規(guī)劃問題解的刻畫[1-5]，通常假定程序的輸入量或輸入數(shù)據(jù)是精確的.然而，實(shí)際生活中優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)通常是多個(gè)的情形，并且由于預(yù)測(cè)或測(cè)量誤差，導(dǎo)致與目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)相關(guān)的輸入數(shù)據(jù)通常是不確定或不完整的[6-7].因此，研究此類不確定多目標(biāo)優(yōu)化問題就顯得尤為重要.近幾年，單目標(biāo)魯棒對(duì)應(yīng)問題中與最優(yōu)解集刻畫相關(guān)的問題和對(duì)偶等性質(zhì)已被廣泛研究[6-10],并且多目標(biāo)優(yōu)化理論與方法的研究已有大量重要的研究成果[11-17].

受參考文獻(xiàn)[8]中研究方法的啟發(fā)，本文研究不確定凸多目標(biāo)規(guī)劃的魯棒G-真有效解集的刻畫.首先研究的是不確定凸多目標(biāo)魯棒對(duì)應(yīng)問題的標(biāo)量化問題中一般化的常微分性質(zhì)和常拉格朗日性質(zhì)，再利用這些性質(zhì)最后得到該標(biāo)量化問題的魯棒解集的刻畫.

1 預(yù)備知識(shí)

考慮如下這個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問題：

s.t.gj(x)≤0，j∈J={1，2，…，m}

然而，在實(shí)際問題中，由于預(yù)測(cè)或測(cè)量的誤差[6-7]導(dǎo)致與目標(biāo)和約束相關(guān)的輸入數(shù)據(jù)通常是不確定或不完整的.因此對(duì)于以上模型，目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)在面對(duì)數(shù)據(jù)不確定時(shí)可以改為如下參數(shù)化模型：

s.t.gj(x，vj)≤0，j∈J

受參考文獻(xiàn)[14]的啟發(fā)研究給定一個(gè)解點(diǎn)的魯棒G-真有效解集的刻畫問題，這種方法需要用到如下的多目標(biāo)魯棒對(duì)應(yīng)形式：

s.t.gj(x，vj)≤0，vj∈Vj，j∈J.

令

將(RMOP)標(biāo)量化為如下單目標(biāo)魯棒優(yōu)化模型(SP)λ，其中取定一個(gè)

s.t.gj(x，vj)≤0，vj∈Vj，j∈J

近幾年，這種魯棒單目標(biāo)優(yōu)化問題解點(diǎn)的刻畫，對(duì)偶性質(zhì)和計(jì)算處理性在參考文獻(xiàn)[6-9]中已被廣泛研究.

定義1[14-15]

(1)(魯棒可行集)問題(MOP)中的魯棒可行集定義為

記(MOP)所有G-真有效解構(gòu)成的集合為S，且本文所討論的魯棒真有效解都指魯棒G-真有效解.

(3)(SP)λ的魯棒解集為

那么由定理1有：Sλ?S.本文只研究這種特殊的標(biāo)量化(SP)λ問題的魯棒解的刻畫.

是閉凸集，且

(1)

(2)

接下來只需證

F={x：gj(x，vj)≤0，vj∈Vj，j∈J}

那么，把假設(shè)運(yùn)用到拉格朗日對(duì)偶[11]，就有：

因此，

即證得式(1)成立.

(必要性)成立只需要用到凸規(guī)劃在凸性條件下的最優(yōu)性充分論斷.

2 主要結(jié)果

在這一部分，根據(jù)給定問題的一個(gè)魯棒解點(diǎn)得到了各種魯棒解集的刻畫.本文首先得到目標(biāo)函數(shù)的次微分在解集上的基本性質(zhì).注意，在沒有不確定集的情況下，單目標(biāo)優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)的次微分在它解集的相對(duì)代數(shù)內(nèi)部上是連續(xù)的，對(duì)于數(shù)據(jù)不確定型凸優(yōu)化問題的這個(gè)一般結(jié)果如下.

其中，

證對(duì)任意的x1，x2∈riSλ.魯棒解集Sλ是如下這個(gè)非光滑凸優(yōu)化問題的解集：

下面證第二個(gè)論斷，令x∈riSλ，x′∈Sλ.那么，對(duì)任意的γ∈(0，1)，γx+(1-γ)x′∈riSλ，令ω∈A(x)，并令γn→0.

將以上P個(gè)不等式分別乘上λi再相加得：

A(x)?A(x′)

注1廣義常微分性質(zhì)在沒有不確定集的情況下，對(duì)于一個(gè)光滑凸優(yōu)化問題也成立，即目標(biāo)函數(shù)在解集上的梯度是常值.

在如下的命題中，本文獲得了一個(gè)基本的魯棒解集的刻畫.

Sλ={x∈F：<ωa，x-a>=0，

?ωa∈A(x)∩A(a)}

其中：

因此有：

(1-γ)<ωi，x-y>=

把以上p個(gè)不等式分別乘上λi，i=1，2，…，p再相加得：

又

同樣可以得到：

因?yàn)棣谩?0，1)，則

<ω，x-y>≤0，<ω，y-x>≤0

則證得：

?ω∈A(x)∩A(a)且<ω，x-a>=0

那么就有：

則有：

又a∈Sλ，則x∈Sλ.

注2對(duì)數(shù)據(jù)不確定集是仿射形式的參數(shù)化魯棒最優(yōu)性問題時(shí)fi(x，·)，i∈I的凹性假設(shè)是自動(dòng)成立的.

對(duì)問題(SP)λ，令F是魯棒可行集，令Sλ為魯棒解集.令a∈Sλ且有

滿足

(3)

定義拉格朗日函數(shù)La(·，βa，ua，va)為

La(x，βa，ua，va)=

gj(x0，vj)<0，vj∈Vj，j∈J

且La(·，βa，ua，va)在Sλ上是常數(shù).

證由a∈Sλ及命題2則有：

0∈La(a，βa，ua，va)

0≤La(x，βa，ua，va)-La(a，βa，ua，va)

(4)

其中，由一個(gè)魯棒解的乘子刻畫可知最后一個(gè)等式成立.又由每一個(gè)x∈Sλ有：

因此，對(duì)每一個(gè)x∈Sλ有：

又對(duì)每一個(gè)x∈Sλ有：

因此：

又對(duì)每一個(gè)x∈Sλ有：

則La(·，βa，ua，va)在Sλ上是常數(shù).

證[?]令x∈Sλ，顯然x∈F.由乘子的刻畫可知，存在

那么，存在

使得ωa+za=0.則有：

由定理3，x∈Sλ，a∈Sλ，則有：

<ωa，x-a>≥0

(5)

(6)

由式(5)和式(6)，可得到：

<ωa，x-a>=0

(7)

<ωa，y-x>=<ωa，y-a>+

<ωa，a-x>=<ωa，y-a>≤

[?]令x∈F滿足

且存在

使得<ωa，x-a>=0.因此，由

又a∈Sλ且x∈F，則x∈Sλ.

注3 對(duì)于不確定光滑凸優(yōu)化問題的魯棒解集也有相似的乘子刻畫.