直覺模糊熵改進(jìn)的公理化定義和計算公式

鄭婉容, 鄭婷婷，張毛銀

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 合肥 230601)

0 引 言

通常情況下，現(xiàn)實世界有很多東西分類都是模棱兩可，沒有明確的界限，這樣就容易出現(xiàn)模糊性概念.Zadeh[1]的模糊集理論在1965年被提出來，它對于一些不確定性問題可以提供很多的依據(jù)；1986年，Atanassov[2]給出直覺模糊集.對于刻畫它們的不確定性，相應(yīng)的熵理論也快速發(fā)展起來.

1972年，模糊熵的公理化定義被Deluca和Termini[3]共同提出.直覺模糊熵公理化定義是由Bustince H和Burillo P[4]最早開始給出.由于這個定義的應(yīng)用不能廣泛推廣，有一定的限制，2001年，Szmidt[5]修改了這個定義，運(yùn)用幾何知識提出直覺模糊熵公式.文獻(xiàn)[6]提出一些新的相關(guān)概念，討論了已有的公理化定義存在的問題并且進(jìn)行了修改，在滿足改進(jìn)的公理化定義的基礎(chǔ)上給出一個新的直覺模糊熵公式.在文獻(xiàn)[7]中指出文獻(xiàn)[8]中公理化的缺陷，提出新的公理化定義與公式并且將其應(yīng)用到?jīng)Q策中.Ye[9]利用三角函數(shù)這個數(shù)學(xué)概念給出兩個直覺模糊熵公式，但這兩個公式所考慮的變量問題過于片面，即沒有考慮猶豫度，僅僅涉及模糊集的隸屬度和非隸屬度之間的差異，不能完整反映出直覺模糊程度.此處提出修改過的公理化定義和公式，并證明了新的公式符合修正過的公理化定義.

1 模糊熵的公理化定義

定義1[10]?A，B∈F(X)，其中F(X)為論域X上的模糊子集的全體.

映射：H：F(X)→[0，1]，則模糊集的模糊熵H滿足下面約束：

① ?x∈X，μA(x)∈{0，1}?H(A)=0；

② ?x∈X，μA(x)≡0.5?H(A)=1；

③ ?x∈X，μB(x)≤μA(x)≤0.5或

μB(x)≥μA(x)≥0.5?H(B)≤H(A)；

④ ?A∈F(X)，H(A)=H(Ac).

度量模糊集的模糊程度是采用隸屬度這個變量，為了度量直覺模糊集的模糊程度，要考慮其含有的變量基礎(chǔ)上，提出相應(yīng)的公理化定義.

2 直覺模糊熵的公理化定義

定義2[3]設(shè)X為一個集合，μA：X→[0，1]，vA：X→[0，1]，滿足：

μA(x)+νA(x)≤1，?x∈X

則稱A=(X，μA，νA)為X上的一個直覺模糊子集，且記A(x)=(μA(x)，νA(x))，其中μA(x)為元素x對A的隸屬程度，νA(x)為元素x對A的非隸屬程度.

直覺模糊集A的補(bǔ)集記為Ac，即

Ac={〈x，vA(x)，μA(x)〉|x∈X}

當(dāng)直覺模糊集A=(X，μA，νA)，滿足μA(x)+νA(x)=1，?x∈X，即A退化為Zadeh模糊集.

下面給出兩個預(yù)備知識：

在直覺模糊集A中，由于隸屬度和非隸屬度相加不等于1并且代表x對于一個A屬于或不屬于關(guān)系是確定的，現(xiàn)在想要將不等號改為等號，就需要加入一個新的變量即猶豫度使之達(dá)到平衡，該變量反映了直覺Fuzzy集的不確定性.

定義3 ?x∈X，記πA(x)=1-μA(x)-νA(x)，0≤πA(x)≤1，那么稱πA(x)為x屬于A的猶豫度.

注1直覺Fuzzy集退化成Fuzzy集的充要條件是πA(x)=0.

在直覺Fuzzy集A中，由于μA(x)和νA(x)沒有明確的大小比較，而新定義的變量即核要求是大于0的，不能為負(fù)數(shù)，所以需要加一個絕對值.

定義4?x∈X，記SA(x)=|μA(x)-νA(x)|，0≤SA(x)≤1，那么稱SA(x)為x屬于A的核.

2001年，Szmidt E和Kacprzyk J提出了直覺模糊熵的新的公理化定義.

定義5[5]設(shè)E：IFS(X)→R+為一個映射，E為IFS(X)上的熵，即有E如下：

①E(A)=0?A為分明集；

②E(A)=1??x∈X，μA(x)=νA(x)；

③ ?x∈X，當(dāng)μB(x)≤νB(x)時，有μA(x)≤μB(x)且νA(x)≥νB(x)，當(dāng)μB(x)≥νB(x)時，有μA(x)≥μB(x)且νA(x)≤νB(x)，則E(A)≤E(B)；

④E(A)=E(Ac).

注2定義5中，直覺模糊熵只采用了μA(x)和νA(x)，忽略了πA(x)，因此不予推廣.

H-Y公理化定義[8]是考慮μA(x)+νA(x)+πA(x)=1，?x∈X成立，但是由于概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性的大小，其值在0到1之間，事件確定不發(fā)生的概率是0，確定發(fā)生的概率為1，這樣就與μA(x)，νA(x)和πA(x)的概念存在著偏差，不能將兩者混淆，因此不能將這3個變量作為概率測度.

完整地考慮μA(x)，νA(x)，πA(x)這3個變量的關(guān)系，補(bǔ)充條件，提出了一個新的直覺模糊熵公理化定義：

定義6 ?A，B∈IFS(x)，稱映射E：IFS(x)→R+為IFS(X)上的熵，即E有如下性質(zhì)：

①E(A)=0?A為分明集；

②E(A)=1??xi∈X，μA(x)=νA(x)成立；

③E(A)是關(guān)于SA(x)=|μA(x)-νA(x)|的單調(diào)減函數(shù)，是關(guān)于πA(x)=1-μA(x)-νA(x)的單調(diào)增函數(shù)；

④E(A)=E(Ac).

定義6中，性質(zhì)①說明當(dāng)直覺Fuzzy集退化成普通集時，即是明確集；性質(zhì)②說明直覺模糊熵為1的充要條件是μA(x)與νA(x)沒有差值；性質(zhì)③說明直覺模糊熵是SA(x)和πA(x)函數(shù)，即πA(x)=πB(x)，SA(x)≤SB(x)時，E(A)≥E(B)；SA(x)=SB(x)，πA(x)≤πB(x)時，E(A)≤E(B).性質(zhì)④說明A與其補(bǔ)集Ac的模糊程度一樣.

3 現(xiàn)有直覺模糊熵存在的問題

魏翠萍等[12]證明出Ye[9]給出的兩個直覺模糊熵是等價的，即

證出

J1(A)=J2(A)=

(1)

由此可見式(1)只考慮μA(x)和νA(x)之間的關(guān)系，沒有考慮πA(x)，因此與直覺不符.

Burillo[13]等提出的直覺模糊熵為

(2)

式(2)與上面的式(1)相反，僅僅考慮πA(x)的變化，其模糊性沒被考慮，因此不能作為直覺模糊集的不確定性度量.

4 新的直覺模糊熵公式

定理1 設(shè)論域X={x1，x2，…，xn}，A={〈xi，μA(xi)，νA(xi)〉|xi∈X} 是X上的直覺模糊集，則定義直覺模糊熵：

證明要證明式(3)是直覺模糊熵，只需要證明該式滿足定義6的4個條件即可，令

由于0≤μA(xi)≤1，0≤νA(xi)≤1，0≤πA(xi)≤1，則可以得到：

也即

因此0≤Ei(A)≤1，得到0≤E(A)≤1.

1)若E(A)=0，由于0≤Ei(A)≤1，可以得到Ei(A)=0.

若A為分明集時，?xi∈X，有μA(xi)=1，νA(xi)=0或μA(xi)=0，νA(xi)=1，則有Ei(A)=0，即E(A)=0.

2)?xi∈X，有μA(xi)=νA(xi)，可得Ei(A)=1，即E(A)=1.

3)令SA(x)=|μA(x)-νA(x)|=x，πA(x)=1-μA(x)-νA(x)=y，其中0≤x≤1，0≤y≤1.

則E(A)關(guān)于SA(x)=|μA(x)-νA(x)|=x是單調(diào)減函數(shù)，關(guān)于πA(x)=1-μA(x)-νA(x)=y是單調(diào)增函數(shù).

4)E(Ac)=

例1 計算直覺模糊集

A1={〈xi，0.1，0.3〉|xi∈X}

A2={〈xi，0.2，0.4〉|xi∈X}

A3={〈xi，0.2，0.5〉|xi∈X}

A4={〈xi，0.4，0.3〉|xi∈X}

的直覺模糊熵.

解利用Ye提出的直覺模糊熵公式得到：

可以看出對于直覺模糊集A1和A2來說，它們的猶豫度πA1(xi)≠πA2(xi)，但J(A1)=J(A2)，顯然與直覺不符.

利用Burillo等給出的直覺模糊熵公式：

得到E(A1)=0.6，E(A2)=0.4，E(A3)=0.3，E(A4)=0.3.對于直覺模糊集A3和A4來說，E(A3)=E(A4)，可以看出忽略了μA(x)與νA(x)的差異，因此與直覺不符.

現(xiàn)在利用新的直覺模糊熵公式得到：

由此可見，在兩個直覺模糊集的核SA(x)= |μA(x)-νA(x)| 相同的時候，其猶豫度越大，說明這個直覺模糊集的模糊程度越高，則對應(yīng)的熵越大，即E(A1)

5 結(jié) 論

模糊熵本身只是簡單的考慮隸屬度和非隸屬度這兩個變量的一系列相關(guān)變化，即使這樣對于它的研究也是很艱難的.而直覺模糊集是在模糊集的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，對應(yīng)的直覺模糊熵是在模糊熵的基礎(chǔ)上又考慮了猶豫度，因此對于直覺模糊熵的深入研究變得更加深奧.多年來對于直覺模糊熵的公理化定義和公式被諸多學(xué)者所提出，由于當(dāng)時知識水平具有一定的局限性，這些定義和公式出現(xiàn)了各種各樣的不足而未能被廣泛推廣.在前人研究的基礎(chǔ)上，對已有公理化定義和公式進(jìn)行總結(jié)與修改，提出改進(jìn)的定義，同時利用數(shù)學(xué)中的正弦函數(shù)的概念提出新的公式，算例表明新的公式符合人們的認(rèn)知.