“APOS理論”指導下導數(shù)概念教學

陳偉

【摘要】 高中學生在學習導數(shù)知識時，一定要認真大量地做題以及動腦思考.因此，作為高中教師，一定要培養(yǎng)學生對導數(shù)知識的學習興趣，然而導數(shù)是數(shù)學教學中相對而言較難、較抽象的一部分內容，因此，為了更好地便于學生學習和理解，本文以“APOS理論”為指導在教學方法上創(chuàng)新，主要將“APOS理論”中的第一階段與第四階段進行重點分析，通過這種方法能夠有效地促進高中數(shù)學教師概念教學的質量和效率，輔助學生數(shù)學能力的提升.

【關鍵詞】 導數(shù);高中數(shù)學;解題方法;運用分析

一、“APOS理論”的四個階段

（一）活動階段

對此階段來說主要是將概念的引入，是在學生已經對所學的知識的內容和結構有了初期的認識，然后結合學生的實際情況，同時針對性地分析內容后建立的一種概念體系.其主要的核心是最大限度上發(fā)揮學生的主觀能動性，讓學生親身經歷，主動建構，從而對所授概念形成較直觀的理解.在實際教學中，筆者采用了游戲導入的方式：筆者指導學生通過幾張邊長為48 cm的正方形紙，去掉四個角的小正方形來制作一個長方形的紙盒，然后將截取的小正方形的邊長為變量，要學生感受隨著小正方形邊長的變化，紙盒所能承載的容積的變化.

（二）程序階段（以直觀形象增加學生對概念的理解）

該階段是概念的定義階段，是對第一階段“活動”后進行全面思考，通過一定的抽象得出概念的特有性質，從而初步形成概念的一般定義的“過程”.在學生進行第一階段的動手操作之后，筆者會讓他們思考紙盒的容積會產生什么樣的變化，最大的容積是多少？通過這些問題的設立將導數(shù)的概念加深.

高中導數(shù)數(shù)學知識具有較強的邏輯性，學生要具備一定的能力才能有效地掌握，有些時候數(shù)學題目具有較強的相似性，這就要求學生具備較強的洞察力，能夠細致認真地分析題目，避免因觀察不足而導致的錯誤，基于“APOS”理論，教師在實際教學過程中應當加強對學生觀察能力的培養(yǎng)，使學生帶著目的性對數(shù)學理論知識和題目進行分析，對觀察過程中存在的問題教師在分析過后要讓學生進行自我總結，發(fā)現(xiàn)自身不足，及時優(yōu)化整改.

（三）對象階段

該階段為概念的分析階段，是對“活動”與“過程”的升華，將抽象出的概念賦予其形式化的定義及符號，使其達到精致化，成為一個具體的“對象”，并由學生主動將其納入已有概念體系的階段.

在高中范圍內，我們所常見的導函數(shù)幾乎全部是由二次函數(shù)與一個在定義域內恒為整數(shù)或負數(shù)的其他函數(shù)相乘或相除得到的，因此，討論函數(shù)的單調性即是在討論二次函數(shù)的正負性和根的分布并對根加以判斷.在這類基礎問題上，解題步驟如下：

1.求出函數(shù)定義域并進行求導，將導函數(shù)化為可見的二次函數(shù)和在定義域內非負（或非正）的函數(shù).

2.求出二次函數(shù)判別式為0的情況并做出其根軸圖以確定區(qū)間正負.

3.從判別式小于0開始討論至等于零再至大于0.

4.在判別式大于0的區(qū)間里利用求根公式求出二次函數(shù)兩根x1，x2的值并通過韋達定理判斷二次函數(shù)圖像走向.

5.綜上所述，得出結論.

為了便于大家理解這個問題，下面這道例題即是這種方法的應用.

例題 ?已知函數(shù)f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0），討論函數(shù)f（x）的單調性.

解 ?由已知，f（x）的定義域為 R ，

f′（x）=3ax2+6x+3，令f′（x）=0，即3ax2+6x+3=0，則Δ=36（1-a）.

① 若a≥1，則Δ≤0，f′（x）≥0，∴f（x）在 R 上是遞增函數(shù);

② 因為a≠0，∴當a<1時，Δ>0，f′（x）=0，方程有兩個根，x1= -1+ 1-a? a ，x2= -1- 1-a? a ，當00，故函數(shù)在（-∞，x2）或（x1，+∞）是增函數(shù);在（x2，x1）是減函數(shù);

當a<0時，則當x∈（-∞，x1）或（x2，+∞）時，f′（x）<0，故函數(shù)在（-∞，x1）或（x2，+∞）上是減函數(shù);在（x1，x2）是增函數(shù).

（四）過程階段，體驗概念的形成過程（極值點偏移問題與構造法）

這是一類模式相對固定卻鍛煉學生觀察能力和思維能力的題目，因其所用的方法大都為構造法，因而，將這兩種方法歸為第四類.極值點偏移問題由三種具體的方法：

1.構造二次函數(shù)法.

由極值點偏移的實質筆者進行了分析，并查閱了相關資料，發(fā)現(xiàn)必定有一個頂點與原函數(shù)駐點相同，且同一個y值的兩個函數(shù)值均小于原函數(shù)函數(shù)值的二次函數(shù)，因此，我們可以考慮構造費馬二次工具：g（x）= 1 2 f″（x0）（x-x0）2+f（x0），x0即是導函數(shù)的極值點，將x0代入后，再構造h（x）=f（x）-g（x），看單調性的情況.

2.對稱構造法.

這種構造方法是同學們在練習中常用的方法，因此，在這里不多做贅述，這種方法在解決雙邊界問題的不等式證明問題上有著很顯著的優(yōu)勢.

3.構造對數(shù)均值函數(shù)法.

這類題的最優(yōu)解法也正是這種方法.具體的步驟如下：

（1）將直線與曲線方程聯(lián)立，得到兩個關于x1，x2的等式.

（2）將兩式分別相加和相減，并將所得的兩個式子進行消元，最終將兩個變量相乘變?yōu)閮蓚€變量相加或相減的形式，從而證得不等式成立.

二、結束語

以上解題方法經過了很多思考和修正，始終堅持在學習中發(fā)現(xiàn)規(guī)律和方法，這不僅有益于高中學生的學習，更有益于增加學生看待事物的方法和角度，希望高中教師能從中獲得一些啟發(fā)，為在高中導數(shù)在數(shù)學解題中能夠更好地應用.

【參考文獻】

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