開方術(shù)與多個(gè)正根方程：從“可知”到“不可知”*

段耀勇,周 暢,段壘壘,孫青輝

(1.中國人民警察大學(xué),河北 廊坊 065000;2.西安郵電大學(xué) 理學(xué)院,陜西 西安 710121;3.濟(jì)南市長清區(qū)第二實(shí)驗(yàn)中學(xué),山東 長清 250300)

0 引言

劉益之前,除趙爽勾股圓方注的二次方程是二正根外,其他所有開帶從平方和立方皆只有一個(gè)正根.劉益之后,多正根方程逐漸增多.秦九韶、李冶對(duì)于多正根方程只給出一個(gè),并給出選擇的理由.楊輝、朱世杰都注意到方程開得的兩個(gè)正根都有用,是列二次方程分別得出這兩個(gè)正根的.汪萊最先指出對(duì)秦九韶和李冶“不可知為可知”的錯(cuò)誤.從此多正根的方程即“不可知”首次進(jìn)入中算家的視野.李銳時(shí)代,則采用降階方程方法,即代開法求其他正根.隨后,華蘅芳把素?cái)?shù)的概念引入正負(fù)開方術(shù)在《開方別術(shù)》中所創(chuàng)立的數(shù)根開方術(shù),是利用素?cái)?shù)(早期譯為數(shù)根)概念給出整系數(shù)方程有理根的方法,獨(dú)具新意.[1]但是實(shí)際上就多個(gè)正根的方程而言,基于新步法的“正負(fù)開方術(shù)”是求解方便且計(jì)算效率高的方法.

1 巧合還是人為：只有一個(gè)正根的方程

1.1 開方術(shù)與高次方程的求解

開方術(shù)從一開始就是用來求解高次方程的根而產(chǎn)生的,從《九章算術(shù)》開方術(shù)開始,經(jīng)劉徽改進(jìn),之后宋元又歷經(jīng)增乘開方、立成釋鎖和增城開方并存的時(shí)期,到正負(fù)開方而趨于完善.后來,明朝和清朝初期正負(fù)開方術(shù)已無人會(huì)用,取而代之的是珠算和立成釋鎖開方.李銳時(shí)代,中算家們才重新?lián)炱鹫?fù)開方法,并對(duì)高次方程的求解問題進(jìn)行了研究得到了諸如笛卡爾符號(hào)法則、[4]韋達(dá)定理等一些方程論方面的結(jié)論.因?yàn)檫@些結(jié)論是在中國傳統(tǒng)的開方術(shù)的基礎(chǔ)上水乳交融,因此也表現(xiàn)出獨(dú)特?cái)?shù)學(xué)文化上的一種張力.

中國的開方算法開始就和解高次數(shù)字方程一體共生,基于增乘開方法,正負(fù)開方成為解高次方程的有效算法.《九章算術(shù)》開方算法已經(jīng)可以很好地解決開平方和開立方的問題,但方法略顯復(fù)雜,開立方表現(xiàn)尤為明顯.三次以上的開方問題在《九章算術(shù)》中沒有涉及.另外《九章算術(shù)》開方算法中只有一個(gè)系數(shù)均為正的開帶從方開方問題,而且沒有給出演算過程.經(jīng)過南北朝的混戰(zhàn)和短暫的隋朝后,迎來了盛唐時(shí)期,此時(shí)解決了大量的開帶從立方的問題.開方已發(fā)展到開任意次方,或者方程次數(shù)可任意高以及系數(shù)符號(hào)無限制.宋朝出現(xiàn)的“立成釋鎖”和“增乘開方法”徹底解決了這個(gè)問題,并在宋元出現(xiàn)了列出這些高次方程的簡便方法：“天元術(shù)”和“四元術(shù)”.此時(shí)的正負(fù)開方算法,是一種解決一元高次方程的一個(gè)正實(shí)數(shù)根的有效方法.

1.2 巧合還是人為：方程只有一個(gè)正根

劉益在北宋是極為重要的數(shù)學(xué)家.在楊輝于公元1274年成書《乘除通變本末》之前,劉益完成《議古根源》一書.劉益之前,所有開帶從平、立方皆只有一個(gè)正根,即幾乎所有的方程恰好只有一個(gè)正根,這不知是巧合還是人為抑或是算法本身的局限所致.隨著生產(chǎn)實(shí)踐和社會(huì)生活非常復(fù)雜,反映在與之相關(guān)的中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)里就是方程次數(shù)的提高,方程由二次變成了三次或者更高次.

《九章算術(shù)》的二次方程x2+34x=71000,其只有一個(gè)正根250,另一個(gè)根是-284.《緝古算經(jīng)》中三三個(gè)根中正根為31,另外兩個(gè)是負(fù)無理根.

劉益的書中大都是二次方程,只有一個(gè)四次方程：-5x4+52x3+128x2=4096.此方程實(shí)際上有兩個(gè)正根：一個(gè)是4,另外一個(gè)是正的無理根,劉益只給出了一個(gè)正根.當(dāng)然,若中算家想求這個(gè)正無理根,在方法上沒有問題.因?yàn)殚_方術(shù)解高次方程時(shí)不區(qū)分正的有理根和正無理根.中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)只處理方程的正根,正根分為整數(shù)、小數(shù)(或分?jǐn)?shù))和無理數(shù)三類.方程有非整數(shù)根時(shí),中國古代數(shù)學(xué)家稱之為“開根帶奇零”,方法有“命分法”“續(xù)開法”(即劉徽的“求微數(shù)”)和“之分術(shù)”三種.其中“無理根”有兩種方法,“命分法”得到無理根近似值的分?jǐn)?shù)形式,“續(xù)開法”得到無理根近似值的小數(shù)形式.對(duì)于有理根也有兩種方法,“續(xù)開法”得到“小數(shù)”形式的近似值,而“之分術(shù)”可以得到“分?jǐn)?shù)形式”的準(zhǔn)確值.[2]

對(duì)于這個(gè)有兩個(gè)正根的方程,劉益只給出了第一個(gè)正整數(shù)根.而多正根方程,這種不和諧的聲音在劉益之前就已初露端倪.

2 不和諧的聲音：兩個(gè)正根的方程

(1)趙爽二次方程求解的隱喻.三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽,在其所著的《勾股圓方圖注》中已隱含著一元二次方程有二正根及其根式解法.[3]當(dāng)然這個(gè)解法是借助幾何圖形給出的.“倍弦為廣袤合,令勾股見者自乘為實(shí),四實(shí)已減之,開其余,所得為差,以差減合,半其余為廣.”相當(dāng)于給出二次方程x2-2cx+b2=0的根式解,先開得第一個(gè)正根c-c2-b2.“減廣于倍弦,即所求(袤)也”,得另一個(gè)正根x2=2c-x1=c+c2-b2.此類有兩個(gè)正根的二次方程,是借助開方術(shù)先求出一個(gè),再利用兩根間的關(guān)系算出另一個(gè).趙爽并沒有意識(shí)到這兩個(gè)根屬于同一個(gè)方程.劉益之后,多正根方程逐漸增多.

(2)劉益與楊輝的視而不見.北宋數(shù)學(xué)家劉益的《議古根源》中有兩個(gè)題目：-x2+60x=864和-x2+60x=864.兩者實(shí)際上是一個(gè)題目,劉益分別采用“益積術(shù)”和“翻積法”將他們看作兩個(gè)方程,分別得到正根24和36.這里,同一個(gè)二次方程可以有兩個(gè)正根的結(jié)論顯而易見,但鑒于中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的特點(diǎn)以及中國用開方術(shù)解方程的獨(dú)特性,這樣的結(jié)論就不那么顯然了.這兩個(gè)題目見于楊輝的《田畝比類乘除捷法》,所以楊輝對(duì)此問題的認(rèn)識(shí)同于劉益,對(duì)于一個(gè)二次方程兩個(gè)正根,要處理成兩個(gè)題目并用不同的開方技巧分別求出來.

(3)秦九韶和李冶的不選之擇.南宋數(shù)學(xué)家秦九韶《數(shù)書九章》中的 “尖田求積”題目中處理了一個(gè)四次方程,并用正負(fù)開方術(shù)求得此方程的一個(gè)正根840.實(shí)際上-x4+763200x2-40642560000=0有四個(gè)實(shí)數(shù)根,即±240和±840.此題也可以通過試得第一位商為200,用正負(fù)開方術(shù)得到第二個(gè)正根240,此根不符合題意,但秦九韶并未對(duì)其選擇840的原因做出過解釋,或者沒有意識(shí)到有兩個(gè)正根.同樣的,李冶《測(cè)圓海鏡》卷三第五問的方程x3-336x2+5184x+2488320=0,有兩個(gè)正根,即“半徑”為120和288,但是李冶只給出“直徑”值為240的答案.實(shí)際上此解三次方程的三個(gè)根分別是x1=120,x2=288,x3=-72.

至此,中算家只關(guān)注高次方程的一個(gè)正根已成為現(xiàn)實(shí).清朝的數(shù)學(xué)家孔廣森對(duì)一個(gè)根的方程進(jìn)行了分類研究,他對(duì)3次方程和4次方程進(jìn)行了歸納,他給出的13種形式是有正根的三次方程的全部形式,無重復(fù)無遺漏.所有方程都有一個(gè)正根12,可見上述工作是構(gòu)造性的工作,是理論研究的結(jié)果.類似的還羅列出了4次方程的情形,也是只有一個(gè)正根的方程,這些方程都是用“立成釋鎖”求解的.

3 開方術(shù)的困境：多正根方程

中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的開方和解數(shù)值方程是同一個(gè)問題.開方nA,即求解xn=A,開帶從方即求高次方程a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+an=0,a0≠0,an＜0的數(shù)值解.求這兩類方程的數(shù)值解的開方法和開帶從方法,由《九章算術(shù)》的傳統(tǒng)開方經(jīng)過“立成釋鎖”,最終發(fā)展為一種很有效的增乘開方法.但是,因?yàn)橹袊鴤鹘y(tǒng)數(shù)學(xué)更加強(qiáng)調(diào)其實(shí)用性,這種方法求解高次方程時(shí)有很大的局限性,增乘開方法出現(xiàn)之前這種情況更加突出.通常只求高次方程的一個(gè)正數(shù)根,遇到正無理根就用“命分法”或“求微數(shù)”的方法求出其近似值.另外,盡管中國負(fù)數(shù)的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用是最早的,可是解方程卻一直局限于求一個(gè)正根,沒有考慮過負(fù)根,也沒有討論過方程根的個(gè)數(shù)和次數(shù)的關(guān)系以及根和系數(shù)的關(guān)系.

《議古根源》中相鄰兩個(gè)問題的答案剛好就是同一個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根,可惜的是劉益和楊輝都沒有注意到這一點(diǎn).也正是這種局限,使中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的方程論知識(shí)發(fā)展緩慢,直到清朝中期,汪萊才將有一個(gè)正根的方程稱為“可知”,有多個(gè)正根的方程稱為“不可知”,有一正根或多個(gè)正根者稱為“可知”或“不可知”,才取得了一些成果.此時(shí),多個(gè)正根的方程的多個(gè)正根才進(jìn)入了中算家的視野.在《衡齋算學(xué)》第二冊(cè)中,汪萊指出了有兩個(gè)根的三次方程.汪萊以此為起點(diǎn),指出x(p-x)2=q,p＞0,q＞0,0＜x＜p有兩個(gè)符合題意的正根,而且這一發(fā)現(xiàn)成為清朝開始研究方程的起點(diǎn).

從可知到不可知.汪萊是第一個(gè)認(rèn)識(shí)到高次方程不止只有一個(gè)正根事實(shí)的人,這在中國數(shù)學(xué)史上是個(gè)突破.通過對(duì)秦九韶《數(shù)書九章》和李冶《測(cè)圓海鏡》的研究,汪萊指出了秦九韶和李冶“以不可知為可知”的錯(cuò)誤.之后,汪萊討論了有實(shí)根的二次方程和三次方程正根的個(gè)數(shù)問題,無正根的情況不討論.其研究成果在《衡齋算學(xué)》第五冊(cè)中,書中按照方程的系數(shù)分類共列舉了96條.他指出有實(shí)根的二次方程和三次方程共23個(gè),16個(gè)有正根,無重復(fù)無遺漏.其中可知者9個(gè),可知或不可知者1個(gè),不可知者6個(gè).如他給出a,b,c,d＞0時(shí),ax3-bx2-cx-d=0可知,即有一正根;ax3-bx2+cx-d=0可知或不可知,即有一正根或多個(gè)正根;ax3-bx2+cx+d=0不可知,即無正根.這16個(gè)方程對(duì)二次和三次方程來說,無重復(fù)無遺漏.

認(rèn)識(shí)到高次方程可能有多個(gè)正根,無疑在中國數(shù)學(xué)史上是個(gè)突破.但是對(duì)于不可知方程,如何求出這多個(gè)正根,對(duì)用開方術(shù)解方程來求解高次方程的中算家來說是個(gè)巨大的挑戰(zhàn).此前中國古代所有的高次方程也只求出了一個(gè)正根,這些高次方程包括可知方程和不可知方程,但在基礎(chǔ)上如何求出不可知方程其他正根就是很大的問題了.

4 創(chuàng)新的局限：“代開”與“別術(shù)”

由于大多數(shù)方程都具有實(shí)際背景,所以中國古代解方程往往以得出一個(gè)正根即告完成,對(duì)于方程多根、正根則疏于討論,汪萊在研讀宋元算書時(shí)最先發(fā)現(xiàn)了這個(gè)問題.秦九韶的《數(shù)書九章》和李冶的《測(cè)圓海鏡》中許多題目都不止一個(gè)正根.前文已論.宋元時(shí)期創(chuàng)立了正負(fù)開方術(shù)原只用于求解方程的一個(gè)正根.汪萊和李銳通過新發(fā)現(xiàn)進(jìn)一步促進(jìn)了正負(fù)開方術(shù)的發(fā)展,其中李銳的代開法和華蘅芳的數(shù)根開方法就是代表.李銳用降階方程求其他正根,計(jì)算簡單,但思維負(fù)擔(dān)重且不易操作.后來華蘅芳利用素?cái)?shù)的概念創(chuàng)立“開方別術(shù)”求解很有特色,如果正根不是整數(shù),諸如是無理數(shù)根和分?jǐn)?shù)根時(shí)此方法失效,文章不論此法.

李銳代開法.李銳代開法分為“寄位代開”和“較數(shù)代開”兩種.其方法是在求得方程的一根后以遞降一階的方程求原方程的其余實(shí)根,這里介紹一下“較數(shù)代開”法.

較數(shù)代開法曰：“以本乘方先開一數(shù).訖,變之,以遞降一乘代開之,所得為較數(shù),以較數(shù)加減(同名加,異名減).先得數(shù)為又一數(shù),”并釋在下,“凡立方可開三數(shù),先開一數(shù),訖.變之,驗(yàn)其所變之?dāng)?shù),若可開二數(shù)則先開數(shù)為第一數(shù),若可開一數(shù)則先開數(shù)為第二數(shù),若無數(shù)可開,(謂無正數(shù)可開),則先開數(shù)為第三數(shù).他皆仿此.”[5]

對(duì)于方程x3-151x2+2838x-14040=0,[6]求得130、12、9三個(gè)正根為例.首先估得初商100,即,此時(shí)開得第一個(gè)根的第一位數(shù)為100.

1 -151 2838-14040 100 100 -5100-226200 1 -51 -2262-240240 100 4900 1 49 2638 100 1 149

即f(x)=(x-100)3+149(x-100)2+2638(x-100)-240240=0.繼續(xù)開方商得第一個(gè)根的第二位30.

1 149 2638-240240 30 30 5370 240240 1 179 8008 0

即(x-130)((x-100)2+179(x-100)+8008)=0,后面繼續(xù)計(jì)算：

1 149 2638-240240 30 30 5370 240240 1 179 8008 0 30 6270 1 209 14278 30 1 239

可得f(x)關(guān)于(x-130)展開式即(x-130)3+239(x-130)2+14278(x-130)=0,此時(shí),已經(jīng)得到了方程的第一個(gè)根130.

對(duì)于(x-130)2+239(x-130)1+14278=0,令y=x-103,得y2+239y2+14278=0.開方：

1 239 14278 -100-100-13900 1 139 378-100 1 39 1 39 378 -10-10 -290 1 29 88-10 1 19 1 19 88 -8-8 -88 1 11 0-8 1 3

可得(y+118)2+3(y+118)=0,即(y+118)(y+118+3)=(x-130+118)((x-12)+3)=0

于是可得方程的另外兩個(gè)根12和9,其中-118和-3稱為較數(shù).代開法的建立,使得正負(fù)開方術(shù)成為求解方程實(shí)根的一般方法,與寄位代開相比,較數(shù)代開更為簡明.

5 回歸與出路：正負(fù)開方術(shù)求解多個(gè)正根的方法

正負(fù)開方是一種解決一元高次方程的一個(gè)正實(shí)數(shù)根的有效方法,但在李銳前沒有求多個(gè)正根的方程的方法.李銳“代開法”之前需要步根,即步法“凡平方可以開兩數(shù)者,以正商步負(fù)實(shí),得第一數(shù),小數(shù)也.以負(fù)隅步正方得第二數(shù),大數(shù)也.立方可開三數(shù)者,以正方步負(fù)實(shí),得第一數(shù),小數(shù).以負(fù)廉步正方,得第二數(shù),中數(shù).以正隅步負(fù)廉,得第三數(shù),大數(shù).它皆仿此.”[3]此“步法”是用來估計(jì)正根位數(shù)和兼估商(第一位)的作用,在此基礎(chǔ)上李銳用“代開法”求出這多個(gè)正根.既然已經(jīng)步出了方程正根的個(gè)數(shù)和每一個(gè)根的第一位數(shù),用“正負(fù)開方術(shù)”是求解方便且計(jì)算效率高的方法.下面以有兩個(gè)正根的二次方程來說明這種方法的操作流程.

對(duì)于x2-60x+864=0,顯然x1=24,x2=36.利用李銳的“步法”,即“隅步廉”得大正根36,“廉步實(shí)”得小正根24.

從上面李銳的兩個(gè)例子也不難看出,這種方法具有一般性,所以他說：“它皆仿此.”即在開方式當(dāng)中,自最下面的“隅”開始,從下至上用xn的系數(shù)“步”xn-1的系數(shù)開方：x的系數(shù)“步”x0=1(常數(shù))的系數(shù)得最小的正根,x2的系數(shù)“步”x1的系數(shù)得次最小的正根,依次類推.

李銳以前都是用“方步實(shí)”,所以對(duì)于只有一個(gè)正根的方程沒有問題,多個(gè)正根的方程只會(huì)得到那個(gè)相比而言最小的正根.李銳的“步法”為多個(gè)正根方程提供了用“正負(fù)開方術(shù)”求解的方法,盡管其本意是用步法來確定方程根的位數(shù)以及第一位數(shù)值.

綜前所述,李銳所給的“步算”算例,開方只有一步,盡管有大小不同的根,但是只是在說明“步法”,即用“正負(fù)開方術(shù)”進(jìn)行演算驗(yàn)證.這里“步法”的作用有兩個(gè)：其一,估計(jì)正根的位數(shù),是一位根還是多位根;其二,兼有估商的作用.但是,李銳的“代開法”無論是“寄位代開”還是“較數(shù)代開”,都不是特別簡單,計(jì)算效率并不高,需要用“步法”討論根的個(gè)數(shù)及其初商的大小.既然得到了每個(gè)正根的初商,直接用正負(fù)開方求得各個(gè)正根,反而更加簡單和有效.