換元法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

劉霏芃

摘 要：換元法是高中數(shù)學(xué)習(xí)題解答中的重要方法之一，能夠?qū)⒁恍?fù)雜的問題通過換元進(jìn)行簡單化處理，將非標(biāo)準(zhǔn)的問題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)化問題，促進(jìn)問題的解答。

關(guān)鍵詞：換元法；高中數(shù)學(xué)；解題；應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)具有大量的題目與試題類型，在解答過程中應(yīng)當(dāng)充分運(yùn)用合理的思想與方法，對(duì)題目進(jìn)行簡單化與標(biāo)準(zhǔn)化處理，在解題過程中經(jīng)常使用到的數(shù)學(xué)方法之一是換元法，在方程、不等式以及函數(shù)等問題解答過程中具有較為廣泛的運(yùn)用。

換元法的運(yùn)用豐富了高中數(shù)學(xué)解題思想，積極為學(xué)生提供了多種解題角度，能夠幫助同學(xué)們對(duì)題目中的各項(xiàng)條件進(jìn)行有效梳理，下文介紹了換元法在三角函數(shù)解題中的運(yùn)用，在復(fù)合函數(shù)中運(yùn)用換元法，運(yùn)用整體換元法解題，在不等式解題中運(yùn)用換元法等，充分探討了換元法在高中數(shù)學(xué)解題中的各種運(yùn)用方式。

1換元法在三角函數(shù)解題中的運(yùn)用

在三角函數(shù)的解題過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將代數(shù)關(guān)系式代入到三角函數(shù)之中進(jìn)行解答，對(duì)三角函數(shù)中的余角、同角、補(bǔ)角等關(guān)系進(jìn)行分析，同時(shí)充分利用asinx+bcosx=[a2+b2]sin（x+[φ]），由a與b共同確定[φ]角數(shù)值，其中a與b都是一種非零實(shí)數(shù)，已知有tan[φ]=[ba]。

例題1：假設(shè)現(xiàn)有實(shí)數(shù)a、b之間滿足關(guān)系式a2+b2-ab=1，那么a2-b2的取值范圍是多少？

解題分析：利用換元法，假設(shè)a=[ρ]cosθ，b=[ρ]sinθ，以此替換原方程式中的a與b，能夠得出（[ρ]cosθ）2+（[ρ]sinθ）2-[ρ]sinθ·[ρ]cosθ=1，對(duì)其進(jìn)行化簡處理，能夠得出[ρ]2=[22-sin2θ]，進(jìn)一步得出a2-b2=[22-sin2θ]。此時(shí)把[22-sin2θ]設(shè)定為常數(shù)，把h代入到公式之中能夠得出hsin2θ+cos2θ=2h，通過已知條件能夠得出tanθ=[1h]，θ的取值范圍在0-2[π]。

之后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)能夠得到-1≤[2hh2+1]≤1，對(duì)其進(jìn)行求解能夠得出h的取值范圍在-[33≤h≤33]，結(jié)合h值與a2-b2數(shù)值之間的關(guān)系能夠得出-[233≤]x2-y2[≤233]，最終得出本題答案。三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要模塊，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中容易出現(xiàn)概念上的混亂，給解題帶來干擾，通過換元法的運(yùn)用能夠有助于同學(xué)們樹立三角函數(shù)概念，從而正確解題。

2在復(fù)合函數(shù)中運(yùn)用換元法

復(fù)合函數(shù)是高中函數(shù)體系中難度較大的知識(shí)點(diǎn)，在高考選擇題或者天空題中都有體現(xiàn)，在復(fù)合函數(shù)的解題過程中運(yùn)用換元法能夠達(dá)到事半功倍的效果。

例題2：現(xiàn)已知具有函數(shù)f（x），當(dāng)x<0的情況下，具有f（x）=3x-2這一表達(dá)式，當(dāng)x>0的情況下，具有f（x）=2x這一表達(dá)式，求解為了得到f（x）≥1，x在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的取值包括哪些？

解題分析：此題可以使用換元法進(jìn)行求解，當(dāng)x>0的情況下，假設(shè)t=3x-2，能夠得出t≥1，以t=2x進(jìn)行計(jì)算能夠更為快捷地得到答案。在計(jì)算過程中可以引入圖像，能夠?qū)︻}目中的概念進(jìn)行更為直接地展示，在直角坐標(biāo)系之中更加方便各項(xiàng)題目的解答，要求充分結(jié)合x與t之間的關(guān)系來進(jìn)行構(gòu)圖。

在函數(shù)值的解題過程中，通過新元的構(gòu)建與代換，能夠充分而有效地分析出題目中各個(gè)復(fù)雜變量之間的關(guān)系，將各個(gè)不明朗的關(guān)系進(jìn)行清晰而直觀地展示，簡化解題步驟，縮小取值范圍，為題目解答提供了 一種新的解題思路，能夠比較快速地求解出函數(shù)最值問題等。

3運(yùn)用整體換元法解題

例題3：現(xiàn)假設(shè)已知有x與y值滿足，x2+y2-2x+2y+1=0，那么[y+2x+2]的取值范圍是多少？

解題分析：對(duì)題目條件進(jìn)行分析可以看出可以把點(diǎn)P看作是圓上的一點(diǎn)，符合（x-1）2+（y+1）2=1的條件，現(xiàn)在假設(shè)k=[y+2x+2]，那么可以把這一題目進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化，求解直線y=k（x+2）-2與圓之間是否具有公共交點(diǎn)，有幾個(gè)，此即是k值的取值范圍。

通過直線與圓之間交點(diǎn)的問題的轉(zhuǎn)化，能夠看出圓心（1，-1）和直線之間的距離位置d=k=[k+1+2k-21+2k]≤1，能夠求得4k2-3k≤0，對(duì)其求解能夠得出0≤k≤[34]，因此最終得出的范圍在[0，[ 34]]。

在這一解題過程中充分運(yùn)用了整體換元的方法，將k值整體換作了[y-2x+2]，從而豐富了解題思路，將其轉(zhuǎn)化為直線與圓之間的關(guān)系，將其代入到圓的方程式之中進(jìn)行計(jì)算，同時(shí)綜合利用直線斜率、三角函數(shù)知識(shí)以及幾何知識(shí)等進(jìn)行解題，利用三角函數(shù)的有界性進(jìn)行解題構(gòu)造出一個(gè)關(guān)于k的不等式從而最終得出本題的答案。

4在不等式解題中運(yùn)用換元法

不等式證明與解答問題是高中數(shù)學(xué)重要的應(yīng)用模塊，采用換元法可以對(duì)題目進(jìn)行新元替換，幫助同學(xué)們梳理解題思路，從而達(dá)到更為效率地解題。

例題4：現(xiàn)有[（x-1）29]+[（y+1）216]=1，不等式x+y-k>0這一條件始終成立，那么k值的取值范圍是什么（ ）？

解題分析：在這一不等式的解答過程中，教師可以引入一些新的變量，將題目中的條件進(jìn)行充分顯現(xiàn)出來，構(gòu)建新的不等式關(guān)系，首先采用換元法，假設(shè)[x-13=cosα]，同時(shí)[y+14]=[sinα]，由此能夠得到x=1+3cosa，y=-a+cosa值，把這這兩個(gè)不等式均代入到x+y-k>0之中，能夠計(jì)算出3cosa+4sina-k>0，由此能夠得出3cosa+4sina=5sin（a+[φ]），5sin（a+[φ]）>0，對(duì)其進(jìn)行求解，得出k<-5，不等式恒成立。在具體的解答過程中通過換元法構(gòu)建出新的不等式關(guān)系，簡化了解題思路，有效促進(jìn)了解題方式的簡便化。是對(duì)不等式問題解答的重要突破口，提供了一種新的有效解題方法。

5結(jié)束語

在數(shù)學(xué)題目的解答過程中應(yīng)當(dāng)通過題目的設(shè)置充分分析題目中所運(yùn)用到的是數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法，運(yùn)用正確的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行解題，換元法的運(yùn)用能夠?qū)?shù)學(xué)解題達(dá)到事半功倍的效果，要求學(xué)生對(duì)此能夠靈活掌握。

參考文獻(xiàn)

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