溝通數(shù)學(xué)表征和本質(zhì)聯(lián)系，促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展

李輝

摘 要 雞兔同籠的教學(xué)設(shè)計普遍存在以下問題：沒有實(shí)現(xiàn)表征的貫通；沒有凸顯插值法的數(shù)學(xué)本質(zhì)。為了解決以上問題，筆者提出了以下解決方案，即理解假設(shè)法這一模式，而不在練習(xí)，核心思想的就是建立直觀表征和算式表征的貫通，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識，更好理解數(shù)學(xué)本質(zhì)。

關(guān)鍵詞 雞兔同籠 表征貫通 數(shù)學(xué)本質(zhì)

1問題提出

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 版）》第一次獨(dú)立、明確地提出了“數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)”，“雞兔同籠”就是流傳至今的數(shù)學(xué)名題，就具有這樣典型的特點(diǎn)：綜合性、實(shí)踐性和趣味性。

人教版把這一教學(xué)內(nèi)容安排在小學(xué)數(shù)學(xué)四年級的“數(shù)學(xué)廣角”中，此時學(xué)生還沒有接觸過方程，所以只能用四則運(yùn)算的方法來解決， 這種計算簡單的方法往往需要付出邏輯思維的代價?！半u兔同籠”問題解決的過程， 教材呈現(xiàn)了三個層次“ 猜測—列表枚舉—列式解答”。 教學(xué)中，也是讓學(xué)生經(jīng)歷這三個層次的過程：（1）大膽猜測，小心求證；（2）化繁為簡，建立模型；（3）拓展應(yīng)用，鞏固模型。但在列表法和假設(shè)法的學(xué)生自主討時，無論學(xué)生的總結(jié)還是教師的引導(dǎo)，學(xué)生難以從根本上溝通兩者的聯(lián)系，除了做題，我們還有什么收獲？教師一下子把算式給了出來，學(xué)生還討論什么呢？這樣的課堂，學(xué)生又能夠感悟出什么數(shù)學(xué)思想呢？

2常規(guī)教學(xué)存在的問題

案例1：雞兔放在同一個籠子里，數(shù)頭 8 個，數(shù)腿 26 條。有幾只雞？幾只兔？

生1：我先畫8個頭，然后每個頭添上兩只腳代表是8只雞，然后多余的腳每個兩只加上去，發(fā)現(xiàn)只有16條腿，還差了10條腿。

師：為什么每個圖上加兩只？

生：因?yàn)橥米佑兴闹荒_，而雞只有兩只腳，所以每個要給它加上兩只。就知道是5只兔子，3只雞。如下圖：

師：你們聽明白了嗎？

生：聽明白了。

畫圖的實(shí)質(zhì)是假設(shè)，只是比直接假設(shè)列式增加了比較直觀的示意圖。往往教師在學(xué)生畫圖嘗試之后，就把列表的方法舉例了，錯失了畫圖和假設(shè)法的第一次橫向溝通，學(xué)生也少了對假設(shè)這種方法的感悟。

在列表法中，基本都是常規(guī)的的逐一列舉，好處是有利于學(xué)生的理解，對于“雞增加一只，兔減少一只，腿減少兩條”，或者“兔增加一只，雞減少一只，腿增加兩條”有規(guī)律上的發(fā)現(xiàn)，能夠進(jìn)行簡單推理，培養(yǎng)了學(xué)生用列表法解決問題的策略。缺點(diǎn)是一一列舉真的有必要嗎？特別是找到符合條件的一組數(shù)之后的列舉。

當(dāng)過渡到列算式環(huán)節(jié)，學(xué)生沒有很好溝通這三種方法之間的聯(lián)系時，要么列不出算式，要么列出而不知道如何理解假設(shè)法的生成過程。

案例2：學(xué)生接著進(jìn)行嘗試探究，呈現(xiàn)出如下結(jié)果，師生進(jìn)行討論、交流。

師：表格你們能看懂嗎？下面我請這位同學(xué)來解釋一下

生：我是先有8只雞，腳有16只，然后是有7只雞1只兔子，有18只腳；有兩只兔子6只雞，有20只腳：有5只雞，3只兔子，那時一共有22只腳；找到了雞3只兔5只的時候，它們倆有26只腳

師：符合題目的條件，所以你確定雞3只，兔5只，對嗎？

生：對。

師：有沒有理解？同學(xué)們來看這張表格，從中我們能看出怎樣的規(guī)律？

生：減少一只雞，增加一只兔，增加兩只腳，

師：是的，減少一只雞，增加一只兔，增加兩只腳，那剛才我們使用列表的方法來解決這個問題。

通過表格的呈現(xiàn)，老師會讓學(xué)生來講評這種方法，學(xué)生通過表格得到了直觀結(jié)果，在討論的同時，發(fā)現(xiàn)雞和兔的腿數(shù)變化規(guī)律，進(jìn)而為下一步畫圖法的理解做好鋪墊。

3教學(xué)建議

3.1列表法進(jìn)行教學(xué)再優(yōu)化

“雞兔同籠”這個題材，不是為了解決雞兔同籠問題的本身，而是要借助雞兔同籠這個載體，讓學(xué)生經(jīng)歷列表、嘗試和不斷調(diào)整的過程，從中體會出解決問題的一般策略——列表。

對列表法進(jìn)行優(yōu)化，更好的為后面的假設(shè)法服務(wù)，就要從源頭探究，列表法的列舉過程，實(shí)際就是假設(shè)的過程，在這一過程中，數(shù)據(jù)的呈現(xiàn)是否要一一列舉出來呢？答案是否定的。

3.2凸顯假設(shè)法的作用

《雞兔同籠》的教學(xué)中，需要學(xué)生達(dá)到的目標(biāo)是什么？這個授課老師必須要清楚，第一節(jié)課關(guān)鍵是理解雞和兔的腳數(shù)變換的這個道理，理解假設(shè)法的模式，理解方法是重點(diǎn)，而不在練習(xí)。

實(shí)踐表明，由畫圖導(dǎo)出推算，同時借助直觀說明推算過程中每一步的意思，不同層次的學(xué)生都能理解，是講解推算過程的一條捷徑?！凹僭O(shè)——修正假設(shè)——得到正確結(jié)論”的探究思路，深入淺出，能夠真正溝通了畫圖、推算和列表的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)生能理解，能應(yīng)用，效果明顯。

參考文獻(xiàn)

[1] 李小麗.《雞兔同籠》教學(xué)設(shè)計[J].小學(xué)教學(xué)設(shè)計（數(shù)學(xué)），2015（02）.

[2] 熊斌.從“雞兔同籠”的教學(xué)設(shè)計談數(shù)學(xué)思想的滲透[J].教育科學(xué)，2016（07）.

[3] 張莉，羅燕，李昌勇.“雞兔同籠”問題的研究綜述[J].中國校外教育：下旬，2017（03）：53-54.