在“已有知識(shí)”的土壤中生根發(fā)芽

嚴(yán)婷 劉錫光

【摘?要】?基于建構(gòu)學(xué)習(xí)理論，對(duì)學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)及其對(duì)學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)可能產(chǎn)生影響的因素進(jìn)行分析，并以此為基礎(chǔ)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，旨在希望學(xué)生能在探究和交流合作中，將任意角三角函數(shù)的概念順利地納入原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中，進(jìn)一步完善知識(shí)體系，真正達(dá)到高效的理解學(xué)習(xí).

【關(guān)鍵詞】?建構(gòu)理論;任意角;三角函數(shù);教學(xué)設(shè)計(jì)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017）》指出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)以學(xué)生發(fā)展為本，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí)，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)[1].”同時(shí)，在高中數(shù)學(xué)課程基本理念中提到：高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)[1].這與建構(gòu)學(xué)習(xí)理論提倡情境教學(xué)的思想是相一致的.由于高中生通過初中階段的學(xué)習(xí)已經(jīng)積累了一定的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，所以在教學(xué)上應(yīng)該給予他們更多學(xué)習(xí)上的自主權(quán)，鼓勵(lì)學(xué)生采用獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等多種方式進(jìn)行學(xué)習(xí)，從而促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).這也正好與建構(gòu)學(xué)習(xí)理論主張“學(xué)習(xí)是學(xué)生自己主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)的過程”相吻合.基于此，本文在建構(gòu)學(xué)習(xí)理論的指導(dǎo)下對(duì)高中數(shù)學(xué)“任意角的三角函數(shù)”的課堂教學(xué)進(jìn)行了如下設(shè)計(jì).

1?建構(gòu)學(xué)習(xí)理論的教學(xué)要義

建構(gòu)學(xué)習(xí)理論認(rèn)為知識(shí)只是一種假設(shè)，一種解釋，并不是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的準(zhǔn)確表征.同樣地，課本知識(shí)也只是關(guān)于各種現(xiàn)象較為可靠的假設(shè)，而不是解釋現(xiàn)實(shí)的唯一“模板”，所以在教學(xué)中要鼓勵(lì)學(xué)生探究性地學(xué)習(xí)和發(fā)現(xiàn)課本知識(shí).同時(shí)，知識(shí)的獲得也是基于學(xué)習(xí)者個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)背景而建構(gòu)起來的，它取決于學(xué)習(xí)者在特定情境下的學(xué)習(xí)歷程，需要針對(duì)具體情境進(jìn)行再創(chuàng)造.因此，在教學(xué)中，教師不能把知識(shí)作為預(yù)先決定了的東西強(qiáng)塞給學(xué)生，而應(yīng)該讓學(xué)生以自身的經(jīng)驗(yàn)為背景來分析、檢驗(yàn)知識(shí)的合理性，進(jìn)而吸收、理解知識(shí)，由此通過同化和順應(yīng)學(xué)習(xí)來調(diào)整和改變學(xué)習(xí)者的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

建構(gòu)學(xué)習(xí)理論強(qiáng)調(diào)，學(xué)生并不是空著腦袋走進(jìn)教室的，教師的教學(xué)不能無視學(xué)習(xí)者原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，簡(jiǎn)單地從外部對(duì)學(xué)習(xí)者進(jìn)行知識(shí)的灌輸，而應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中“生長(zhǎng)”出新的知識(shí)經(jīng)驗(yàn).教學(xué)中還要重視師生之間，生生之間的相互合作，并針對(duì)問題進(jìn)行探索、交流和質(zhì)疑.

建構(gòu)學(xué)習(xí)理論也強(qiáng)調(diào)教學(xué)不是知識(shí)的傳遞，而應(yīng)該是以學(xué)生為中心，創(chuàng)設(shè)一定的環(huán)境，讓學(xué)習(xí)者在主動(dòng)探索、主動(dòng)發(fā)現(xiàn)中主動(dòng)地建構(gòu)知識(shí)意義的過程.

因此，在建構(gòu)學(xué)習(xí)理論指導(dǎo)下的教學(xué)過程應(yīng)包含知識(shí)回顧、問題引路，分步建構(gòu)、同化順應(yīng)，理解新知、小結(jié)與反思等幾個(gè)基本環(huán)節(jié).

2?內(nèi)容解析

本節(jié)課是人教A版 《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)（必修4）》（以下統(tǒng)稱“教材”）第一章第二節(jié)的第1課時(shí)，任意角的三角函數(shù)不僅是繼任意角、弧度制后的又一重要概念，也是本章其他內(nèi)容的出發(fā)點(diǎn)，具有承前啟后的作用.學(xué)習(xí)它不僅能深化函數(shù)的概念，同時(shí)也能為后續(xù)學(xué)習(xí)平面向量、斜率、極坐標(biāo)與參數(shù)方程等內(nèi)容奠定基礎(chǔ).

任意角的三角函數(shù)是基本初等函數(shù)中的一種特殊函數(shù)，它是刻畫客觀世界周期變化的一種數(shù)學(xué)模型.它不僅具有一般函數(shù)的特性，還有其自身特有的性質(zhì)——周期性.因此，在教學(xué)中要注意突出這兩方面的性質(zhì).另外，雖然初中學(xué)過了銳角三角函數(shù)，但不能把任意角的三角函數(shù)看作是其簡(jiǎn)單的擴(kuò)充.在教學(xué)中，要讓學(xué)生真正理解這兩個(gè)概念本質(zhì)上的異同.

3?目標(biāo)制定

由于學(xué)生是在剛學(xué)完弧度制后學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容，對(duì)弧度制引入的意義理解還不夠透徹，所以讓學(xué)生在一課時(shí)里理解任意角三角函數(shù)的定義比較困難.另外，引入單位圓定義三角函數(shù)的優(yōu)勢(shì)，學(xué)生要在后續(xù)的學(xué)習(xí)中才能進(jìn)一步體會(huì)到.因此，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)制定如下：

（1）能在直角坐標(biāo)系中用角的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)表示任意角的三角函數(shù);

（2）知道任意角的三角函數(shù)的定義及其三要素;

（3）能根據(jù)角所在象限判斷三角函數(shù)值的符號(hào);

（4）在借助單位圓認(rèn)識(shí)任意角三角函數(shù)的定義過程中，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想，并能初步解決相應(yīng)問題.

4?學(xué)情分析

建構(gòu)學(xué)習(xí)理論強(qiáng)調(diào)教師應(yīng)以學(xué)生已有知識(shí)結(jié)構(gòu)為“生長(zhǎng)點(diǎn)”，引導(dǎo)學(xué)生將新知納入原有的知識(shí)體系中.因此，教師不僅要了解教學(xué)內(nèi)容，還要掌握學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)及學(xué)習(xí)中可能遇到的困難，從而采取有效方法引導(dǎo)學(xué)生順利建構(gòu)新知.

對(duì)于本節(jié)內(nèi)容，學(xué)生已有知識(shí)結(jié)構(gòu)與新知的關(guān)系如下：

通過以上的學(xué)情分析，將本節(jié)課的教學(xué)重、難點(diǎn)確定如下：

（1）教學(xué)重點(diǎn)

① 任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)的定義;

② 任意角三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系.

⑵ 教學(xué)難點(diǎn)

① 單位圓的引入;

② 用單位圓與角終邊交點(diǎn)的坐標(biāo)表示任意角三角函數(shù);

③理解任意角三角函數(shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集.

5?教學(xué)過程

⑴ 回顧舊知，引入新課

問題1?上節(jié)課學(xué)習(xí)了任意角，任意角在你頭腦中給你留下最深的特點(diǎn)是什么？

生：把任意角放在直角坐標(biāo)系中可以看到一種周而復(fù)始的現(xiàn)象.

教師用幾何畫板演示角終邊的轉(zhuǎn)動(dòng)（如圖1），并點(diǎn)出：任意角可看作由終邊旋轉(zhuǎn)生成，角終邊上的點(diǎn)會(huì)繞著頂點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng).

設(shè)計(jì)意圖?溫故知新，通過幾何畫板演示，讓學(xué)生建立任意角與圓、直角坐標(biāo)系間的聯(lián)系，為后續(xù)探究奠定基礎(chǔ).另外，演示時(shí)還應(yīng)提醒學(xué)生注意課本中任意角的標(biāo)法是錯(cuò)誤的，因?yàn)槿我饨遣荒軜?biāo)方向和大小，正確標(biāo)法應(yīng)將角α標(biāo)在終邊外面[2].

問題2?你能舉出生活中的一些圓周運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象嗎？

問題3?圓周運(yùn)動(dòng)是生活中一種非常重要的運(yùn)動(dòng)，而函數(shù)又是刻畫運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的一種重要數(shù)學(xué)模型，那圓周運(yùn)動(dòng)又應(yīng)該用怎樣的函數(shù)來刻畫呢？

設(shè)計(jì)意圖?通過列舉生活中的圓周運(yùn)動(dòng)，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來源于生活以及學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)的必要性并引出本節(jié)課的主題.

⑵ 問題引路，分步建構(gòu)

問題4??① 如果要用函數(shù)來刻畫圓周運(yùn)動(dòng)，那函數(shù)研究的對(duì)象是什么？

② 圓周運(yùn)動(dòng)中有哪些量？哪些是變量？

③這些量之間有什么關(guān)系呢？

設(shè)計(jì)意圖?由于問題3太大，學(xué)生一時(shí)無從入手，因此需設(shè)置系列小問題，搭建腳手架，引導(dǎo)學(xué)生將其轉(zhuǎn)化為熟悉的銳角三角函數(shù)開始探究，使銳角三角函數(shù)的定義坐標(biāo)化.

問題5?初中“銳角三角函數(shù)”的“稱謂”是否嚴(yán)謹(jǐn)？你能從高中函數(shù)定義這個(gè)角度解釋一下嗎？

提示：銳角三角函數(shù)的自變量是什么？

設(shè)計(jì)意圖?函數(shù)是數(shù)集與數(shù)集間的對(duì)應(yīng)，而銳角三角函數(shù)是以角為自變量，初中還未學(xué)弧度制，角的集合不同于數(shù)集，因此，初中“銳角三角函數(shù)”的“稱謂”不夠嚴(yán)謹(jǐn).同時(shí)，也能讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到學(xué)習(xí)弧度制的必要性，達(dá)到銳角三角函數(shù)函數(shù)化，為后續(xù)理解任意角三角函數(shù)的定義做準(zhǔn)備.

問題6?對(duì)于給定的銳角α，其對(duì)應(yīng)比值會(huì)不會(huì)隨著P點(diǎn)位置的變化而變化呢？

教師用幾何畫板演示P點(diǎn)在終邊上移動(dòng)（如圖2），先讓學(xué)生觀察，再引導(dǎo)其利用相似三角形，嚴(yán)格證明得出：對(duì)于任意給定的銳角，其對(duì)應(yīng)比值不會(huì)隨著終邊上點(diǎn)P位置的變化而變化.

設(shè)計(jì)意圖?為單位圓的引入作鋪墊，讓學(xué)生感受到利用單位圓定義銳角三角函數(shù)的合理性.

問題7?既然在終邊上可以任意選取點(diǎn)（異于原點(diǎn)），那在什么時(shí)候，這個(gè)比值的形式最簡(jiǎn)單？

設(shè)計(jì)意圖?從簡(jiǎn)化定義式的角度自然而然引出單位圓，達(dá)到銳角三角函數(shù)表達(dá)式的優(yōu)化，為后續(xù)借用單位圓定義任意角的三角函數(shù)奠定基礎(chǔ).

⑶ 同化順應(yīng)，理解新知

問題8?那任意角的三角函數(shù)都可以用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)來表示嗎？

教師用幾何畫板演示，如圖3—圖10.學(xué)生思考有什么發(fā)現(xiàn)？

設(shè)計(jì)意圖?檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的掌握情況，思考題的設(shè)置是想讓學(xué)生學(xué)會(huì)舉一反三，知道已知角終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，不借助單位圓，也能求出對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值.

總之，在授課之前，應(yīng)該清楚學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，在上課時(shí)，既要以學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為“生長(zhǎng)點(diǎn)”來講授新知識(shí)，又要講清新舊知識(shí)間的聯(lián)系與區(qū)別，并提供腳手架幫助學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)新知，完善知識(shí)體系.這樣才能提高課堂教學(xué)效率，達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果.

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國教育部制定.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].人民教育出版社，2017.

[2]王佩，趙思林.基于問題驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)——以“任意角的三角函數(shù)”為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2017（10）：30-34.