蝴蝶定理的研究與推廣

王一卜

摘 要：對于蝴蝶定理的研究和推廣，提出了關(guān)于弦（貫穿整個圖形的核心）在圓的切線上的證明，并進(jìn)行了求證與推廣然后對弦上交點(diǎn)個數(shù)以及相關(guān)對應(yīng)點(diǎn)進(jìn)行了討論并總結(jié)匯總了表格，最后通過第三部分得出了論文的核心結(jié)果。

關(guān)鍵詞：蝴蝶定理;推廣

在說到與圓有關(guān)的命題時，許多的教育工作者都會想到一個經(jīng)典的幾何命題——蝴蝶定理，并用此定理作為講授和研究與圓有關(guān)問題的典型例子。蝴蝶定理的英文是Butterfly Theorem，蝴蝶定理是古典歐式平面幾何最杰出的結(jié)果之一。而“蝴蝶定理”這個名稱最早出現(xiàn)在《美國數(shù)學(xué)月刊》1994年2月號，題目的圖形就像一只蝴蝶.蝴蝶定理作為一道著名的平面幾何問題，有人贊譽(yù)它為歐式幾何園地里的“一顆生機(jī)勃勃的常青樹”。蝴蝶定理最先作為一個征求證明的問題，刊載于1815年的一份通俗雜志《男士日記》，中同時刊登了蝴蝶定理的兩個證明方法.其中一個是英國著名的自學(xué)成才的數(shù)學(xué)家霍納的解法.霍納受過中等教育，18歲時擔(dān)任其母校校長.關(guān)于這個定理的證法多的不勝枚舉，至今仍被數(shù)學(xué)熱愛者研究，本文在給出蝴蝶定理的一個簡潔證明的基礎(chǔ)上研究其推廣形式并加以證明。

一、蝴蝶定理的介紹

接下來為大家介紹蝴蝶定理的一種形式。定理1.1如，1.1作直線AB交圓O與A，B取中點(diǎn)M，CD與GH交于M連接DG，CH分別交于AB于P，Q兩點(diǎn)，則MP=MQ。證明：易知△CMF～△EMD，MG，MH為這兩個相似三角形對應(yīng)邊上的中線，所以△GMF～△HMD，則∠FGM=∠DHM.又因為O，G，P，M四點(diǎn)共圓，有∠POM=∠PGM=∠QHM=∠QOM由此得Rt△POM≌Rt△QOM，所以PM=QM? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 證畢

以上為蝴蝶定理的關(guān)于線在圓內(nèi)的標(biāo)準(zhǔn)推廣，下面介紹一種關(guān)于線在圓外的推廣。定理1.2 如圖1.2做圓O，做園外一直線過圓心做垂線交直線于點(diǎn)M，在直線上取M為對稱點(diǎn)的E，F(xiàn)過E，F(xiàn)作直線交于A，B，C，D.直線與BC，AD交于S，T如圖1.2，由于下文會有該題目的講解所以題目及證明在這里不再贅述。蝴蝶定理的形式千變?nèi)f化其中不乏在特殊圖形中的推廣，接下來筆者為大家展現(xiàn)以下證明。定理1.3[5] 如圖1.3，△EAP中DM與AP延長線交于C點(diǎn)，則。證明：由于PM=QM，由（1），（2）得=1（5）?！鱁AM中，DQ交AM的延長線于點(diǎn)B（3）?！鱂BM中，CP交BM的延長線于點(diǎn)A，（4），由（5），（6）得（7），因此（8），由（7），（8）得MF×QE=ME×PF所以ME=MF。而本題則以多圓為主線，利用圓上的性質(zhì)與定理進(jìn)行求解，該題證法略。定理1.4[4]? 如圖1.4AB為圓O內(nèi)任意一條弦，過M做CD，EF， △EMD與△CMF外接圓與AB交點(diǎn)為G，H則MG-MH=3（MA-MB）。

二、關(guān)于前人推論與我的思考

在了解大量推廣后我進(jìn)行了分類總結(jié)并歸納出如下定理。本節(jié)中部分定理已經(jīng)做過介紹便不再贅述。定理2.1該定理與1.1基本圖形略有不同此外弦上交點(diǎn)也多了一個。如圖2.1，PQ為過圓的一條直線，點(diǎn)M則為PQ的中點(diǎn)，E，F(xiàn)為PQ上關(guān)于M對稱的點(diǎn)。過點(diǎn)E，F(xiàn)作兩條弦AB，CD交于圓O，依次連接BC，AD交于PQ與點(diǎn)T，S所以MS=MT。定理2.2[4] 該定理與定理1.1基本圖形較為近似，1.1通過做垂線的方法進(jìn)行求解而該定理則是延長線段進(jìn)行求解。如圖2.2，△ENQ被直線EF所截=1，PNQ被直線CD所截=1。定理2.3[4] 該定理與2.1頗為相似弦上交點(diǎn)個數(shù)相同基本圖形三角形交點(diǎn)略有不同。如圖2.3，做圓O取M為弦AB中點(diǎn)H，N為AB上任意兩點(diǎn)且關(guān)于M點(diǎn)對稱，過H，N做任意兩條弦CD，EF交AB于Q，P則MP=MQ。

定理2.4[4] 該定理較為特殊是蝴蝶定理在四邊形中的應(yīng)用弦上交點(diǎn)與定理2.2相同。如圖2.4，如果BD為ABCD中線，令其對角線交點(diǎn)為M，使AB，CD交于P，Q，與AD，BC交于S，R連接PR，SQ與AC交于G，H，則MG=MH。定理2.5[4] 該定理則想法較為新穎，設(shè)計出了蝴蝶定理關(guān)于弦在圓外的情況弦上交點(diǎn)個數(shù)也較多。如圖1.2，題目及證明在這里不再贅述。證明：在△ESA中，，在△EBT中，，在△FTC中，△SFD中.將上面四式兩邊相乘，同時∠EAC=∠BCD， ∠B=∠D.則有EA×EB×TF×FS=ES×ET×CF×FD.由于OM⊥EF，EM=FM，所以EA×EB=CF×FD.即TF×FS=ES×ET，所以ME=MF，易得MS=MT 證畢，定理2.6[4] 該定理描述了蝴蝶定理關(guān)于在直線之間夾角的情況。如圖1.3題目及證明在這里不再贅述。

通過對六個定理及其基本圖形，弦位置，弦上交點(diǎn)個數(shù)的總結(jié)及判斷得出了關(guān)于蝴蝶定理的更深層次的理解與探討，接下來筆者也會在下文中加入自己關(guān)于蝴蝶定理的研究與推廣方面的思考以及探究。

三、關(guān)于我的思考

在前面了解了大量蝴蝶定理推廣后，我初步有了自己的想法做出了該定理由于對蝴蝶定理關(guān)于弦在切線外的情況了解不夠充分導(dǎo)致該定理證明出現(xiàn)問題列舉此定理只是為了展示本人在研究過程中的思考。如圖3.1做一條切線過圓O交于AD以M點(diǎn)為對稱點(diǎn)做E，F(xiàn)取任意點(diǎn)A，B連接AF，BE，A過圓與BE交點(diǎn)于點(diǎn)C，B過圓與AF交于點(diǎn)Q，連接AC交EF于點(diǎn)P，則PM=QM。

如圖3.2做圓O切線PQ交圓O于點(diǎn)M在圓O任取一直徑（不垂直于切線）CE過點(diǎn)ML連接CM并延長至點(diǎn)D過點(diǎn)E連接EM并延長至點(diǎn)F使△MCE～△MDF求證PM=QM。此前兩個證明由于條件等各方面不夠充分導(dǎo)致無法準(zhǔn)確證明其結(jié)論，接下來筆者為大家?guī)肀酒撐牡暮诵慕Y(jié)論。關(guān)于在正方形中蝴蝶定理的推廣的探討。猜想3.3 如圖3.3四邊形ABCD為正方形O為BD中點(diǎn)M，N為BD四等分點(diǎn)，做EH∥BC，EF⊥BD證明：OP=OQ。

分析：因為△NGD～△NFB，所以DN：BN=DG：BF=，DG=BF因為EF⊥BD且ABCD為正方形所以∠BEF=∠BFE=，BP=1所以PF=EP=BP=1所以BF=BE=所以DG=BF=.EM=BE=BF=，AB=BC=EH=4BE=4，MH=EH=3，BD=AB=8因為△QDG～△QMH所以因為DQ=MQ，DQ+MQ=DM=BD=6所以DQ=，MQ=，OP≠OQ.

對于蝴蝶定理在圓中的證明本文中已經(jīng)有許多講解，在此不做過多贅述，但對于蝴蝶定理在三角形及四邊形中的推廣很少見，因此先著重介紹一下定理2.6：該定理是由兩條直線相交并通過線段構(gòu)造三角形，證明方法簡單，思路新穎，在此基礎(chǔ)上經(jīng)過導(dǎo)師講解了一定數(shù)量的推廣，思考了正方形中的推論。該定理同樣構(gòu)圖簡單題目明了，但對于條件思考有所欠缺，所以并沒有將最終結(jié)果得出。因此，通過證明得知該猜想不成立，但定理通過比例，相似等一些方法得出了最終結(jié)論內(nèi)接于四邊形的蝴蝶并不滿足蝴蝶定理的對應(yīng)關(guān)系，同樣的定理推出了OP≠OQ，就是說該定理的結(jié)論其實并不成立，研究就是要有大膽的猜想雖然此定理證明失敗了，但是通過我的努力為蝴蝶定理在正方形中的推廣做出了一些成果。

上面的猜想中的基本圖形是正方形，弦的位置的是正方形的內(nèi)部。而這個猜想的失敗說明不是每個方向的推廣都是可以成立的。至于具體還有哪些成立的推廣方向還有待進(jìn)一步探討。

四、結(jié)語

筆者在閱讀大量的參考文獻(xiàn)后通過老師的講解確定了自己的研究方向并總結(jié)了一定量的推廣展示于本文中，在思考核心結(jié)果的初期受到定理1.2的啟發(fā)思考了關(guān)于蝴蝶定理在圓切線外的推廣。由此便有了圖3.1與圖3.2的推論，但在推論過程中思考欠佳所以導(dǎo)致這兩個猜想無法進(jìn)行可靠有效的證明。因此筆者在聽從了導(dǎo)師的建議后開始著手四邊形中蝴蝶定理的推廣，經(jīng)過自己的鉆研以及與導(dǎo)師的不斷探討最終在定理2.6中獲得思路并得出了猜想3.3關(guān)于蝴蝶定理關(guān)于在四邊形的推廣，但最終由于本人水平有限沒有能將該推廣完全證明出來，希望大家諒解。（1）關(guān)于結(jié)果類型。結(jié)果分為三個其中前兩種屬于蝴蝶定理在切線上的推論與思考，后一種屬于關(guān)于在四邊形里的推廣。前兩種由于條件不夠充分造成證明不成立，第三種則是由比例證得。（2）關(guān)于結(jié)論優(yōu)缺點(diǎn)。關(guān)于圖3.1該定理優(yōu)點(diǎn)在于創(chuàng)新出新的弦與圓相交的方式但由于圓中弦的加入導(dǎo)致定理并無創(chuàng)新變化證明也與其往常形式類似。關(guān)于圖3.2該定理明顯與上個定理差別較大結(jié)構(gòu)更加緊湊線與線的交匯也很合理核心問題在于圓內(nèi)交點(diǎn)過少對證明影響較大。

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