關(guān)于初中數(shù)學(xué)一元二次方程的教學(xué)探究

王汾湘 席一

摘 要：在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，一元二次方程是非常重要的內(nèi)容。它是二次函數(shù)、三角方程以及后續(xù)一系列數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)和入門。但對于大部分學(xué)生來說，目前很多初中數(shù)學(xué)教師在講解這一部分知識時，沒有將其本質(zhì)、難點與用法講透，導(dǎo)致學(xué)生這一部分知識掌握得不是很扎實。本文介紹了一元二次方程的相關(guān)概念與內(nèi)涵，總結(jié)了一元二次方程教學(xué)中的重點難點所在，提出了具有針對性和可行性的教學(xué)方案建議。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);教學(xué)方案;一元二次方程

一、引言

初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，涉及到函數(shù)方程的部分為一元一次方程以及一元二次方程的解法及應(yīng)用，而后者涉及到更豐富的數(shù)學(xué)概念和難度更高的數(shù)學(xué)思維，因此一直也是教學(xué)中的重點和難點。并且其中涉及到的二次函數(shù)的概念，也是高中函數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)知識點之一。因此可以說一元二次方程與二次函數(shù)的學(xué)習(xí)在整個初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的地位都是比較高的。

在當下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，往往過度強調(diào)學(xué)生對知識點的死記硬背，以及通過大量做題來記住解題套路以應(yīng)對考試即可，這樣導(dǎo)致學(xué)生實際上并沒有對相關(guān)數(shù)學(xué)概念進行真正充分的理解消化吸收，而只是學(xué)會用公式及定理機械地去套路式做題。并且由于相關(guān)知識點并沒有真正深入理解其本質(zhì)，數(shù)學(xué)思維也沒有相應(yīng)提高，因此雖然可能在考試中得到了好分數(shù)，但升入高中繼續(xù)進行后續(xù)學(xué)習(xí)時又會面臨較大的困難，此時再想彌補也很難了。因此在進行初中一元二次方程教學(xué)時，不應(yīng)急于讓學(xué)生學(xué)會做多少類型的題目，而應(yīng)該先夯實其理解與思維方面的基礎(chǔ)，這樣不僅在學(xué)習(xí)解題時才會事半功倍，而且也為后續(xù)進行數(shù)學(xué)函數(shù)的拓展學(xué)習(xí)打下牢固的基礎(chǔ)。

二、一元二次方程教學(xué)探究

從學(xué)界現(xiàn)有研究成果可以看出，雖然目前初中一元二次方程教學(xué)的方法及課堂設(shè)計方案已經(jīng)有一些了，但目前較為全面地對一元二次方程從概念講解到實際運用的全過程教學(xué)進行綜合探究的文獻成果還比較少，因此本文下面嘗試針對一元二次方程教學(xué)全程進行較為綜合的探究。

（一）概念定義

在進入一元二次方程學(xué)習(xí)之前，學(xué)生們已學(xué)過一元一次方程及二元一次方程，對方程的構(gòu)建和用法也有了一定的了解。但一元二次方程由于涉及到的數(shù)學(xué)思維更高，因此在講解之前教師應(yīng)通過設(shè)立與實際生活有關(guān)聯(lián)的情境，通過現(xiàn)實中的計算問題來讓學(xué)生們自己先進行探索和構(gòu)建，通過這樣自主學(xué)習(xí)的過程，才能使得學(xué)生們對一元二次方程的來龍去脈與實際用法有更加清晰深刻的理解，為后續(xù)學(xué)習(xí)解方程及利用二元一次方程解應(yīng)用題打下基礎(chǔ)。幾個比較好的例子有：

例子1：在兩座山之間有一片空地，某市要開辟出面積為800㎡的一塊長方形空地，而且長比寬多l(xiāng)2米，則空地的長和寬各為多少？可引導(dǎo)學(xué)生列出方程x（x+12）=800。

例子2：某中學(xué)前年年底學(xué)生總數(shù)7萬人，今年年底學(xué)生總數(shù)9萬人，求這兩年人數(shù)的平均增長率為多少？可引導(dǎo)學(xué)生列出方程。

例子3：一個正方形的稻田面積的3倍等于20，問這個正方形稻田的邊長是多少？可引導(dǎo)學(xué)生列出方程。

在列出方程之后，學(xué)生們對一元二次方程的來由也就有了初步的理解。此時教師可以引導(dǎo)學(xué)生觀察所列出方程的特點。學(xué)生們一開始容易誤解為“含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是2的方程叫作一元二次方程”，因此，教師在教學(xué)中務(wù)必強調(diào)定義中的三個特征：整式（方程里所有的未知數(shù)都出現(xiàn)在分子上，分母只是常數(shù)而沒有未知數(shù)）、一元、二次，并與學(xué)生分析這三個關(guān)鍵詞的含義，加深學(xué)生對概念的理解。

（二）求根公式

關(guān)于求根公式的講解，一種較好的方法就是配合配方法思路來進行推導(dǎo)演示：

對于方程，將該方程兩邊同時乘以4a得到。此時引導(dǎo)學(xué)生進行觀察并對該式進行配方，很容易得出，即。到了這一步就不難解出：

這些推導(dǎo)過程表面上看起來對最終解題應(yīng)用并沒有直接的作用，畢竟教科書上已經(jīng)較為詳細地列舉出來了，學(xué)生只需要直接記住結(jié)論就行。而一般教師和學(xué)生也不會質(zhì)疑這種直接記憶的學(xué)習(xí)方法，但其實學(xué)生往往在面對看上去較為復(fù)雜的定理公式的時候，由于對其來由并沒有經(jīng)過自己的推演，因而也不能形成足夠深刻的理解，只記住其形而不解其意。這樣對后續(xù)構(gòu)建一元二次方程來解題的過程，和對函數(shù)和高次方程的繼續(xù)深化學(xué)習(xí)都是十分不利的。如前文所述，一元二次方程相關(guān)知識點是為后續(xù)很多學(xué)習(xí)內(nèi)容打基礎(chǔ)，其重要性和地位不言而喻，一旦這個環(huán)節(jié)沒有學(xué)扎實，后續(xù)學(xué)習(xí)也必將十分吃力。

（三）數(shù)形結(jié)合，引入函數(shù)思維

要搞好一元二次方程這一章節(jié)的教學(xué)，還有一點比較重要的是要讓學(xué)生學(xué)會在平面直角坐標系上準確作圖，這就是一元二次方程教學(xué)的基礎(chǔ)。只要會作圖，學(xué)生就能明白函數(shù)的對稱圖像、上加下減、左加右減等平移問題了，不用強迫他們記憶，不僅效果欠佳，而且非常容易混淆.學(xué)生基礎(chǔ)較差，難以講明白的話，教師就回歸到最基本的方式---作圖。通過作出函數(shù)的圖像，就能清晰的看出橫軸、縱軸數(shù)據(jù)變化會引起函數(shù)開口、位置等系列變化，直觀明了的教學(xué)方法，讓學(xué)生不再困擾在繁雜的口訣和所謂的技巧中。課堂上可以安排學(xué)生們自己多動手畫出不同開口方向的二次函數(shù)曲線，并且有條件的話，可以播放一元二次方程及二次函數(shù)圖形的形成和對比視頻。

另外在講解判別式的由來時，也可以結(jié)合其函數(shù)曲線圖來講解。一元二次方程是的特殊形式，當時，函數(shù)曲線圖與軸的兩個交點的值即為方程的根。拋物線與軸相交后，形成了頂端的一個封閉區(qū)域.這個區(qū)域的面積就是。面積大于0說明與軸至少有兩個交點，也就存在兩個實數(shù)根。面積等于0說明與軸只有唯一的交點，只存在一個實數(shù)根。面積小于0，說明方程不存在實數(shù)根。

（四）學(xué)以致用，進行解題

在學(xué)生對一元二次方程的概念和解法都掌握得較為熟練之后，即可進入學(xué)以致用的解題階段。一元二次方程本身求根計算還是比較簡單的，難點在于根據(jù)應(yīng)用題的內(nèi)容和數(shù)據(jù)構(gòu)建恰當?shù)姆匠淌?，并擇取合適的結(jié)果。

在指導(dǎo)學(xué)生運用一元二次方程進行解題時，不能一上來就大搞題海戰(zhàn)術(shù)，開始寧可讓學(xué)生多思考多試錯，了解每種題型的特征和關(guān)鍵點所在，做一題就吃透一題。以達到舉一反三的目的，提高學(xué)習(xí)的效率與效果。

其中計算面積的例題有：用一塊長方形鐵片，在它的四個角各自剪去一個邊長是 4 厘米的小正方形，然后把邊折起來，恰好做成一個無蓋的盒子。已知鐵片的長是寬的 2 倍，做成的盒子的容積是 1536立方厘米，求這塊鐵片的長和寬是多少。本題首先可將盒子的寬設(shè)為未知數(shù)，找到裁去邊長這一步在方程中的表達，引導(dǎo)學(xué)生找到相等關(guān)系列出方程。不難解出，，由于邊長不能為負，固舍去，得到正確答案為該貼片長為4厘米，寬為8厘米。

三、總結(jié)

由于一元二次方程在內(nèi)容上的難度相較于之前驟然提高，疑點難點也比較多，因此在進行二元一次方程的教學(xué)中，教師要在掌握教材的基礎(chǔ)上把各個局部知識，按照一定的觀點和方法組成整體，形成知識體系，這樣學(xué)生的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法都將在整個過程中得到形成和發(fā)展.學(xué)生的數(shù)學(xué)能力數(shù)學(xué)觀念和數(shù)學(xué)素養(yǎng)也將在整十過程得到培養(yǎng)和鍛煉，長期堅持下去，學(xué)生必將形成較豐富的數(shù)學(xué)情感和數(shù)學(xué)體驗。

因此，廣大初中數(shù)學(xué)教師要立足學(xué)生的心理實際，教學(xué)中不時停下來觀察學(xué)生的表情和心理.同時也反思自己是否有些地方講解的不明白，不透徹，在學(xué)生做作業(yè)，練習(xí)題的過程中，也要及時總結(jié)，為什么學(xué)生會混淆公式，真的僅僅是公式太相近了還是我們有些工作做得不夠到位？只有打好基礎(chǔ)，講清問題，立足學(xué)生的實際，多多進行教學(xué)反思，我們才能把看似難以理解的知識點變得簡單、通俗，學(xué)生也能輕松掌握。這也是一元二次方程知識環(huán)節(jié)教學(xué)的理想境界。

數(shù)學(xué)的建構(gòu)過程充滿了思想之美，在上述實際教學(xué)中通過方程思想建立數(shù)學(xué)模型，再讓學(xué)生通過類比一元一次方程總結(jié)一元二次方程概念，這一過程滲透了類比推理、歸納推理的思想方法和思維策略;在一元二次方程一般形式的得出過程中，又蘊含了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，體現(xiàn)了符號代數(shù)的思想，蘊含了數(shù)學(xué)中的簡潔美與和諧美。而未知數(shù)與常數(shù)又反映出變與不變的數(shù)學(xué)思想。這樣的過程，欣賞是基礎(chǔ)，探究是主線，而且學(xué)生必須進入深層的探究，對數(shù)學(xué)思想方法進行提煉、總結(jié)與反思，欣賞才能發(fā)揮它的真正價值。

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