四元數(shù)域?qū)拵敯糇赃m應(yīng)波束形成

段曉菲 劉志文 徐友根

(北京理工大學(xué)信息與電子學(xué)院 北京 100081)

1 引言

自適應(yīng)波束形成多點源干擾抑制技術(shù)在復(fù)雜電磁環(huán)境雷達目標(biāo)檢測中有著重要的應(yīng)用前景。傳統(tǒng)抑制多點源干擾的方法大都基于標(biāo)量陣列，僅研究信號的空域和時域信息，對信號極化信息的利用非常有限。同時受到陣列孔徑的限制，標(biāo)量陣列難以分辨空間接近的信號，已不能滿足自適應(yīng)波束形成的研究。由矢量傳感器構(gòu)成的極化敏感陣列可同時獲取并利用陣列空間、時域信息和入射信號的極化信息，實現(xiàn)空-時-極化域聯(lián)合濾波，提高陣列信號處理性能，具有標(biāo)量陣列難以企及的優(yōu)勢。當(dāng)目標(biāo)和干擾空-時差異較小時，利用信號極化狀態(tài)的差異進行濾波可獲得性能的提升。

傳統(tǒng)針對矢量傳感器接收數(shù)據(jù)的處理方法是將所有傳感器的復(fù)矢量輸出串聯(lián)起來，形成一個長矢量輸出來進行處理，將陣列局部各分量間的內(nèi)在聯(lián)系(極化信息)和分布在空間不同位置的傳感器輸出間的相互聯(lián)系(空域信息)無差別地作為一個復(fù)數(shù)長矢量的元素進行組織和處理，模糊了極化信息和空域信息的差異性。近年來，基于四元數(shù)的電磁矢量傳感器陣列信號處理方法受到廣泛關(guān)注，四元數(shù)的實部和3個虛部系數(shù)對應(yīng)矢量傳感器各分量的復(fù)輸出，能保持極化敏感陣列陣元各分量間固有正交特性，此時信號的極化域信息可以隱含在多虛部間特定的運算關(guān)系中，空域信息體現(xiàn)在空域?qū)蚴噶扛髟亻g的幅相關(guān)系中，這種建模方式更為緊湊并有助于局部矢量特性的利用。在自適應(yīng)波束形成領(lǐng)域，文獻[1]針對交叉偶極子陣提出基于四元數(shù)域的Capon波束形成器。文獻[2]研究了四元數(shù)域最小方差無失真響應(yīng)波束形成。文獻[3]研究了四元數(shù)域具有雙路結(jié)構(gòu)的干擾對消方法。文獻[4]將最壞情況性能最優(yōu)化自適應(yīng)波束形成方法推廣到四元數(shù)域。文獻[5]針對相干干擾提出四元數(shù)域空間平滑方法。隨后，文獻[6]研究了四元數(shù)域?qū)捑€性自適應(yīng)波束形成，結(jié)果表明利用四元數(shù)陣列輸出的2階統(tǒng)計特性可以提高濾波性能。文獻[7]通過構(gòu)造協(xié)方差矩陣和偽協(xié)方差矩陣，提出基于四元數(shù)域半寬線性自適應(yīng)波束形成。文獻[8]通過利用四元數(shù)域的對合信息提出了四元數(shù)域?qū)捑€性自適應(yīng)波束形成方法。

同時，隨著信號環(huán)境日趨復(fù)雜，信號頻率分布范圍不斷拓寬，寬帶信號具有攜帶目標(biāo)信息量大、混響背景相關(guān)性弱等特點，已成為陣列信號處理研究的重要方向和熱點問題。傳統(tǒng)寬帶自適應(yīng)波束形成方法主要可分為時域、頻域和空域3種。在時域處理中，通常采用抽頭延遲線(Tapped Delay Lines，TDL)結(jié)構(gòu)或者有限脈沖響應(yīng)濾波器(Finite Impulse Response， FIR)組結(jié)構(gòu)，其中Frost[9]提出的線性約束最小方差(Linear Constraint Minimum Variance， LCMV)波束形成器奠定了時域處理的基礎(chǔ)。頻域方法是基于離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transformation， DFT)的分塊處理方式，對陣元輸出采樣信號進行DFT，將其分解為若干個子帶，然后分別針對每個子帶進行窄帶波束形成，最后對各子帶輸出進行逆DFT得到波束形成輸出信號?？沼蚍椒ㄊ窃谏刃螢V波器的基礎(chǔ)上發(fā)展而來。與窄帶波束形成器類似，寬帶波束形成器對各種誤差也非常敏感。文獻[10]在LCMV波束形成器的基礎(chǔ)上施加導(dǎo)數(shù)約束以展寬主瓣，避免信號相消現(xiàn)象的發(fā)生。文獻[11]提出了基于特征矢量約束的低秩寬帶LCMV波束形成，能有效提高寬帶波束形成魯棒性。

在實際應(yīng)用中，非圓信號廣泛存在，其同相分量與共軛分量之間存在很強的相關(guān)性，利用信號的非圓特性可以提高陣列信號處理系統(tǒng)的性能，實現(xiàn)孔徑擴展[12-15]。鑒于此，本文提出一種四元數(shù)域?qū)拵敯糇赃m應(yīng)波束形成方法(Quaternion Wideband Signal plus Interference Subspace Projection，QWSISP)，在四元數(shù)框架下采用包絡(luò)對齊技術(shù)處理寬帶信號，利用四元數(shù)陣列輸出矢量的3種對合矢量信息，聯(lián)合信號非圓信息和2階統(tǒng)計特性，建立四元數(shù)域?qū)显鰪V信號模型，在此基礎(chǔ)上有效提取期望信號，抑制多個不相關(guān)干擾和噪聲，實現(xiàn)四元數(shù)域?qū)拵敯糇赃m應(yīng)波束形成。

2 四元數(shù)定義及性質(zhì)[16-19]

四元數(shù)q∈H(R，C 和H 分別表示實數(shù)集、復(fù)數(shù)集和四元數(shù)集)定義為

其中，qr=Re｛q｝∈R，qi=Im(i)｛q｝∈R，qj=Im(j)｛q｝∈R 和qk=Im(k)｛q｝∈R 分別為四元數(shù)q的實部和3個虛部系數(shù)，i,j,k為虛數(shù)單位且滿足關(guān)系如式(2)和式(3)

除式(1)外，四元數(shù)也可以表征為Cayley-Dickson形式

其中，q1∈C 且q2∈C，即一個復(fù)數(shù)可以看作一個i- 部和k-部為零的四元數(shù)。

類似地，四元數(shù)矩陣∈HM×N定義為

其中，｛λn｝Nn=1∈R 為特征值，｛n｝Nn=1∈HN×1為相互正交的特征矢量。

3 四元數(shù)域?qū)拵显鰪V信號模型

假設(shè)波束形成陣列由L個沿y軸正方向排列的交叉偶極子構(gòu)成，令位于坐標(biāo)軸原點處的陣元為參考陣元，陣元間距為d。設(shè)有M個互不相關(guān)的寬帶信號分別以方位角θm、俯仰角φm、極化輔助角γm和極化相位差ηm從遠場入射至該陣列，其中，s0(t+τl,θ0)為期望信號，其他為干擾信號， τl,θm為 第m個信號波到達第l個陣元相對于陣列參考陣元的時間延遲(其值為(ldsinθmsinφm)/c與 θm，φm有關(guān)，為了書寫方便省去下標(biāo)中φm)。信號波長為λ，載波頻率為f0。噪聲為空時圓白噪聲。

第m個信號的空域?qū)蚴噶烤仃嚳杀硎緸?/p>

其中，? =2f0。

第m個信號的極化域?qū)蚴噶靠杀硎緸?/p>

將陣列劃分為兩個子陣，其中，子陣1包括所有指向x軸的偶極子，子陣2包括所有指向y軸的偶極子，得到這兩個子陣第m個信號的導(dǎo)向矢量分別為

兩個子陣的復(fù)數(shù)域輸出分別為

其中，1,0和2,0為兩個子陣對應(yīng)于期望信號s0(t,τθ0)的陣列流形矩陣，1,m和2,m為兩個子陣對應(yīng)于第m個干擾信號sm(t,τθm)的流形矩陣，1(t)和2(t)為兩個子陣的噪聲矢量。

分別對兩個子陣輸出進行延時操作使得期望信號包絡(luò)對齊并且記時延τl,θ0后的信號為1(t,θ0)和2(t,θ0)

其中，L為L×1維全1矢量。

令1,0=1,0L，2,0=2,0L，則式(21)和式(22)可化簡為

采用Cayley-Dickson表示形式，將陣列各分量輸出與四元數(shù)4個部分一一對應(yīng)，得整個陣列的四元數(shù)域輸出

根據(jù)四元數(shù)性質(zhì)其中，a=ar+jaj∈H，ar∈R，aj∈R。

利用四元數(shù)3種對合形式，結(jié)合式(26)的性質(zhì)，可得到 (t,θ0) 的i-部對合矢量(i)(t,θ0)，j-部對合矢量和k-部對合矢量(k)(t,θ0)如下

為了更加全面地挖掘與利用四元數(shù)輸出矢量的2階統(tǒng)計特性，同時增大陣列輸出孔徑擴展能力，對四元數(shù)信號進行寬線性處理，構(gòu)造四元數(shù)域?qū)拵г鰪V輸出矢量

假設(shè)期望信號和干擾均為完全非圓信號，即

其中，βm∈[0,2)為sm(t)的非圓相位。

將式(31)帶入式(30)中化簡，可得

令四元數(shù)域?qū)拵显鰪V波束形成器權(quán)矢量為∈H4L×1，對陣列輸出進行加權(quán)求和，得到波束形成的輸出

4 四元數(shù)域?qū)拵敯糇赃m應(yīng)波束形成

四元數(shù)域?qū)拵显鰪V波束形成器輸出總功率為

利用Capon準(zhǔn)則設(shè)計波束形成器如式(36)所示

通過拉格朗日乘子法，得到最優(yōu)權(quán)矢量

對于大特征值個數(shù)Ms的確定，使用“功率準(zhǔn)則”。設(shè)Mx表示滿足式(40)條件的的特征值數(shù)量

5 仿真實驗

通過計算機仿真實驗來驗證算法有效性。采用一個六元交叉偶極子構(gòu)成的等距線陣，陣源間距為信號最高頻對應(yīng)波長的1/2。所有入射信號的中心頻率均為2.4 GHz，帶寬均為80 MHz，采樣頻率為200 MHz。噪聲為零均值空間白高斯隨機過程。

實驗1 通過研究波束形成器輸出信號波形與真實期望信號波形來驗證所提算法的有效性。假設(shè)有一個寬帶BPSK(嚴(yán)格非圓)期望信號和兩個寬帶BPSK干擾入射至該陣列，期望信號的方位角、俯仰角、極化輔助角、極化相位差和非圓相位分別為(30°，30°，15°，50°，10°)，兩個干擾的對應(yīng)參數(shù)分別為(0°，60°，45°，-10°，-30°)和(-45°，-10°，5°， 0°，55°)。輸入信噪比為10 dB，輸入干噪比也為10 dB，快拍數(shù)為640。如圖1所示。從圖中可見，該波束形成器能從干擾和噪聲中提取出期望信號。

圖1 六元陣列輸出波形比較Fig.1 Output waveform of six-element array

實驗2 在實驗1的基礎(chǔ)上，把六元交叉偶極子陣減少為兩元交叉偶極子陣，并增加了1個干擾，參數(shù)為(60°，15°，0°，-60°，60°)，其他條件不變，通過仿真可以證明兩元交叉偶極子陣能有效抑制3個干擾信號，增強期望信號，具有孔徑擴展能力，如圖2所示。

圖2 兩元陣列輸出波形比較Fig.2 Output waveform of two-element array

實驗3 本實驗考察該波束形成器輸出波形與期望信號復(fù)包絡(luò)波形歸一化后兩者的偏差程度，用均方根誤差RMSE來衡量。定義為

其中，Tr為獨立重復(fù)實驗總次數(shù)，K為快拍數(shù)，yi(tk) 為第tt次實驗中第k個快拍歸一化后的輸出波形，s(tk)為真實期望信號波形。

進行比較的方法包括四元數(shù)域Capon(QCapon)方法[8]、導(dǎo)數(shù)約束(DCMV)方法[9]和低秩寬帶約束(WLCMV)方法[11]。仿真所采用的信號與實驗1相同，圖中給出的結(jié)果均為500次蒙特卡羅實驗的平均結(jié)果。圖3為波形估計偏差隨輸入信噪比的變化曲線，其中，輸入干噪比為10 dB，快拍數(shù)為640。圖4為波形估計偏差隨快拍數(shù)的變化曲線，其中，輸入信噪比為15 dB，輸入干噪比為10 dB。從圖中所示結(jié)果可以看出，QWSISP波束形成器的性能要優(yōu)于其他方法。

圖3 波形估計偏差隨輸入信噪比變化曲線Fig.3 RMSE curves versus SNR

圖4 波形估計偏差隨快拍數(shù)變化曲線Fig.4 RMSE curves versus snapshot number

實驗4 本實驗考察輸出波形與期望信號復(fù)包絡(luò)波形歸一化后存在指向誤差時的均方根誤差RMSE。指向誤差為2°，其他條件與實驗3相同。圖5為存在指向誤差情況下波形估計偏差隨輸入信噪比的變化曲線(一方面，寬帶信號由于采用主特征投影波束形成方法，其性能受到主特征值個數(shù)也即有效秩影響，不同的有效秩選擇對結(jié)果有所不同。寬帶信號采用功率準(zhǔn)則選擇有效秩，其性能不一定最優(yōu)，但如果通過嘗試的方法選擇更有效的有效秩參數(shù)，就可以在信噪比高時使得輸出波形與期望信號波形接近，如圖6所示。另一方面，當(dāng)信噪比越高時，波束形成受模型誤差的影響一般越大，所以隨著信噪比的提高，波束形成的性能未必相應(yīng)提高)。圖7為存在指向誤差情況下波形估計偏差隨快拍數(shù)的變化曲線。從圖中所示結(jié)果可以看出QWSISP方法具有較好魯棒性。

圖5 有誤差情況下波形估計偏差隨輸入信噪比變化曲線Fig.5 RMSE curves versus SNR under error conditions

圖6 有誤差情況下波形估計偏差隨輸入信噪比變化曲線Fig.6 RMSE curves versus SNR under error conditions

圖7 有誤差情況下波形估計偏差隨快拍數(shù)變化曲線Fig.7 RMSE curves versus snapshot number under error conditions

6 結(jié)論

本文提出一種基于四元數(shù)域?qū)拵敯糇赃m應(yīng)波束形成方法，即QWSISP方法。本方法充分挖掘和利用四元數(shù)域陣列輸出矢量的對合信息，聯(lián)立入射信號非圓信息和四元數(shù)2階統(tǒng)計特性，有效地提取出期望信號，抑制干擾和噪聲，增大陣列虛擬孔徑，實現(xiàn)了寬帶條件下的魯棒波束形成。本文所提方法可應(yīng)用于多點源干擾背景下的雷達目標(biāo)檢測。