一種新型分?jǐn)?shù)階Tikhonov正則化載荷重構(gòu)技術(shù)及應(yīng)用

王能建， 任春平， 劉春生

(1. 哈爾濱工程大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱 150001； 2. 黑龍江科技大學(xué)，哈爾濱 150022)

反問題廣泛存在于國防軍事、航空、航海、礦山冶金及機(jī)械工程等領(lǐng)域。實(shí)際工程應(yīng)用中，如載荷重構(gòu)、系統(tǒng)參數(shù)識(shí)別等都屬于反問題范疇[1-2]。但在處理反問題的過程中由于系統(tǒng)或參數(shù)矩陣存在病態(tài)性，導(dǎo)致很難得到準(zhǔn)確解。因此，探尋一種穩(wěn)定求解反問題方法是國內(nèi)外學(xué)者不斷探索的重要課題，盡管許多學(xué)者作出了重要的貢獻(xiàn)，但目前還沒有完全成熟的理論研究技術(shù)。

整數(shù)階Tikhonov正則化重構(gòu)技術(shù)，作為處理反問題的一種間接手段，被許多學(xué)者所探究[3]。Choi等[4-5]研究整數(shù)階Tikhonov正則化方法，分析響應(yīng)數(shù)據(jù)中噪聲對(duì)重構(gòu)結(jié)果的影響。郭榮等[6]結(jié)合了整數(shù)階Tikhonov正則化與奇異值分解的方法，改善了結(jié)構(gòu)隨機(jī)載荷重構(gòu)精度。張磊等[7]研究了總體最小二乘整數(shù)階Tikhonov正則化技術(shù)對(duì)載荷重構(gòu)的影響。常曉通等[8]探究了基于 Green函數(shù)的整數(shù)階Tikhonov正則化載荷重構(gòu)方法。孫興盛等[9]結(jié)合矩陣攝動(dòng)與整數(shù)階Tikhonov正則化方法對(duì)隨機(jī)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了動(dòng)態(tài)載荷重構(gòu)研究。彭凡等[10]采用截?cái)嗥娈愔捣纸釺ikhonov正則化方法，對(duì)結(jié)構(gòu)沖擊載荷進(jìn)行了重構(gòu)研究。雖然整數(shù)階Tikhonov正則化重構(gòu)技術(shù)已被許多專家學(xué)者研究討論并得到了很多有價(jià)值的結(jié)論，但是其仍然存在著某些技術(shù)難點(diǎn)與不足，尤其是在工程實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域，該重構(gòu)技術(shù)目前國內(nèi)還沒有得到成熟的應(yīng)用。

王能建等[11]提出了路徑規(guī)劃與整數(shù)階Tikhonov正則化相結(jié)合的算法，并應(yīng)用到了甲板上艦載機(jī)牽引系統(tǒng)參數(shù)重構(gòu)中。劉春生等[12]將整數(shù)階Tikhonov正則化技術(shù)應(yīng)用到截割煤巖隨機(jī)載荷重構(gòu)中，驗(yàn)證了算法的可行性，但重構(gòu)的精度不夠理想。Liu等[13]將整數(shù)階Tikhonov正則化技術(shù)與小波變換相結(jié)合，應(yīng)用到礦山機(jī)械中，解決了該領(lǐng)域的許多重要問題。劉春生等[14]中已經(jīng)提到過關(guān)于分?jǐn)?shù)階微積分理論與正則化技術(shù)相結(jié)合的分?jǐn)?shù)階正則化技術(shù)在礦山機(jī)械領(lǐng)域的應(yīng)用，這將會(huì)是未來重要的研究課題方向。然而，目前國內(nèi)關(guān)于分?jǐn)?shù)階正則化技術(shù)研究報(bào)道較少，且其具體工程應(yīng)用還不夠成熟和完善。

本文在以前研究工作基礎(chǔ)上，針對(duì)上述重構(gòu)技術(shù)在實(shí)際工程應(yīng)用過程中所存在的不足，如系數(shù)矩陣病態(tài)性、抗噪弱、正則解平滑等問題，提出一種新型分?jǐn)?shù)階 Tikhonov正則化載荷重構(gòu)技術(shù)，其方法的技術(shù)路線為將動(dòng)載荷在時(shí)域表示為一系列核函數(shù)的疊加，并且結(jié)構(gòu)(系統(tǒng))的測(cè)量響應(yīng)表示為輸入載荷和核函數(shù)響應(yīng)之間的卷積分形式，由于核函數(shù)響應(yīng)矩陣的病態(tài)性和具有噪聲污染的測(cè)量響應(yīng)，通過離散可以將卷積方程轉(zhuǎn)化為線性方程組形式，對(duì)其進(jìn)行反求。然后利用本文提出的技術(shù)方法將反求過程轉(zhuǎn)化為一類無約束優(yōu)化問題，并采用超記憶梯度法求解目標(biāo)函數(shù)，最終獲得與真實(shí)載荷在精度上相匹配的識(shí)別載荷。

所提出的技術(shù)與以前的研究工作相比具有重要的改進(jìn)意義。①所提出的技術(shù)能夠克服病態(tài)問題的不適定性； ②將處理反問題的過程轉(zhuǎn)化為無約束的優(yōu)化問題，采用超記憶梯度法處理目標(biāo)函數(shù)，提高求解速度；③所提出的技術(shù)方法不需要任何關(guān)于載荷重構(gòu)模型的先驗(yàn)信息；④通過工程應(yīng)用例子，驗(yàn)證了所提出技術(shù)的實(shí)用性和穩(wěn)定性。

本文的結(jié)構(gòu)具體安排如下：第一部分，載荷重構(gòu)模型的描述；第二部分，一種新型分?jǐn)?shù)階 Tikhonov正則化載荷重構(gòu)技術(shù)被提出；第三部分，所提出技術(shù)在截齒截割煤巖載荷重構(gòu)中的應(yīng)用；第四部分，重要的結(jié)論被給出。

1 模型描述

動(dòng)態(tài)載荷識(shí)別問題是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中一類重要的反問題，在實(shí)際工程問題中，外部動(dòng)態(tài)載荷信息在結(jié)構(gòu)(系統(tǒng))動(dòng)力學(xué)分析、健康監(jiān)測(cè)、強(qiáng)度環(huán)境校核等領(lǐng)域扮演著非常重要的角色。然而在很多情況下，由于經(jīng)濟(jì)成本或者復(fù)雜環(huán)境等原因，直接測(cè)量工程結(jié)構(gòu)所受動(dòng)態(tài)載荷往往非常困難甚至是不可能的。然而，結(jié)構(gòu)響應(yīng)往往比較容易獲得，根據(jù)時(shí)域方法理論建立系統(tǒng)的載荷識(shí)別模型，通過核函數(shù)方法建立正問題方程，將動(dòng)載荷利用一系列核函數(shù)相疊加的方式表示，結(jié)構(gòu)的測(cè)量響應(yīng)就可表示為輸入載荷和核函數(shù)響應(yīng)之間的卷積分形式，即其模型可用第一類弗雷德霍姆(Fredholm)方程表示[15]

(1)

測(cè)量結(jié)構(gòu)響應(yīng)y(t)為含有噪聲e(t)的測(cè)量值，其可用下述表達(dá)式

yδ(t)=y(t)+e(t)

因此，式(1)可用式(2)代替

(2)

基于矩形公式，對(duì)式(3)進(jìn)行離散化處理

(3)

令yδ,k=yδ(tk)；zi=z(τi)；hk-i=h(tk-τi)。z=(z1,z2,…,zn-1,zn)T;Yδ=(yδ,1,yδ,2,…,yδ,n-1,yδ,n)T；A=(ak-i)n×n。

其中， 當(dāng)y≠i時(shí)

當(dāng)k=i時(shí)

AZ=Yδ

(4)

模型式(4)表明結(jié)構(gòu)(系統(tǒng))所受的動(dòng)載荷是通過其測(cè)量響應(yīng)和結(jié)構(gòu)的特性來識(shí)別的。但是，載荷識(shí)別問題作為結(jié)構(gòu)(系統(tǒng))動(dòng)力學(xué)的第2類逆問題，其具有不適定性，因此找到一個(gè)準(zhǔn)確解實(shí)際上是比較困難的，在科學(xué)和工程領(lǐng)域中許多逆問題都具有第一類或者第二類積分方程的形式，由于系統(tǒng)條件數(shù)較大的原因，直接基于最小二乘法的經(jīng)典數(shù)值算法是無效的。因此，需要應(yīng)用特定的正則化技術(shù)到實(shí)際工程應(yīng)用中。

2 新型分?jǐn)?shù)階Tikhonov正則化技術(shù)

國內(nèi)外學(xué)者雖然研究不同形式正則化技術(shù)，處理該類問題，但對(duì)于不同的重構(gòu)對(duì)象其正則解各不相同，尚未有統(tǒng)一的理論研究技術(shù)。據(jù)此，為了提高重構(gòu)模型解的穩(wěn)定性，本文在以前的研究工作基礎(chǔ)上，提出了一種新的分?jǐn)?shù)階Tikhonov正則化載荷重構(gòu)技術(shù)來處理此類存在的不足和問題。

2.1 新型分?jǐn)?shù)階Tikhonov正則化

首先，對(duì)式(4)中的矩陣A進(jìn)行奇異值分解可得

(5)

式中：U=(u1,u2,…,un)和V=(v1,v2,…,vn)分別為由左奇異向量和右奇異向量構(gòu)成的列正交矩陣。 并且∑為矩陣A的奇異值所構(gòu)造的對(duì)角矩陣，∑=diag(σ1,σ2,…,σn), 且σ1≥σ2≥…≥σn≥0。

新型分?jǐn)?shù)階Tikhonov正則化載荷重構(gòu)技術(shù)方法為將處理反問題的思想轉(zhuǎn)化為無約束的優(yōu)化問題，其具體目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式描述如下

(6)

新型分?jǐn)?shù)階Tikhonov正則化載荷重構(gòu)技術(shù)對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)階濾波因子表達(dá)式為

(7)

其漸進(jìn)性可被描述如下

從分?jǐn)?shù)階濾波因子漸進(jìn)性描述可知，分?jǐn)?shù)階Tikhonov正則化濾波因子與整數(shù)階Tikhonov正則化相比，收斂性相對(duì)慢，即其能夠克服正則解的過度光滑性。

2.2 正則參數(shù)的選取

L-曲線判別法一種經(jīng)典的選取正則化參數(shù)的有效方法。 對(duì)于一系列正則化參數(shù)值，用如下表達(dá)式進(jìn)行描述[16]

(lg‖AZ-Yδ‖2,lg‖Yδ‖2)

(8)

式中： ‖AZ-Yδ‖2, ‖Yδ‖2分別為殘差范數(shù)和正則解范數(shù)。通常情況下，最優(yōu)的正則化參數(shù)在L-曲線的拐角處。當(dāng)選取的正則化參數(shù)值比拐角處的值大時(shí)，殘差范數(shù)迅速增加而正則解范數(shù)只是很緩慢地減小；當(dāng)選取的正則化參數(shù)值比拐角處的值小時(shí)，正則解范數(shù)迅速增加而殘差范數(shù)卻很緩慢地減小。因此，選取L-曲線拐角處的正則化參數(shù)可以很好地平衡殘差范數(shù)和正則解范數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用中，通常只選取曲線拐角處幾個(gè)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，即可確定最優(yōu)的正則化參數(shù)值。

2.3 目標(biāo)函數(shù)的求解

式(6)是一類無約束的優(yōu)化問題，其目標(biāo)函數(shù)的求解有許多優(yōu)化算法。本文采用超記憶梯度法，其方法描述如下

Zk+1=Zk+dkhk

(9)

式中：hk為搜索方向

(10)

(11)

算法步驟如下

步驟2計(jì)算gk， 若‖gk‖≤ε， 則終止。

步驟3根據(jù)式(10)計(jì)算搜索方向。

步驟4根據(jù)式(11)確定步長(zhǎng)dk。

步驟5若滿足式(9)，則停止；如不滿足，則返回步驟1。

2.4 定量評(píng)價(jià)指標(biāo)

為了深入定量地評(píng)價(jià)所提出技術(shù)的載荷重構(gòu)精度，采用均方根誤差(Root Mean Square Error，RMSE)公式，其RMSE定義如下所示

(12)

式中：Zactual為實(shí)測(cè)載荷；Zid為重構(gòu)載荷。

3 工程應(yīng)用

鎬型截齒截割破碎煤巖試驗(yàn)是在旋轉(zhuǎn)截割煤巖試驗(yàn)振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行的[17]，如圖1所示。截割電動(dòng)機(jī)經(jīng)減速器和轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)矩儀驅(qū)動(dòng)截割臂旋轉(zhuǎn)，采用變頻調(diào)速方法調(diào)節(jié)截割臂轉(zhuǎn)速，截割試驗(yàn)臺(tái)的進(jìn)給運(yùn)動(dòng)通過液壓缸實(shí)現(xiàn)，經(jīng)速度傳感器反饋，可自動(dòng)和手動(dòng)調(diào)速。截齒的載荷測(cè)試系統(tǒng)由測(cè)力裝置、壓力傳感器、信號(hào)放大器和Dasp v10智能數(shù)據(jù)采集和信號(hào)處理系統(tǒng)等組成，在旋轉(zhuǎn)截割過程中，截齒所受到的載荷，通過截齒軸向、側(cè)向以及與截齒軸線垂直布置的五個(gè)壓力傳感器的變形量轉(zhuǎn)換為電信號(hào)，經(jīng)多路滑環(huán)將信號(hào)傳入Dasp v10智能數(shù)據(jù)采集和信號(hào)處理系統(tǒng)。

圖1 試驗(yàn)振動(dòng)系統(tǒng)Fig.1 Vibration test system

圖2所示的單齒試驗(yàn)載荷是在截齒安裝角為40°，煤巖截割阻抗180 kN/m，最大切削厚度20 mm，截割臂轉(zhuǎn)速為41 r/min，牽引速度為0.82 m/min的試驗(yàn)條件下測(cè)試得到。

同時(shí)也采集到該試驗(yàn)條件下的位移響應(yīng)信號(hào)，如圖3所示。然后根據(jù)位移響應(yīng)信號(hào)，利用提出的正則化技術(shù)來進(jìn)行載荷識(shí)別研究。

圖2 試驗(yàn)振動(dòng)載荷Fig.2 Test vibration load

圖3 位移響應(yīng)Fig.3 Displacement response

3.1 正則參數(shù)λ的影響

所有代碼均寫在MATLAB 7和運(yùn)行在HP與2 GB的RAM和Windows 7操作系統(tǒng)。參數(shù)設(shè)定如下：分?jǐn)?shù)階次α=0.6， 核函數(shù)因子ξ=1。

本文利用提出的一種新型Tikhonov正則化技術(shù)來處理在重構(gòu)過程中出現(xiàn)的病態(tài)性、噪聲干擾過強(qiáng)、正則解過度平滑等問題。以此確定所提出新技術(shù)的工程實(shí)踐應(yīng)用性及通用性。然而，關(guān)鍵的問題是如何選擇適當(dāng)?shù)恼齽t化參數(shù)以獲得最優(yōu)解。首先，根據(jù)L-曲線準(zhǔn)則，我們給出了L-曲線的示意圖，如圖4所示。從圖4可以清晰地看出，當(dāng)正則參數(shù)較小時(shí)，正則解的范數(shù)極其大，而相應(yīng)的殘差解的范數(shù)非常小，我們可以推測(cè)是由于測(cè)量誤差導(dǎo)致的。然而，當(dāng)正則參數(shù)較大時(shí)，正則解的范數(shù)極其小，而相應(yīng)的殘差解的范數(shù)非常大。

L-曲線的拐角暗示著過度，它表示的是一種折衷對(duì)于殘差解和正則解的范數(shù)。對(duì)分?jǐn)?shù)階正則化方法中正則化參數(shù)的選擇不能完全保證適用于所有的不適定性系統(tǒng)。然而，許多例子表明L-曲線準(zhǔn)則是一個(gè)強(qiáng)大的方法在確定正則化參數(shù)方面，適用許多重大的工程和數(shù)學(xué)問題。

圖4 L-曲線準(zhǔn)則Fig.4 L-curve criterion

為了進(jìn)一步探討正則參數(shù)L-曲線對(duì)數(shù)值例子的影響，從而確定最優(yōu)的正則參數(shù)通過L-曲線。根據(jù)L-曲線準(zhǔn)則，從圖4上選取不同的正則參數(shù)值來重構(gòu)截割煤巖隨機(jī)載荷，重構(gòu)結(jié)果如圖5所示。圖5(a)表明載荷重構(gòu)結(jié)果極其不理想歸因于較大的正則參數(shù)。然而，我們從圖5(d)和圖5(e)發(fā)現(xiàn)，即使正則參數(shù)較小(超出一定的范圍)，載荷重構(gòu)結(jié)果仍然脫離測(cè)量載荷。我們從圖5(b)和圖5(c)可知，重構(gòu)結(jié)果相對(duì)理想。

圖5 不同正則參數(shù)的重構(gòu)曲線Fig.5 The reconstruction curve of different regularization parameter

為了進(jìn)一步地定量評(píng)價(jià)不同正則參數(shù)對(duì)重構(gòu)效果的影響，給出了RMSE值隨正則參數(shù)的變化，如表1所示。從表1中的RMSE值可以清楚地判斷出，看到L-曲線拐角處的正則參數(shù)值給出的重構(gòu)結(jié)果, 和其他參數(shù)相比，拐角處的重構(gòu)效果較為理想。最佳的正則參數(shù)值在L-曲線拐角處，即在試驗(yàn)范圍內(nèi)，最優(yōu)正則參數(shù)值為λ=10-2。

表1 正則參數(shù)對(duì)載荷重構(gòu)的影響

3.2 核函數(shù)因子κ的影響

核函數(shù)因子ξ的變化直接影響載荷重構(gòu)的效果，研究理想ξ的值至關(guān)重要。參數(shù)設(shè)置如下：α=0.6，λ=10-2，ξ取整數(shù)值，分別給定為1，10，20，30，40，50，60，70，80，100。重構(gòu)結(jié)果如圖6所示。從圖6可以看出，隨著ξ值得不斷增大，重構(gòu)載荷明顯偏離實(shí)驗(yàn)載荷。為了進(jìn)一步地定量評(píng)價(jià)不同核函數(shù)因子對(duì)重構(gòu)效果的影響，給出了RMSE值隨核函數(shù)因子的變化，如表2所示。從表2中的RMSE值可以清楚地判斷出，RMSE隨核函數(shù)因子的增大而增加。因此，建議采取ξ值為1比較理想。

圖6 不同核函數(shù)因子的重構(gòu)曲線Fig.6 The reconstruction curve of different kernel function factor

ξ11020304050607080100RMSE0.007 60.273 30.288 60.291 30.298 20.314 20.333 30.356 70.424 10.475 0

3.3 分?jǐn)?shù)階次α的影響

為了深入討論分?jǐn)?shù)階次對(duì)載荷重構(gòu)結(jié)果的影響，從而確定最優(yōu)的階次值或階次區(qū)間。其參數(shù)設(shè)定如下：λ=10-2，ξ=1。 而階次α分別給定為0.1，0.2，0.3，0.4,0.5，0.6,0.7，0.8，0.9，1.0。通過結(jié)合分?jǐn)?shù)階Tikhonov正則化及L-曲線給出其重構(gòu)結(jié)果，如圖7所示。從圖7可以看出，隨著分?jǐn)?shù)階次的增大，載荷雖然都能夠被重構(gòu)出來，但重構(gòu)的效果卻不盡相同。

為了進(jìn)一步地定量評(píng)價(jià)不同分?jǐn)?shù)階次對(duì)重構(gòu)效果的影響，給出RMSE值隨分?jǐn)?shù)階次的變化，如表3所示。從表3中的RMSE值可以清楚地判斷出隨著分?jǐn)?shù)階次的增大，RMSE值呈先減小后增大的趨勢(shì)，存在著最小的RMSE，即存在最優(yōu)的分?jǐn)?shù)階次α=0.6綜合上述分析， 當(dāng)正則參數(shù)λ=10-2， 核函數(shù)因子ξ=1時(shí)， 存在最優(yōu)分?jǐn)?shù)階次值α=0.6， 此時(shí)載荷重構(gòu)相對(duì)較為理想。

圖7 不同分?jǐn)?shù)階次的重構(gòu)曲線Fig.7 The reconstruction curve of different fractional order

α0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0RMSE0.739 50.494 90.442 40.216 10.014 00.007 60.056 30.089 81.159 61.343 1

4 結(jié) 論

由于載荷重構(gòu)問題往往存在病態(tài)性和對(duì)噪聲敏感等不足，本文提出了一種新型分?jǐn)?shù)階Tikhonov正則化載荷重構(gòu)技術(shù)，并把重構(gòu)結(jié)果與整數(shù)階Tikhonov正則化的結(jié)果進(jìn)行比較研究，工程應(yīng)用算例表明本文提出的方法在動(dòng)載荷識(shí)別方面具有更強(qiáng)的抗噪性和魯棒性，為解決工程應(yīng)用中的反問題提供了一種新的有效方法。