理趣，數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)在追求

徐法焱

摘? 要：數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生“明理”?！袄砣ぁ睉?yīng)當(dāng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)在追求。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)固然要凸顯智趣、情趣、意趣，但更應(yīng)凸顯“理趣”。因?yàn)橹挥小懊骼怼保拍茏寣W(xué)生洞察數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。教學(xué)中，教師可引導(dǎo)學(xué)生用生活實(shí)踐詮釋“理”，從形成過(guò)程推斷“理”，以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)明晰“理”。進(jìn)而，讓“理”貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)理趣;內(nèi)在追求

數(shù)學(xué)不僅是一門(mén)抽象性、演繹性的學(xué)科，也是一門(mén)實(shí)驗(yàn)性、歸納性的學(xué)科。無(wú)論怎樣定位數(shù)學(xué)的學(xué)科屬性，數(shù)學(xué)教與學(xué)都必須講“理”。這里的“理”，既包括數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的來(lái)龍去脈，也包括數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，還包括數(shù)學(xué)知識(shí)所賴(lài)以存在的生活、實(shí)踐的土壤?；谛W(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科特質(zhì)，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)追求一種“理趣”。換言之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的演化邏輯、演化方法和演化證據(jù)。筆者結(jié)合日常數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，試談小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)如何講“理”。

一、用生活實(shí)踐詮釋“理”

小學(xué)數(shù)學(xué)是一種生活化的數(shù)學(xué)。它源自生活又高于生活。對(duì)于一些數(shù)學(xué)知識(shí)，抽象的說(shuō)教是無(wú)濟(jì)于事的。教學(xué)中，教師可以借助生活實(shí)理來(lái)詮釋“數(shù)理”、分析“數(shù)理”。有時(shí)，生活實(shí)踐的旁敲側(cè)擊能讓學(xué)生恍然大悟、茅塞頓開(kāi)。

1. 借生活事件“析理”

生活是小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)生成的源頭活水。發(fā)掘生活中的一些事件，能促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。比如教學(xué)《周期問(wèn)題》，如何讓學(xué)生理解“周期現(xiàn)象”，掌握周期現(xiàn)象中的一個(gè)周期數(shù)、周期個(gè)數(shù)。教學(xué)中教師可以借助生活中的現(xiàn)象，如太陽(yáng)的東升西落、一年的春夏秋冬、十二生肖輪回、校園里插的彩旗等生活事件、生活現(xiàn)象，幫助學(xué)生析“理”。當(dāng)學(xué)生建立了“周期”的表象，理解了“周期”的內(nèi)涵后，就能解決相關(guān)周期現(xiàn)象中的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

2. 借實(shí)踐體驗(yàn)“明理”

實(shí)踐是學(xué)生數(shù)學(xué)理解的最重要的方式。數(shù)學(xué)實(shí)踐包括數(shù)學(xué)觀(guān)察、數(shù)學(xué)操作等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)。通過(guò)實(shí)踐，一方面能積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，另一方面能形成某些數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)感悟。比如教學(xué)《減法的性質(zhì)》，如何讓學(xué)生理解“減去兩個(gè)數(shù)的和”與“減去兩個(gè)數(shù)的差”？從數(shù)理上直接解釋?zhuān)寣W(xué)生墜入云里霧里、不知所云。而引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)實(shí)踐活動(dòng)，就能讓學(xué)生“明理”。先讓學(xué)生將一本本子扔到室外，再將一本本子扔到室外，可換一種扔法嗎？學(xué)生想到可以捆起來(lái)一起扔。口袋里有a元，先給營(yíng)業(yè)員b元，營(yíng)業(yè)員再找回c元，實(shí)際上給了營(yíng)業(yè)員多少元？口袋里還剩多少元？通過(guò)角色扮演實(shí)踐活動(dòng)，學(xué)生能較深刻地理解“減法的性質(zhì)”。當(dāng)學(xué)生掌握了“減法性質(zhì)”的內(nèi)容和形式后，就能類(lèi)比遷移出“除法的性質(zhì)”了。

二、從形成過(guò)程推斷“理”

如果說(shuō)，生活實(shí)踐詮釋“理”，是借助外在因素追尋數(shù)學(xué)知識(shí)“理趣”的話(huà)，那么，從數(shù)學(xué)知識(shí)誕生的始末、數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程進(jìn)行推理，就能讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在的、本然性之“理”。數(shù)學(xué)中的許多先前概念、規(guī)律、法則等都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)新知、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理的重要依據(jù)。數(shù)學(xué)概念、定理等是不斷衍生、發(fā)展的。

1. 借上位知識(shí)演繹推“理”

認(rèn)知理論認(rèn)為，學(xué)生的學(xué)習(xí)一般有兩種方式——同化與順應(yīng)。在這個(gè)過(guò)程中，通常將抽象性、概括水平較高的知識(shí)稱(chēng)為上位知識(shí)，將抽象性和概括水平較低的知識(shí)稱(chēng)為下位知識(shí)。上位知識(shí)和下位知識(shí)在數(shù)學(xué)中是相對(duì)的。借助已有的上位知識(shí)，可以對(duì)新知進(jìn)行演繹。比如學(xué)生學(xué)習(xí)了《長(zhǎng)方形的面積公式》后，可以根據(jù)長(zhǎng)方形與正方形的種屬關(guān)系以及正方形的特征，直接演繹推理出正方形的面積公式。學(xué)習(xí)了《長(zhǎng)方體的體積》后，學(xué)生同樣可以根據(jù)長(zhǎng)方體和正方體的種屬關(guān)系以及正方體的特征，演繹推理出正方體的體積。演繹推理是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要方式，不僅讓學(xué)生理解知識(shí)的本質(zhì)，更讓學(xué)生牢固地建構(gòu)起知識(shí)結(jié)構(gòu)。

2. 借同位知識(shí)類(lèi)比推“理”

所謂“同位知識(shí)”，是指在邏輯關(guān)系上平行，在知識(shí)內(nèi)涵上相同或相近、相似的知識(shí)。借用同位知識(shí)，可以對(duì)許多相關(guān)知識(shí)進(jìn)行類(lèi)比。顯然，同位知識(shí)有助于培育學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想力。比如在小學(xué)數(shù)學(xué)中，“商不變的規(guī)律”“小數(shù)的性質(zhì)”“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”以及“比的基本性質(zhì)”等知識(shí)都有著親緣關(guān)系。再比如，“整數(shù)加減法”“小數(shù)加減法”和“分?jǐn)?shù)加減法”等知識(shí)也具有相似性。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生比較同類(lèi)知識(shí)的相同點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生提出相應(yīng)的數(shù)學(xué)猜想，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)猜想進(jìn)行驗(yàn)證。對(duì)于同位知識(shí)，教師要提煉出相同的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

3. 借下位知識(shí)歸納推“理”

某些數(shù)學(xué)知識(shí)之“理”，可以借用下位知識(shí)進(jìn)行歸納，這里的歸納包括完全歸納和不完全歸納。完全歸納具有數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，不完全歸納則需要進(jìn)行相應(yīng)的例證。比如對(duì)于《三角形的內(nèi)角和》，教師既可以讓學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究，也可以引導(dǎo)學(xué)生借助下位知識(shí)進(jìn)行推理。由于任意兩個(gè)完全相同的直角三角形都可以拼接成長(zhǎng)方形，因此直角三角形的內(nèi)角和是180°;由于任意的銳角三角形和鈍角三角形都可以沿著高分成兩個(gè)直角三角形，所以任意的銳角三角形、鈍角三角形的內(nèi)角和都是180°;由于直角三角形、鈍角三角形和銳角三角形的內(nèi)角和是180°，所以三角形的內(nèi)角和就是180°。在這個(gè)過(guò)程中，從長(zhǎng)方形內(nèi)角和演繹推理出直角三角形的內(nèi)角和，然后由直角三角形的內(nèi)角和演繹推理出銳角三角形、鈍角三角形的內(nèi)角和。最后，完全歸納出三角形的內(nèi)角和。從特殊到一般，從具體到抽象，數(shù)學(xué)上位知識(shí)得以建構(gòu)。

三、以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)明晰“理”

波利亞認(rèn)為，“數(shù)學(xué)不僅是一門(mén)演繹科學(xué)，更是一門(mén)實(shí)驗(yàn)性、歸納性的科學(xué)?！敝麑W(xué)者傅鷹教授說(shuō)：“實(shí)驗(yàn)是理性學(xué)科的最高法庭?！庇袝r(shí)，借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，能讓學(xué)生快速得出數(shù)學(xué)結(jié)論。從實(shí)驗(yàn)類(lèi)別上看，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)分為模擬實(shí)驗(yàn)、對(duì)比實(shí)驗(yàn)、模型實(shí)驗(yàn)和想象實(shí)驗(yàn)等。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，實(shí)驗(yàn)是學(xué)生明“理”的重要依據(jù)。因此，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)就是一種實(shí)證（包括證明和證偽）數(shù)學(xué)猜想、探究數(shù)學(xué)結(jié)論的過(guò)程。借助實(shí)驗(yàn)，學(xué)生能觀(guān)察現(xiàn)象、分析推理、獲得結(jié)論。

1. 觀(guān)察尋“理”

觀(guān)察是一種積極、主動(dòng)、自覺(jué)的，有計(jì)劃、比較持久的感知。觀(guān)察與思維活動(dòng)密切相關(guān)。因此，觀(guān)察被稱(chēng)為“思維的感知”。俄國(guó)著名生物學(xué)家巴甫洛夫?qū)⒖茖W(xué)研究界定為“觀(guān)察、觀(guān)察、再觀(guān)察”。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，許多實(shí)驗(yàn)需要操作與觀(guān)察融合，但有的以操作為主、觀(guān)察為輔，有的以觀(guān)察為主、操作為輔。比如教學(xué)《成正比例的量》，筆者讓學(xué)生在課件上描點(diǎn)。通過(guò)觀(guān)察，學(xué)生驚奇地發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)都在同一條直線(xiàn)上。接著，筆者向?qū)W生展示越來(lái)越多的點(diǎn)，學(xué)生在觀(guān)察中生發(fā)出一種連線(xiàn)的愿望。至此，從“數(shù)據(jù)整理”到“描點(diǎn)”“連線(xiàn)”，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)像呼吸一樣自然。最后，筆者啟迪學(xué)生思考：兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，至少需要描幾組數(shù)據(jù)的點(diǎn)呢？大部分學(xué)生認(rèn)為，需要兩組數(shù)據(jù)才能確定正比例的圖像。但還有一些善于觀(guān)察的學(xué)生認(rèn)為，只需要一組數(shù)據(jù)就行了，因?yàn)檫@些直線(xiàn)都經(jīng)過(guò)了原點(diǎn)，所以只需要再根據(jù)一組數(shù)據(jù)確定一個(gè)點(diǎn)，就能畫(huà)出正比例的圖像。試想，如果沒(méi)有深入觀(guān)察，學(xué)生會(huì)產(chǎn)生這樣的創(chuàng)造性觀(guān)點(diǎn)嗎？

2. 操作尋“理”

數(shù)學(xué)學(xué)科中的“操作”不是機(jī)械的操作，而是融合學(xué)生身體感官在內(nèi)的具身認(rèn)知。也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)操作是融合學(xué)生數(shù)學(xué)思維的，是一種“做思共生”“做思融合”的手腦協(xié)同活動(dòng)。歐拉說(shuō)，“數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科，需要觀(guān)察，更需要實(shí)驗(yàn)?！北热缃虒W(xué)《梯形的面積》，如果教師直接給學(xué)生提供兩個(gè)完全相同的梯形，那么學(xué)生會(huì)基于三角形面積推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)，輕松地推導(dǎo)出梯形的面積。但與此同時(shí)也束縛了學(xué)生的探究。為此，筆者在教學(xué)中，給同桌兩個(gè)學(xué)生，一個(gè)提供兩個(gè)完全相同的梯形，另一個(gè)只提供一個(gè)梯形。逼迫學(xué)生另辟蹊徑，想更多方法去推導(dǎo)梯形的面積。于是，提供兩個(gè)梯形的學(xué)生按照三角形的面積推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行旋轉(zhuǎn)、平移;提供一個(gè)梯形的學(xué)生按照平行四邊形的面積推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)，沿著高將梯形剪開(kāi)。探究過(guò)程集聚了學(xué)生的智慧，學(xué)生思維空間被打開(kāi)了。有學(xué)生將梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形;有學(xué)生將梯形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形;還有學(xué)生將梯形轉(zhuǎn)化成三角形，等等。借助操作，學(xué)生搭建了新舊知識(shí)的“金橋”，建立了數(shù)學(xué)知識(shí)的動(dòng)態(tài)表征，深刻理解并掌握了數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。

數(shù)學(xué)是“科學(xué)的皇后”，如果讓我們給學(xué)科劃界，數(shù)學(xué)應(yīng)該屬于“理科”。所以，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)講“理”，應(yīng)當(dāng)追求“理趣”?；跀?shù)學(xué)學(xué)科特質(zhì)，教學(xué)中教師可用生活實(shí)踐詮釋“理”，從知識(shí)形成過(guò)程推斷“理”，以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)明晰“理”，讓“理”貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。只有這樣，數(shù)學(xué)課堂才會(huì)充滿(mǎn)“理性味”“思考味”“數(shù)學(xué)味”。學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維、推理和探究能力才會(huì)得到不斷地發(fā)展，學(xué)生的數(shù)學(xué)“核心素養(yǎng)”才會(huì)得到提升。