從一道高考試題探究函數性質的聯(lián)系*

安徽省碭山中學 (235300)

蓋傳敏

眾所周知，函數的奇偶性、周期性及圖像的對稱性在函數中占有極其重要的地位，與之相關的問題在近幾年高考試卷及模擬試卷中頻繁出現(xiàn)，那么這“三性”之間有何聯(lián)系呢？本文結合一道高考題探討了“三性”之間的聯(lián)系，以供參考.

1.試題呈現(xiàn)

(2018課標2，11)已知f(x)是定義域為(-∞,+∞)的奇函數，滿足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2，則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( ).

A.-50B.0C.2D.50

解析:由f(1-x)=f(1+x)可得，函數f(x)關于直線x=1對稱，即f(-x)=f(2+x)(1)，又由f(x)是定義域為(-∞,+∞)的奇函數，可得f(0)=0,f(-x)=-f(x)(2).聯(lián)立(1)，(2)兩式可得f(x+2)=-f(x)，即f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，所以函數f(x)的最小正周期為4，又因為f(1)=2，f(2)=f(0)=0，f(3)=f(-1)=-2，f(4)=f(0)=0，所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.

2.探究拓展

性質1 若函數f(x)為奇函數且關于直線x=a(a≠0)對稱，則f(x)是T=4a的周期函數.

證明:由函數f(x)關于直線x=a對稱，可得f(-x)=f(2a+x)(1),又由函數f(x)為奇函數，可得f(-x)=-f(x)(2).聯(lián)立(1)，(2)兩式可得f(x)=-f(2a+x)，即f(x)是T=4a的周期函數.

性質2 若函數f(x)為偶函數且關于直線x=a(a≠0)對稱，則f(x)是T=2a的周期函數.

證明:由函數f(x)關于直線x=a對稱，可得f(-x)=f(2a+x)(1),又由函數f(x)為偶函數，可得f(-x)=f(x)(2).聯(lián)立(1)，(2)兩式可得f(x)=f(2a+x)，即f(x)是T=2a的周期函數.

性質5 若函數f(x)關于直線x=m(m≠0)對稱且是T=m的周期函數，則f(x)是偶函數.

證明:由函數f(x)關于x=m(m≠0)對稱，可得f(-x)=f(2m+x)(1)，又因為f(x)是T=m的周期函數，可得f(x)=f(2m+x)(2).聯(lián)立(1)，(2)兩式可得f(x)=f(-x)，即f(x)是偶函數.

性質6 若函數f(x)關于點(m,0)(m≠0)對稱且是T=m的周期函數，則f(x)是奇函數.

證明:由函數f(x)關于點(m,0)(m≠0)對稱，可得f(-x)=-f(2m+x)(1)，又因為f(x)是T=m的周期函數，可得f(x)=f(2m+x)(2).

聯(lián)立(1)，(2)兩式可得f(-x)=-f(x)，即f(x)是奇函數.

3.性質應用

(2014大綱全國，12)奇函數f(x)的定義域為R，若f(x+2)為偶函數，且f(1)=1，則f(8)+f(9)=( ).

A.-2B.-1C.0D.1

解析:由f(x+2)為偶函數可得，函數f(x)的圖像關于直線x=2對稱，又因為函數f(x)為奇函數，由性質1可得函數f(x)是以8為周期的函數，所以f(8)+f(9)=f(0)+f(1)=1.

4.結束語

以上可以看出，函數的奇偶性、周期性、對稱性三者之間相互聯(lián)系，在實際教學中若能從整體上把握這些性質，可以幫助學生開闊視野，對于提高學生的數學抽象、邏輯推理等數學核心素養(yǎng)都有很大幫助.