對(duì)2018全國(guó)Ⅲ卷21題參考答案的完善*

四川省瀘州市瀘州高級(jí)中學(xué) (646000)

呂榮春

四川省內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 (641100)

劉成龍

參考答案對(duì)我們來說非常熟悉，比如：每一套試卷都附有參考答案；各式各樣的參考資料書都附帶了參考答案；檢測(cè)完后老師會(huì)公布參考答案等等．在過去使用參考答案的過程中，我們感受了參考答案給我們帶來的便利：格式規(guī)范，能讓學(xué)生養(yǎng)成良好的書寫習(xí)慣；便于學(xué)生及時(shí)自我反饋檢測(cè)情況，第一時(shí)間糾正錯(cuò)誤；給教師備課帶來了方便等等．[1]但是，參考答案存在的問題給我們帶來了一些困惑．2018年全國(guó)Ⅲ卷理科21題(下文簡(jiǎn)稱“21題”)參考答案本身存在問題，讓一線教師使用起來很困難.本文對(duì)21題參考答案進(jìn)行完善，供同仁們參考．

試題(21題)已知函數(shù)f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.

(Ⅰ)若a=0，證明：當(dāng)-10時(shí)，f(x)>0；

(Ⅱ)若x=0是f(x)的極大值點(diǎn)，求a.

一、參考答案存在的問題

為行文方便，這里先給出考試中心提供的答案：

(Ⅰ)略；

(Ⅱ)(ⅰ)若a≥0，由(Ⅰ)知，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>(2+x)ln(1+x)-2x>0=f(0)，這與x=0是f(x)的極大值點(diǎn)矛盾；

二、參考答案的完善

下面給出命題的證明：

證明：(充分性)若x=0是f(x)的極大值點(diǎn)，則存在δ1>0，使得當(dāng)x∈(-δ1,0)時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x∈(0,δ1)時(shí)，f′(x)<0.因?yàn)閔′(x)=

同理可證當(dāng)x∈(0,δ2)時(shí)，有h′(x)<0.于是，x=0是h(x)的極大值點(diǎn).

x∈(-δ′,0)時(shí)，有h′(x)=

同理可證存在δ6>0，當(dāng)x∈(0,δ6)時(shí)，有f′(x)<0，故x=0是f(x)的極大值點(diǎn).

文中命題的證明權(quán)作為參考答案的補(bǔ)充，希望對(duì)大家理解參考答案有所幫助！