一類有緊支集Novikov型方程的大時間行為

曹亞強，余 闖，郭正光

(溫州大學數理與電子信息工程學院，浙江溫州 325035)

Novikov方程

是Vladimir Novikov在對稱分類中發(fā)現的具有三次非線性的非局部偏微分方程[1]，Novikov方程被證明是可積的.Rodríguez-Blanco在文獻[2]中證明了方程（1）在Sobolev空間中的適定性，Ni和Zhou在文獻[3]中證明了方程（1）在Besov空間中是局部適定的，其中s=32是適定的臨界指數[4]，Yan等[5]證明了方程（1）在Besov空間中局部適定性的某些假設，并且表明方程（1）在Sobolev空間Hs（?），s＜中是不適定的[6].我們在本文中將方程（1）推廣為以下方程：

相關的初值u（x;t=0）=u0（x），這里的a＞0,b＞0是任意的常數，初始動量y（0,x）=u（0,x）-uxx（0,x）（簡記為y0）非負且具有緊支集.在本文中，無窮遠處的零邊界條件已經被施加于u（x,t）和它的所有可能的導數，除了a=3和b=1（在方程（1）中）之外，方程（2）的可積性仍然不確定，所以本文的主要目的是討論這些系數如何影響解的大時間行為.通過對方程Camassa-Holm和Degasperis-Procesi的深入研究，我們試圖選擇a和b的適當關系來討論方程（2）的大時間行為.Li等在文獻[7]中對方程（2）的持續(xù)性質和爆破現象進行了探討，基于Kato的半群理論[4]可以證明方程（2）的局部適定性，根據Ni和Zhou在[3]中所作的工作，這里我們跳過它的細節(jié)，重點關注解的動量支集的大時間行為，證明在全局解存在的條件下，隨著時間趨于無窮大動量支集也足夠大.

1 準備知識

介紹一些基本的符號和屬性.假設u（x,t）是方程（2）的一個光滑解，并且y（x,t）=（1-）u（x,t），于是u（x,t）和ux（x,t）能夠表示為：

從（3）式和（4）式可以直接得知：

另一方面，為了方便討論方程（1）的等價形式為：

為了定理證明，引入特征方法.設q（x,t）是隨著解u（x,t）發(fā)展的粒子軌跡，并且滿足方程初始值q（x, 0）=x，易看出q（x,t）是一個單調遞增的同胚線，它保持

事實上，通過直接計算有：

為了方便介紹，引入以下符號：

通過簡單的計算，對于E+（x,t）有：

類似地，對于E-（x,t）有：

2 大時間行為

本節(jié)研究具有緊支集的解的大時間行為以及初始值保持它的符號不變性.這里只關注a=b3的情形，因為有可能確定E+（x,t）和E-（x,t）的單調性對于我們的研究至關重要，這個靈感來自于（5）式、（8）式和（9）式.以下是結果.

定理1 假設y0（x）在區(qū)間[m,n]上具有緊支集，并且保持符號不變.如果a=3b，則當t→+∞時，有：

證明：通過（8）式得到：

類似地，

如果y0(x)≥0，從（7）式可以知道，y（x,t）≥0在上有緊支集，并且從（3）式和（5）式可以有u（x,t）≥0以及u+ux≥0，因此對于（11）式和（12）式有：

E+（t）和E-（t）的單調性也意味著I（t）是嚴格單調遞增的，II（t）是嚴格單調遞減的.由于II（t）是嚴格單調遞減并且是正的，所以當t趨向與+∞時，II（t）的極限存在，我們稱

從（7）式可以得到：

然后有：

因此從（15）式的角度看，當t→+∞時，e2q（n,t）-e2q（m,t）→+∞.

如果y0（x）≤ 0，可以通過類似的方法，很容易得到

注意到I（t）是單調遞減的，而II（t）是嚴格單調遞增并且是負的，所以可以通過矛盾來證明

利用H?lder's不等式，有：

化簡得到：

然后可得到當t→∞時，e2q（n,t）-e2q（m,t）→+∞.