一個全平面上非齊次核的Hilbert型不等式

有名輝

(浙江機電職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室，浙江杭州 310053)

設(shè)f(x) ,g(x)≥0，且，則

其中π是滿足（1）式的最佳常數(shù)因子[1].不等式（1）即經(jīng)典的Hilbert不等式，以它為代表的Hilbert型不等式在分析學(xué)中有著重要的作用[2-3].

近年來，通過對積分核進行推廣、演變，并借助實分析及復(fù)分析的相關(guān)技巧，研究者們建立了一系列定義在R+R+× 的Hilbert型不等式[4-9].與此同時，一些定義在全平面上Hilbert型不等式也零星地出現(xiàn)在各類文獻中[10-12].如2013年，文[13]建立了如下一個核為雙曲余割函數(shù)的Hilbert型積分不等式：

本文將建立如下核為雙曲余割函數(shù)，定義在R×R上的Hilbert型積分不等式：

1 引 理

引理1 設(shè)r,s,β＞0,，x,y≠0，則

其中

證明：令xy=t，則

利用K(1,t)t∈(0,+∞)的無窮級數(shù)展開，可得

令u=[(r+s)k+r]t，則

故

類似地，令u=t-，可得

結(jié)合（8）式和（9）式，并利用（6）式，可得

把（10）式代入（7）式，即得（4）式.

類似可證（5）式.引理1證畢.

引理2 設(shè)r,s＞0,φ(x):=cotx,n∈N+,Cβ(r,s)如引理1定義，則

證明：由φ(x)=cotx的部分分式展開形式（見[14]p 397）：

對（12）式兩邊求2n-1階導(dǎo)數(shù)，得

因此（11）式成立，引理2得證.

引理3Bn(n∈N+)是Bernoulli數(shù)[14]：φ(x):=cotx，則

證明：在（11）式中，令r=s，則

注意到[15]可得

結(jié)合（15）和（16）兩式，可得（14）式.引理3得證.

證明：

令xy=t，由Fubini定理，可知

類似地，令xy=-t，由Fubini定理，可算得

結(jié)合（18）、（19）和（20）三式，可得

2 定 理

則

其中Cβ(r,s)如引理1定義，且 Γ(β+ 1)Cβ(r,s)是滿足（21）式的最佳常數(shù)因子.特別地，當(dāng)β=2n-1,n∈N+時，有

證明：由H?lder不等式和引理1，可知

若（23）式取等號，則有不全為零的實數(shù)A與B，使得

即

于是，有常數(shù)C，使得

不妨假設(shè)A≠0,則a.e.于(-∞,+∞).這與＜∞矛盾.故（23）式不取等號，（21）式得證.下證（21）式中的Γ(β+1)Cβ(r,s)為最佳常數(shù)因子.事實上，若此常數(shù)因子不為最佳，則有實數(shù)k（0＜k＜Γ(β+1)Cβ(r,s)），使得（21）式中的常數(shù)因子換成k后（21）式仍成立.即

用引理4中定義的fε和gε分別取代（24）式中的f和g，則

把引理4的結(jié)果代入上式，得： Γ(β+1)Cβ(r,s)+o(1)＜k.

令ε→0+，則k≥Γ(β+1)Cβ(r,s)，這與k＜Γ(β+1)Cβ(r,s)矛盾.故（21）式中的常數(shù)因子為最佳值.

特別地，令β=2n-1,n∈N+，利用（11）式，并注意到 Γ(2n)=(2n-1)!，可得（22）式.定理1證畢.

3 推 論

在（22）式中，令r=s,由引理3，得

則

特別地，在（25）式中，令n=r=1，并注意到，可得（3）式.

在（22）式中，令r=p,s=q，可得

推論2 設(shè)p＞1，，n∈N+,φ(x):=cotx,f(x) ,g(x)≥0，滿足

則

特別地，在（26）式中，令n=1，則

推論3 設(shè)p＞1，,φ(x) :=cotx,f(x) ,g(x)≥0，滿足

則

特別地，在（27）式中，令n=1，則