矩陣和行列式的幾何意義及其應(yīng)用

陸昭昭

【摘要】矩陣和行列式對(duì)于向量空間的研究十分重要。本文首先給出了矩陣和行列式的定義，并介紹了矩陣及行列式的基本計(jì)算法則；然后基于矩陣的基本計(jì)算，探究了兩個(gè)基本的幾何變換（旋轉(zhuǎn)和伸縮）及其對(duì)應(yīng)的矩陣形式及參數(shù)；最后給出了幾個(gè)典型的應(yīng)用場(chǎng)景：求曲線旋轉(zhuǎn)后的解析表達(dá)式、根據(jù)解析表達(dá)式確定曲線的位置。

【關(guān)鍵詞】矩陣 行列式 伸縮旋轉(zhuǎn) 解析幾何

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2019）03-0148-02

1.引言

高中數(shù)學(xué)雖不涉及矩陣和行列式，但其解析幾何、多元方程組的相關(guān)知識(shí)可以與矩陣建立較強(qiáng)的聯(lián)系。通過(guò)對(duì)矩陣及行列式的定義進(jìn)行研究并探究其幾何意義，可以為一些解析幾何問(wèn)題提供新思路[1，2]。

伸縮和旋轉(zhuǎn)是兩類(lèi)典型的幾何變換，利用矩陣乘法可以建立初始向量和變換（伸縮或旋轉(zhuǎn)或兩者的組合）后向量的關(guān)系，在向量空間中伸縮和旋轉(zhuǎn)變換均可以和相關(guān)矩陣相對(duì)應(yīng)?；谶@一想法，本文探究了伸縮和旋轉(zhuǎn)變換的具體矩陣形式和參數(shù)。并探究了這一結(jié)果在解析幾何中的應(yīng)用。本文在第二部分主要介紹了一些基本概念和基本運(yùn)算法則，并從向量空間的相關(guān)概念出發(fā)，將矩陣乘法和伸縮旋轉(zhuǎn)等幾何變化過(guò)程聯(lián)系起來(lái)。在第三部分主要給出了這一幾何意義在解析幾何問(wèn)題中的應(yīng)用。

2.矩陣及行列式的基本概念

2.1矩陣的基本概念及運(yùn)算

矩陣的本質(zhì)是一個(gè)表格，由m×n個(gè)數(shù)組成。

A=

矩陣A可簡(jiǎn)寫(xiě)為（a ） 。當(dāng)m=n時(shí)，矩陣是一個(gè)方陣。當(dāng)m=1時(shí)，矩陣有1行n列，稱(chēng)之為行向量。當(dāng)n=1時(shí)，矩陣有m行1列，稱(chēng)之為列向量[1]。向量是特殊的矩陣，了解這一特性有助于對(duì)后續(xù)相關(guān)理論的推導(dǎo)。

矩陣可以進(jìn)行加法和乘法計(jì)算：

A+B=（a ） +（b ）

A=（a ） B=（b ）

AB=（c ）

c = a b （i=1，…m；j=1，…n）

可以看到，矩陣的加法是將兩矩陣對(duì)應(yīng)元素分別相加。矩陣的乘法則是根據(jù)“左行乘右列”的法則，進(jìn)行m×n次相乘及求和的計(jì)算，形成一個(gè)新的矩陣。特別地，如果是行向量乘以列向量，那么新的矩陣是一行一列，也就是一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)等于兩個(gè)向量的內(nèi)積。

2.2矩陣的行列式

行列式是與矩陣相關(guān)的一個(gè)概念。只有方陣（行數(shù)與列數(shù)相等的矩陣）存在行列式。n階方陣A=（a ） ，其行列式det（A）或|A|的定義為

det（A）= （-1） a ，a …a

|A|= （-1） a ，a …a

二階行列式的表達(dá)式為：

A=a bc d |A|=ad-bc

行列式與矩陣的乘法運(yùn)算具有如下關(guān)系：

|AB|=|A||B|

2.3逆矩陣與轉(zhuǎn)置矩陣

如下所示，單位矩陣E是矩陣對(duì)角線上全為1的矩陣

E=

單位矩陣具有特殊的性質(zhì)，它類(lèi)似于實(shí)數(shù)運(yùn)算中的“1”，類(lèi)比來(lái)看，相乘等于1的兩數(shù)互為倒數(shù)。相乘為單位矩陣的兩個(gè)方陣互為逆矩陣。A的逆矩陣寫(xiě)作A

AB=E B=A

將一個(gè)矩陣的行列顛倒形成，形成的矩陣為轉(zhuǎn)置矩陣，記為A ， 若A是方陣，則它轉(zhuǎn)置后對(duì)角線元素不變，且行列式不變。兩矩陣相乘后的轉(zhuǎn)置有（AB） =B A ，這一性質(zhì)可以由矩陣“左行乘右列”的法則推導(dǎo)出來(lái)，且在后續(xù)的應(yīng)用探究中有很大的作用。

A= A =

|A||A | （AB） =B A

2.4矩陣和行列式的幾何意義探究

對(duì)矩陣的乘法運(yùn)算進(jìn)行進(jìn)一步探究和分析?？梢钥吹剑琻維行向量乘以n階方陣，可形成新的n維行向量。換言之，向量通過(guò)矩陣乘法變成一個(gè)新的向量。受此啟發(fā)，可以用矩陣刻畫(huà)向量的變換。

首先考慮伸縮變換，伸縮變換可以簡(jiǎn)單理解為將某一向量x、y軸的坐標(biāo)分別擴(kuò)大某一倍數(shù)。經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單推導(dǎo)，伸縮變換對(duì)應(yīng)的矩陣可以寫(xiě)為T(mén)。

T=a 00 b

A=[x y] AT=[ax by]

考慮旋轉(zhuǎn)變換，一個(gè)向量A繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ形成A′，根據(jù)高中數(shù)學(xué)中極坐標(biāo)和三角函數(shù)的相關(guān)理論可以做出如下推導(dǎo)

A=[x y] x=rcosα y=rsinα

A′=[x′ y′] x′=rcos（α+θ） y′=rsin（α+θ）

[x′ y′]=[rcosαcosθ-rsinαsinθ rsinαcosθ+rcosαsinθ]

=[xcosθ-ysinθ xsinθ+ycosθ]

=[x y]cosθ sinθ-sinθ cosθ

根據(jù)上述推導(dǎo)，二維矩陣進(jìn)行順（逆）時(shí)針旋轉(zhuǎn)變換的矩陣[3，4]可以寫(xiě)為

R1=cosθ sinθ-sinθ cosθ（逆時(shí)針） R2=cosθ -sinθsinθ cosθ（順時(shí)針）

求取上述兩個(gè)矩陣的行列式及逆矩陣，可得

|R1|=|R2|=1 R1R2=E

具體地，其一，R1行列式為1，從幾何意義上來(lái)看，將一個(gè)向量進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，它的模長(zhǎng)不變；其二，R1 R2相乘為單位矩陣（即兩者互為逆矩陣）。從幾何意義上來(lái)看，將一個(gè)向量相繼順時(shí)針和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)相同角度，該向量不變（作用等同于單位矩陣）。

3.應(yīng)用探究

3.1 求曲線旋轉(zhuǎn)后的解析表達(dá)式

將雙曲線x2-y2=1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（銳角，tanθ=3/4），探究旋轉(zhuǎn)后曲線的解析式及旋轉(zhuǎn)后漸近線的表達(dá)式。

寫(xiě)出順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ的旋轉(zhuǎn)矩陣，即

R=cosθ -sinθsinθ cosθ= 4/5 -3/53/5 4/5

旋轉(zhuǎn)后的曲線坐標(biāo)[x′ y′]與原始的雙曲線有如下關(guān)系

[x y]R=[x′ y′]

[x y]=[x′ y′]R-1

=[x′ y′]4/5 3/5-3/5 4/5

根據(jù)矩陣乘法及雙曲線的原表達(dá)式，可以得到旋轉(zhuǎn)后的雙曲線解析表達(dá)式。

x=4/5x′-3/5y′y=3/5x′+4/5y′？圯7x2-7y2-48xy=25x2-y2=1

原雙曲線的漸近線為y=±x，可以得到其直線的方向向量，通過(guò)對(duì)直線的方向向量進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，可以得到旋轉(zhuǎn)后的兩條漸近線。

[1 1]4/5 -3/53/5 4/5=[7/5 1/5]？圯y= x

[1 -1]4/5 -3/53/5 4/5=[1/5 -7/5]？圯y=-7x

可以看到，我們可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)矩陣（及其逆矩陣）構(gòu)造兩條雙曲線之間的關(guān)系，進(jìn)而求得具體解析表達(dá)式。新的解析式有交叉項(xiàng)xy，這比規(guī)整（焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上）的圓錐曲線解析式更為復(fù)雜。旋轉(zhuǎn)后，兩條漸進(jìn)線仍然保持了互相垂直的特性，這說(shuō)明旋轉(zhuǎn)變換不會(huì)改變曲線的相對(duì)位置。

3.2 根據(jù)曲線解析表達(dá)式求曲線的位置

已知圓錐曲線的方程為9x2+11y2=2 xy=24，求其焦點(diǎn)坐標(biāo)。

該圓錐曲線的二次項(xiàng)系數(shù)均大于0，判斷它是平面上的橢圓。根據(jù)3.1的相關(guān)結(jié)論，解析式中有交叉項(xiàng)xy，其焦點(diǎn)并不在坐標(biāo)軸上。又根據(jù)第二章的推導(dǎo)，任一橢圓均可由單位圓進(jìn)行伸縮和旋轉(zhuǎn)變換得到。那么對(duì)任意橢圓進(jìn)行逆變換（即反向旋轉(zhuǎn)和伸縮），同樣可以得到單位圓?；趦蓚€(gè)結(jié)論，我們?cè)O(shè)單位圓上的點(diǎn)為[x0 y0]，有

x02+y02=1

[x0 y0]=[x y]A

對(duì)橢圓進(jìn)行旋轉(zhuǎn)、伸縮變換得到單位圓。因此變換矩陣A是旋轉(zhuǎn)矩陣與伸縮矩陣的復(fù)合，將它寫(xiě)成旋轉(zhuǎn)矩陣與伸縮矩陣相乘的形式

A=cosθ -sinθsinθ cosθa 00 b

將單位圓方程x02+y02=1寫(xiě)為矩陣形式，并利用[x0 y0]=[x y]A做相應(yīng)推導(dǎo)

x02+y02=1

？圳[x0 y0][x0 y0]T=1

？圳[x y]A（[x y]A）T=1

？圳[x y]（AAT）[x y]T=1

將橢圓方程寫(xiě)為矩陣形式

9x2+11y2=2 xy=24

？圳 [x y]9 11[x y]T=1

兩式形式一致，可得

AAT=cosθ -sinθsinθ cosθa 00 ba 00 bcosθ sinθ-sinθ cosθ

= 9 11

由第二部分矩陣相乘與行列式的關(guān)系

AAT=cosθ -sinθsinθ cosθa 00 ba 00 bcosθ sinθ-sinθ cosθ

=1·ab·ab·1=9/24 /24 /24 11/24=1/6？圯a2b2=1/6

又由三角函數(shù)相關(guān)理論得

AAT=cosθ -sinθsinθ cosθa 00 ba 00 bcosθ sinθ-sinθ cosθ

=a2cos2θ+b2sin2θ … … a2sin2θ+b2cos2θ

=9/24 … … 11/24？圯

（a2cos2θ+b2sin2θ）+（a2sin2θ+b2cos2θ）=9/24+11/24a2+b2=5/6

計(jì)算可得a， b， θ的一組解

a= b= θ=-π/6

根據(jù)本文2.4的相關(guān)分析， A代表著如下的旋轉(zhuǎn)、伸縮過(guò)程：將圖形（橢圓）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)-π/6；將圖形（橢圓）橫縱坐標(biāo)分別縮小 ， 倍。那么我們考慮其逆變換，將單位圓橫縱坐標(biāo)分別擴(kuò)大相應(yīng)倍數(shù)，得到一焦點(diǎn)在x軸上的橢圓。其焦點(diǎn)坐標(biāo)為[±1 0]。再順時(shí)針旋轉(zhuǎn)π/6，則該橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)為[± /2 1/ ]。

可以看到，在這個(gè)應(yīng)用探究中，我們利用了將二次解析式轉(zhuǎn)化為矩陣形式表達(dá)的技巧。巧妙地利用AAT這一對(duì)稱(chēng)矩陣刻畫(huà)了單位圓與任意橢圓之間的關(guān)系，將該探究問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)求相關(guān)參數(shù)的代數(shù)問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。在計(jì)算過(guò)程中，我們利用第二章所述的行列式概念及相關(guān)性質(zhì)，配合運(yùn)用三角函數(shù)的恒等式簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程，提高了計(jì)算效率。

4.結(jié)語(yǔ)

本文基于矩陣和行列式的基本概念，建立了向量變換與矩陣、行列式的聯(lián)系。并對(duì)簡(jiǎn)單幾何變換（伸縮和旋轉(zhuǎn)）對(duì)應(yīng)的矩陣及其相關(guān)參數(shù)進(jìn)行了深入的分析、探究，并做了相關(guān)推導(dǎo)和計(jì)算。利用這一結(jié)果，給出了兩類(lèi)典型解析幾何問(wèn)題的求解思路，即構(gòu)造簡(jiǎn)單曲線與復(fù)雜曲線之間的矩陣關(guān)系，利用矩陣乘法的相關(guān)法則定量刻畫(huà)曲線間的關(guān)系。本文所提解決方法思路清晰，有較大的實(shí)用價(jià)值。

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