基于半?yún)?shù)模型的風(fēng)險(xiǎn)度量方法及其應(yīng)用

胡宗義，唐建陽，萬 闖

（湖南大學(xué) 金融與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，長沙 410012）

0 引言

尋找合適的風(fēng)險(xiǎn)度量工具是風(fēng)險(xiǎn)測度工作的第一步也是重要的一步。在度量風(fēng)險(xiǎn)的眾多方法中，在值風(fēng)險(xiǎn)（VaR）因其概念直觀、計(jì)算簡單等特點(diǎn)逐漸成為度量風(fēng)險(xiǎn)的主要工具。但VaR存在一些缺陷而飽受爭議，如不滿足風(fēng)險(xiǎn)可加性條件、無法有效利用分布總體信息以及對極端損失不敏感。鑒于VaR種種缺陷，Artzner等（1999）[1]提出使用預(yù)期不足（ES）代替VaR。ES定義為超出VaR部分資產(chǎn)損失的平均值，即ES（τ）=E（Y|Y＞VaR（τ））。與 VaR 相比，ES充分利用了資產(chǎn)損益分布的尾部信息，其大小也與損失的規(guī)模緊密相關(guān)，重要的是Rossi等（2009）[2]證明了ES為一致性的風(fēng)險(xiǎn)度量工具。

盡管ES從定義上來看克服了VaR的有關(guān)缺陷，但是測度ES卻并不是一項(xiàng)容易的工作?，F(xiàn)有度量ES的模型大多為參數(shù)模型，該類模型的一般步驟為首先假定收益序列服從某種分布，然后計(jì)算給定水平下的分位數(shù)作為VaR的估計(jì)值，根據(jù)VaR估計(jì)值對尾部的分布求積分。然而參數(shù)ES模型至少存在兩點(diǎn)不足：第一，收益序列的分布隨著時(shí)間的變化而變化，因此很難用一個(gè)合理的假設(shè)來刻畫其分布類型；第二，在參數(shù)模型中，ES計(jì)算往往會涉及到積分運(yùn)算，而在很多分布假定下，ES的積分運(yùn)算不存在閉形式，因而會帶來很大計(jì)算壓力。

本文采用兩種半?yún)?shù)模型度量ES，兩種模型都是基于Engle和Mangnelli（2004）[3]提出的條件自回歸在值風(fēng)險(xiǎn)（CAViaR）模型基礎(chǔ)上得到。本文將兩類模型引入到我國滬深股市中，實(shí)證分析兩種模型在度量ES的效果上的優(yōu)劣，進(jìn)而總結(jié)兩者模型的異同、優(yōu)缺點(diǎn)等，為相關(guān)金融從業(yè)人員提供一種新的度量ES的手段，從而完善并發(fā)展我國股市風(fēng)險(xiǎn)度量技術(shù)。

1 模型構(gòu)建

1.1CAViaR模型

CAViaR模型是由Engle和Mangaelli（2004）[3]提出，該模型是以分位數(shù)回歸為基礎(chǔ)，根據(jù)市場沖擊特點(diǎn)來調(diào)整自回歸形式，直接得到VaR的估計(jì)值。鑒于CAViaR模型的種種優(yōu)點(diǎn)，使其迅速成為度量VaR的常用方法之一。CAViaR模型的一般形式如下：

其中ft（β）表示t時(shí)刻收益率的條件分位數(shù)（即VaRt），l（xt-j;Ωt）表示t-j時(shí)刻有限階滯后可觀測變量的函數(shù)并且是關(guān)于Ωt-j是可測的，它可以是收益率觀測值或其他影響VaR大小的因素。VaR的滯后項(xiàng)βift-i（β）可以確保分位數(shù)更平滑的隨著時(shí)間變化。Engle等給出了4種CAViaR模型形式，但是黃大山和盧祖帝（2004）[4]，劉新華和黃大山（2005）[5]分別用Chow檢驗(yàn)和Hansen檢驗(yàn)已經(jīng)證明了Engle力薦的四種CAViaR模型不能很好地刻畫中國股票市場特征。鑒于此，后來不斷有國內(nèi)學(xué)者提出各種改進(jìn)的特征模型，用以豐富國內(nèi)股票市場風(fēng)險(xiǎn)度量的研究，如王新寧和宋學(xué)峰等（2008）[6]提出的間接TARCH-CAViaR模型、張穎和孫和風(fēng)（2012）[7]提出的GJR-CAViaR模型。結(jié)合國內(nèi)外學(xué)者研究成果，本文選取以下四種模型形式為最終的實(shí)證模型。

非對稱斜率（Asymmetric Slope,AS）—CAViaR:

間接GARCH（Indirect GARCH（1,1）,IG）—CAViaR:

間接TARCH（Indirect TARCH,IT）—CAViaR

GJR-CAViaR模型：

其中 （yt-1）+=max（yt-1,0）,（yt-1）-=-min（yt-1,0），yt為金融資產(chǎn)收益序列。

1.2CARES模型

同樣，ES作為特殊的條件VaR，也應(yīng)該存在自相關(guān)的特征，因此可以用自回歸方程刻畫ES的變化過程，其一般形式為：

其中γ為模型參數(shù)，γigt-i（γ）為 ES 的自回歸項(xiàng)，m（yt-j;Ωt）表示t-j時(shí)刻有限階滯后可觀測變量的函數(shù)并且是關(guān)于Ωt-j是可測的。CARES模型的估計(jì)ES分為兩步。

第一步：估計(jì)給定水平θ下的VaR值，即VaRt（θ）=ft（β），即計(jì)算與該CARES模型具有相同形式的CAViaR模型。對于CAViaR模型采取分位數(shù)回歸的方法估計(jì)參數(shù)，其目標(biāo)函數(shù)為：

從第一步結(jié)果可以獲得β和VaRt（θ）的估計(jì)值

第二步：估計(jì)ES。ES定義為超出VaR部分的均值，因此在第二步中，只需對收益率的觀測值超出相應(yīng)的VaR部分進(jìn)行建模。但是與式（7）中目標(biāo)函數(shù)采用絕對值距離之和不同，在參數(shù)模型中，ES大小與收益率的波動率呈明顯的平方關(guān)系。由此類推，在第二步中，用模型（6）估計(jì)ES，即gt（γ）=ESt（θ），模型（6）參數(shù)估計(jì)采用平方損失函數(shù)：

1.3CARE模型

條件自回歸expectile（CARE）模型是Taylor在2008年提出來，CARE模型是在Engle和Mangnelli（2004）[3]的CAV-iaR模型的基礎(chǔ)上稍作改進(jìn)得到，兩者之間既相似但不完全相同。主要區(qū)別在于模型參數(shù)的估計(jì)方法上，CAViaR模型主要是基于Koenker和Bassett（1978）[8]提出的分位數(shù)回歸的基礎(chǔ)上得到，而CARE模型則是在Newey和Powell（1987）[9]提出的expectile回歸得到的。用expectile度量VaR和ES的一個(gè)重要原理是分位數(shù)與expectie之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系。既然VaR可以看作某一分位數(shù)的估計(jì)值，因此可以用相對應(yīng)水平下的expectile估計(jì)值度量VaR，進(jìn)而獲得ES估計(jì)值。

本文首先來介紹expectile與ES之間的關(guān)系。與分位數(shù)回歸考慮絕對值偏差不同，expectile回歸考慮如下非對稱平方損失函數(shù)：

其中，ω∈（0,1）反映了邊際損失的非對稱程度，稱為謹(jǐn)慎性水平（prudentiality level）。最小化式（9）得到的估計(jì)值稱為Y的ω-expectile，令其一階導(dǎo)數(shù)等于0可以推導(dǎo)出：

其中，F(xiàn)為金融時(shí)間序列收益y的累積概率密度函數(shù)，在大多數(shù)情形下，收益均值為0。Efron（1991）[10]證明expectile與分位數(shù)之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系，即m（ω）=q（θ），這里ω要求滿足低于m（ω）的觀測值占比為θ。q（θ）為VaR的估計(jì)值，因此可以用m（ω）度量VaR大小。Yao和Tong（1996）[11]證明來謹(jǐn)慎性水平ω與θ之間代數(shù)關(guān)系。q（θ）為分布的θ分位數(shù)，因此得到F（q（θ））=F（m（ω））=θ。式（10）左邊即為ES定義表達(dá)式，因而expectile與ES之間的關(guān)系為：

CARE模型與CAViaR模型具有相同的結(jié)構(gòu)，但與式（6）中CAViaR模型用分位數(shù)回歸求解參數(shù)不同，CARE模型通過ALS回歸求解參數(shù)，其表達(dá)式為：

求解式（12）即可求得CARE模型參數(shù)β?以及VaR的估計(jì)值。利用式（11）expectile與ES之間的關(guān)系可以直接得出ES估計(jì)值：

這里ω滿足對于給定的θ，其對應(yīng)的ω-expectile的估計(jì)值落在該值下方的樣本比例為θ。

1.4 ES評估檢驗(yàn)

CARE和CARES模型不僅可以刻畫ES的動態(tài)波動序列，而且可以預(yù)測樣本ES值，但是其預(yù)測效果需要采取特定ES檢驗(yàn)。為了評估ES估計(jì)行為，本文采取McNeil和Frey（2000）[12]提出一種評估樣本外ES行為的假設(shè)檢驗(yàn)，該檢驗(yàn)方法主要關(guān)注超出VaR的收益率觀測值部分，其原假設(shè)為該部分觀測值與相應(yīng)的ES之間的標(biāo)準(zhǔn)偏差是服從零均值且獨(dú)立同分布的。但CARE與CARES模型一個(gè)顯著特征是模型不做任何分布性假設(shè)，因而只能通過Bootstrap方法來構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，有關(guān)ES檢驗(yàn)的Bootstrap方法的詳細(xì)內(nèi)容可以參考Efron和Tibshirani（1993）[13]。需要指出的是該方法只適用于樣本外的ES檢驗(yàn)，并且可以通過R軟件實(shí)現(xiàn)，讀者只需加載rugarch包中ESTest函數(shù)即可得到檢驗(yàn)結(jié)果的p值。

2 實(shí)證分析

2.1 數(shù)據(jù)選取以及描述性統(tǒng)計(jì)

本文選取中國股市上最具代表性的上證綜合指數(shù)（SSEI）和深證成份指數(shù)（SZSEI）兩個(gè)指數(shù)每日收盤價(jià)作為本文研究對象。這是因?yàn)樯献C綜指和深圳成指幾乎涵蓋了大部分的上市公司，其中深交所有1524家，上交所有944家。這兩類指數(shù)充分考慮了國民經(jīng)濟(jì)的各個(gè)行業(yè)，具有很強(qiáng)的代表性。將兩種指數(shù)100倍的每日對數(shù)收益率作為研究對象，其計(jì)算公式為：ri,t=100×（lnpi,t-lnpi,t-1），其中pi,t表示第i種指數(shù)第t期的每日收盤價(jià)。選擇的時(shí)間跨度從2007年1月4日到2016年12月30日，共計(jì)2431組數(shù)據(jù)。其中前1931組作為訓(xùn)練樣本，后500組數(shù)據(jù)構(gòu)成測試樣本。

本文數(shù)據(jù)來源于銳思數(shù)據(jù)庫，表1概括了兩種指數(shù)基本統(tǒng)計(jì)信息。由峰度和偏度指數(shù)可以看出，兩種指數(shù)樣本數(shù)據(jù)都呈現(xiàn)明顯的高峰厚尾特征，并且都是左偏的。Ljung-Box Q（10）統(tǒng)計(jì)量表明在1%顯著性水平下，兩種指數(shù)存在顯著的序列相關(guān)性。兩種指數(shù)的ADF檢驗(yàn)表明其為平穩(wěn)時(shí)間序列，可以進(jìn)行建模。

表1 兩種指數(shù)收益率的描述性統(tǒng)計(jì)

2.2 模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果

給定置信水平為95%和99%，分別用CARE和CARES模型對上證綜指和深證成指樣本內(nèi)數(shù)據(jù)建模，模型的形式采用前文給定的式（2）至式（5）形式。但是對于CARE模型，必須首先確定θ=5%,1%對應(yīng)的謹(jǐn)慎性水平ω，ω滿足低于ω-expectile值的樣本占總體得比例為θ，以得到水平為θ的ES估計(jì)值，便于與CARES模型得在同一水平下得到結(jié)果做比較。由于本文提出的ES模型一個(gè)顯著特征是不對收益做任何分布性假設(shè)，即收益分布類型未知，因此使用Yao和Tong（1996）[11]中給出的公式確定ω是行不通的。鑒于此，本文采用三次樣條插值法來確定兩種指數(shù)在不同CARE模型下的ω值，結(jié)果見表2所示。

表2 給定α分位數(shù)水平下對應(yīng)的ω（×100）

分別用上證綜指和深圳成指的樣本內(nèi)1931組數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集合，時(shí)間區(qū)間為2007年1月4日到2014年12月15日，這其中中國股市先后經(jīng)歷了2008年金融危機(jī)以及2009年歐債危機(jī)，股市收益率也呈現(xiàn)明顯的波動率聚集現(xiàn)象。而后500組數(shù)據(jù)作為預(yù)測樣本，在預(yù)測時(shí)間內(nèi)中國股市經(jīng)歷一次較大的波動，可以用于評估CARE和CARES模型預(yù)測行為的優(yōu)劣。

2.3 ES預(yù)測績效評估

通過訓(xùn)練樣本可以獲得模型的參數(shù)，進(jìn)而可以獲得樣本外ES的估計(jì)值。為了評估模型對樣本外ES預(yù)測行為，本文采取前文提出的檢驗(yàn)ES的Bootstrap檢驗(yàn)方法，得到的p值越大說明越不能拒絕原假設(shè)，因而該模型刻畫ES預(yù)測行為的效果就越好。此外ES的預(yù)測效果還應(yīng)與估計(jì)結(jié)果的失敗率有關(guān)，即實(shí)際觀測值超出ES的比率。良好的ES預(yù)測行為要求模型的失敗率越小，而Bootstrap檢驗(yàn)的p值越大。

表3 模型對比檢驗(yàn)結(jié)果

從表3不難發(fā)現(xiàn)，對于上證指數(shù)，CARES模型的Bootstrap檢驗(yàn)的p值均大于相應(yīng)的CARE模型p值，而且其失敗率均小于或等于CARE模型的失敗率。這說明就上證指數(shù)而言，無論水平是1%還是5%的樣本外ES估計(jì)值，CARES模型預(yù)測效果均優(yōu)于CARE模型。對于上證指數(shù)水平為1%的ES估計(jì)，四類模型檢驗(yàn)p值均遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于0.05，反映出四種類型的模型均可以較好地刻畫中國股市的未來變動情形。而對于5%的ES估計(jì)，只有GJR-CARE（S）模型通過Bootstrap顯著性檢驗(yàn)，因而在此情形下，可選擇GJR模型作為最終的預(yù)測模型。

而對于深證成指，CARES模型預(yù)測結(jié)果表現(xiàn)得與CARE模型不相伯仲。以深證成指1%ES結(jié)果為例，ITARCH、GJR-CARES模型的Bootstrap檢驗(yàn)和失敗率兩項(xiàng)指標(biāo)均優(yōu)于對應(yīng)的CARE模型類型，因而可以選擇ITARCH和GJR-CARES模型作為深證成指最終預(yù)測模型。同理，對于深證成指5%ES估計(jì)而言，綜合考慮，選擇IGARCH-CARES模型作為最終的預(yù)測模型。

2.4CARE與CARES模型對比分析

從CARE和CARES模型的建模到實(shí)證分析整個(gè)過程，本文可以總結(jié)出這類半?yún)?shù)ES模型的優(yōu)點(diǎn)：第一，CARE和CARES模型均為半?yún)?shù)模型，避開了對收益分布做出的任何假設(shè)，從而克服了參數(shù)模型中可能設(shè)置的不合理的假設(shè)。這對于當(dāng)前中國股市而言尤為重要，因?yàn)殡S著我國利率市場化的推進(jìn)以及資本項(xiàng)目的開放，我國股市的發(fā)展面臨的風(fēng)險(xiǎn)將日益復(fù)雜，各種政策性和人為因素的影響使得股市風(fēng)險(xiǎn)度量很難找到合理分布假設(shè)。第二，模型的條件自回歸方程設(shè)置比較靈活，可以針對不同問題研究背景，選擇合適的風(fēng)險(xiǎn)度量模型。例如本文的四類模型在刻畫上證綜指5%ES序列時(shí)，結(jié)果表現(xiàn)得都不是很理想，因而可以繼續(xù)研究，發(fā)掘出更適合的模型使得兩項(xiàng)指標(biāo)都達(dá)到最優(yōu)，這是本文的進(jìn)一步工作。

從前文的結(jié)果可以得出，就我國滬深股市而言，CARES模型刻畫股市預(yù)測的效果要明顯優(yōu)于CARE模型。這是由于CARE模型的建模過程決定的。CARE模型主要通過expectile回歸求解模型參數(shù)，利用expectile與ES之間存在代數(shù)關(guān)系，從而得到ES的估計(jì)值。從建模的方式來看，該模型是通過間接方法獲取ES估計(jì)值，導(dǎo)致了建模過程中存在兩處明顯缺陷，會直接影響最終ES預(yù)測結(jié)果。第一，為了估計(jì)模型參數(shù)，首先要選定θ=1%,5%水平下對應(yīng)得謹(jǐn)慎性水平ω，本文利用樣本內(nèi)收益率通過三次樣條插值法得到ω的估計(jì)值。但是當(dāng)預(yù)測樣本外的ES大小，CARE模型的謹(jǐn)慎性水平ω往往會隨著時(shí)間的變化而變化，因此對最終預(yù)測結(jié)果產(chǎn)生影響。第二，CARE模型利用式（13）估計(jì)ES，為了得到ES估計(jì)值，必須首先估計(jì)VaR。而在VaR的估計(jì)中，隨著時(shí)間變化的ω值同樣會影響VaR的預(yù)測結(jié)果，進(jìn)而會導(dǎo)致ES估計(jì)誤差的增加。

而CARES模型則直接借鑒CAViaR模型的建模思想，將ES的波動序列視為一個(gè)條件自回歸過程，只需給定歷史收益率的觀測值和置信水平，通過一定的優(yōu)化算法就可以得到ES的估計(jì)序列，避免了其他外生性因素使得ES估計(jì)產(chǎn)生誤差。此外，與CARE模型通過VaR的遞歸方程間接反映出ES波動特征不同，CARES模型直接刻畫ES預(yù)測行為，可以很好地解釋收益率序列中存在的波動率聚集現(xiàn)象和高峰厚尾特征。這對相關(guān)從業(yè)人員研究我國股市波動特征，考察市場風(fēng)險(xiǎn)的演化規(guī)律，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

3 結(jié)論

本文詳細(xì)介紹了度量預(yù)期不足（ES）的兩種重要的半?yún)?shù)模型：CARE模型和CARES模型。兩種模型均與CAViaR模型存在關(guān)聯(lián)，并且都借鑒了CAViaR模型的建模優(yōu)點(diǎn)，無需對收益分布做出假設(shè)等。通過將兩種模型代入到我國滬深股指2007年1月4日到2016年12月30日近十年的歷史數(shù)據(jù)中，得到樣本外ES預(yù)測序列結(jié)果。通過半?yún)?shù)ES模型的Bootstrap檢驗(yàn)與失敗率兩種指標(biāo)綜合分析，得出CARES模型對于中國滬深股市的風(fēng)險(xiǎn)度量效果要優(yōu)于CARE模型。