高中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)四個維度的例析

沈亮

[摘 要] 深度學(xué)習(xí)是實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)培育的重要途徑. 高中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)包含深度分析、深度設(shè)計、深度實(shí)踐、深度評價等四個維度. 結(jié)合具體的數(shù)學(xué)知識的構(gòu)建過程，從學(xué)生的思維出發(fā)，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，促進(jìn)學(xué)生在數(shù)學(xué)知識構(gòu)建的過程中完成能力的培養(yǎng)與遷移，是深度學(xué)習(xí)四個維度的重要體現(xiàn). 深度學(xué)習(xí)需要重視認(rèn)知目標(biāo)和思維能力.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；深度學(xué)習(xí)；核心素養(yǎng)

當(dāng)前，深度學(xué)習(xí)是公認(rèn)的能夠培育學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)方式. 深度學(xué)習(xí)原本誕生于人工智能領(lǐng)域，強(qiáng)調(diào)的是計算機(jī)（機(jī)器）對人的學(xué)習(xí)過程的模擬，當(dāng)人們從教育的視角觀察深度學(xué)習(xí)時，發(fā)現(xiàn)其中的許多機(jī)制對促進(jìn)學(xué)生有效學(xué)習(xí)、培育學(xué)生核心素養(yǎng)方面也起到重要的作用. 作為對高中數(shù)學(xué)教學(xué)的研究，筆者以為深度學(xué)習(xí)的理解與實(shí)踐，需要建立準(zhǔn)確的認(rèn)識，需要尋找深度學(xué)習(xí)的有效環(huán)節(jié)與抓手. 有研究者指出，教育視角下的深度學(xué)習(xí)，應(yīng)當(dāng)是學(xué)生基于知識理解并立足于知識遷移的一種學(xué)習(xí)方式，在深度學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生應(yīng)當(dāng)能夠基于具體的學(xué)習(xí)情境去接納新的數(shù)學(xué)知識、思想、方法，同時將習(xí)得的知識與能力納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，進(jìn)而利用這些知識與能力去做出決策和解決問題. 在具體的實(shí)施過程中，教師對深度學(xué)習(xí)的實(shí)施應(yīng)當(dāng)從深度分析、深度設(shè)計、深度實(shí)踐、深度評價等四個維度來進(jìn)行. 本文試以“圓錐曲線的統(tǒng)一定義”為例，談?wù)劯咧袛?shù)學(xué)教學(xué)中深度學(xué)習(xí)的理解與實(shí)施.

深度分析，寓教學(xué)價值于教學(xué)情境

深度分析是深度教學(xué)的前提，深度分析是指教師基于一定的教學(xué)理論（可以是成型的教學(xué)理論，也可以是教師默會的樸素的教學(xué)理論），在以學(xué)生的學(xué)習(xí)為中心的要求之下，對學(xué)生的學(xué)習(xí)環(huán)境、學(xué)習(xí)任務(wù)以及學(xué)生自身學(xué)習(xí)特點(diǎn)進(jìn)行分析的過程. 深度分析對應(yīng)著傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中的教學(xué)思路確定，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境對學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識的作用，研究者認(rèn)為，只有學(xué)生在具體的情境中完成數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)時，才會認(rèn)識到數(shù)學(xué)學(xué)科知識的價值，而這是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)形成的前提.

在“圓錐曲線的統(tǒng)一定義”教學(xué)中，筆者注意到學(xué)生此前已經(jīng)系統(tǒng)地學(xué)習(xí)過橢圓、拋物線、雙曲線等典型的圓錐曲線，在經(jīng)過相應(yīng)的問題解決訓(xùn)練之后，學(xué)生已經(jīng)初步掌握了三種典型曲線的基本性質(zhì)；但是由于三種曲線之間并沒有明顯的邏輯聯(lián)系，因此學(xué)生又很少能夠自主意識到三者可以進(jìn)行統(tǒng)一. 顯然，生硬的拼湊是不行的，需要在分析的基礎(chǔ)上設(shè)計出有效的情境，才能促進(jìn)學(xué)生真正完成對圓錐曲線統(tǒng)一的定義.

筆者以為，該教學(xué)情境的設(shè)計思路可以是這樣的：圓錐曲線的統(tǒng)一定義，培養(yǎng)的是學(xué)生用概括、統(tǒng)一的眼光，通過異中求同的思路，讓學(xué)生在具體的情境中對三種曲線進(jìn)行分析、比較，以發(fā)現(xiàn)三種曲線可以用同樣的定義來進(jìn)行描述——這就是本節(jié)課教學(xué)的最大價值之一. 也就是說掌握圓錐曲線統(tǒng)一定義是知識要求，而看透背后的數(shù)學(xué)知識的統(tǒng)一性，能夠經(jīng)歷探究統(tǒng)一性的過程，才是數(shù)學(xué)思想、方法的要求.

通常情況下，教材是用“平面內(nèi)到一個定點(diǎn)F的距離和到一條直線l（F不在l上）的距離之比或等于1或不等于1”的描述來引入的，但這樣的表述實(shí)際上具有高度抽象性，不容易打開學(xué)生的思路. 因此最好的策略，應(yīng)當(dāng)是將這樣的表述轉(zhuǎn)換成具體的情境，以讓學(xué)生的形象思維可以更好地發(fā)揮作用.

深度設(shè)計，促進(jìn)學(xué)生價值識別理解

基于上述思路，筆者以為“圓錐曲線的統(tǒng)一定義”這一內(nèi)容的深度設(shè)計，應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)在學(xué)生經(jīng)由本內(nèi)容的探究與學(xué)習(xí)，以識別、發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)統(tǒng)一性的價值所在. 研究者指出，深度設(shè)計對應(yīng)著教學(xué)法的兩個轉(zhuǎn)變：一是從學(xué)習(xí)的“法則”向社會符號系統(tǒng)的“法則”的轉(zhuǎn)變，這意味著學(xué)習(xí)設(shè)計的資源需要從認(rèn)知領(lǐng)域的知識素材尋找與準(zhǔn)備，轉(zhuǎn)向從社會領(lǐng)域內(nèi)的生活、認(rèn)知素材的共同尋找與準(zhǔn)備；二是教師從“以教學(xué)為中心”轉(zhuǎn)向“以學(xué)習(xí)為中心”，這樣真正體現(xiàn)了以生為本的教育理念. 有了這兩個轉(zhuǎn)變，學(xué)生就可以在具體的情境中識別數(shù)學(xué)知識的價值.

因此，筆者對“圓錐曲線的統(tǒng)一定義”的設(shè)計由如下幾個方面組成：

第一，從學(xué)生的思維出發(fā)延伸課堂.

既然是深度設(shè)計，那就要以學(xué)生的思維作為出發(fā)點(diǎn)，然后將課堂進(jìn)程延伸到學(xué)生的思維深處.

本課中，學(xué)生的思維出發(fā)點(diǎn)是對三種曲線的獨(dú)立認(rèn)識（最初引入圓錐曲線時的以平面截圓錐面的情境，對學(xué)生而言只有激趣作用，不能讓他們認(rèn)識到三種曲線的統(tǒng)一性），基于學(xué)生的這一思維出發(fā)點(diǎn)，筆者設(shè)計的問題是：通過前面長時間對三種曲線的學(xué)習(xí)，大家有沒有意識到這三個不同的曲線有一些相同之處？

這是基于學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗提出的問題，學(xué)生會梳理自己的解題經(jīng)驗，然后發(fā)現(xiàn)在建立圓錐曲線性質(zhì)、圖像認(rèn)識的時候，確實(shí)存在相同的思路. 但這也只是思路相同，而不是明顯的統(tǒng)一性，因此還需要進(jìn)一步探究.

第二，將抽象文字轉(zhuǎn)換為形象圖形.

即將“平面內(nèi)到一個定點(diǎn)F的距離和到一條直線l（F不在l上）的距離之比或等于1或不等于1”轉(zhuǎn)換為具體的圖形. 實(shí)際做法是，借助于現(xiàn)代教學(xué)手段，利用幾何畫板或Excel，在其中對常數(shù)進(jìn)行賦值，然后讓學(xué)生去觀察生成動點(diǎn)P的軌跡，結(jié)果學(xué)生發(fā)現(xiàn)一會兒看到的是橢圓，一會兒看到的是雙曲線，一會兒看到的是拋物線. 這個過程的實(shí)施中可以給學(xué)生一些神秘感，即將賦值的環(huán)節(jié)隱藏起來，先讓學(xué)生看生成的不同的圖形，學(xué)生自然會思考：為什么會出現(xiàn)不同的圖形？

這是一個成本較低但卻能夠有效地激活學(xué)生思維的設(shè)計，這個設(shè)計符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，因為生成的圖形的變化，必然引導(dǎo)學(xué)生去思考何以會發(fā)生這種變化. 當(dāng)學(xué)生看到圖形上出現(xiàn)連續(xù)變化的圓錐曲線，而且有時是橢圓，有時是拋物線，有時是雙曲線時，他們會結(jié)合此前已有的解題經(jīng)驗去猜想原因，從而為后面的思維打開空間.

值得一提的是，利用現(xiàn)代教學(xué)手段來服務(wù)幾何圖形，也需要讓學(xué)生建立一種認(rèn)識. 即像Excel這樣的軟件，背后實(shí)際上就是數(shù)據(jù)處理的支撐，體現(xiàn)的是以數(shù)述形、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，從某種程度上來講這也可以看作是社會領(lǐng)域的資源在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的運(yùn)用.

第三，建構(gòu)統(tǒng)一定義的意義.

通過上述設(shè)計，圓錐曲線的統(tǒng)一定義其實(shí)就被明確為圍繞“平面內(nèi)到一個定點(diǎn)F的距離和到一條直線l（F不在l上）的距離為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡”的討論，因為e值可以分為大于1、等于1、小于1這三種情況，因而得到了三種曲線. 這對于許多學(xué)生來說顯得有些不可思議，但事實(shí)就擺在這里，而這也正是數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性魅力所在，當(dāng)一段表達(dá)或一個等式可以概括豐富的意義時，數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性就彰顯出其學(xué)科魅力.

深度實(shí)踐，于實(shí)踐情境中解決問題

深度實(shí)踐是深度設(shè)計在課堂上的行為表現(xiàn)，通常情況下只要設(shè)計到位且貼近學(xué)生的思維，那課堂就會按照預(yù)設(shè)的主線前進(jìn). 當(dāng)然，這里也會遇到一些生成，只要注意分析，就可以發(fā)現(xiàn)這些生成其實(shí)都是學(xué)生原有經(jīng)驗與新的知識之間的沖突形成的，這也對應(yīng)著研究者在深度實(shí)踐這個環(huán)節(jié)所提出的“價值沖突”.

比如說，學(xué)生在理解三種曲線的時候，對于不同形式的解析式的理解，其實(shí)是有困惑的，因為曲線的不同定義方式，導(dǎo)致得到不同的解析式，反之則體現(xiàn)為不同的解析式描述同一個圓錐曲線，而統(tǒng)一定義的價值，其實(shí)就是引導(dǎo)學(xué)生基于同樣的“平面內(nèi)到一個定點(diǎn)F的距離和到一條直線l（F不在l上）的距離為常數(shù)”表象來對圓錐曲線形成概括性認(rèn)識.

這是學(xué)生在學(xué)習(xí)中遇到的一個客觀問題，解決的途徑其實(shí)仍然在于引導(dǎo)學(xué)生在上述給出的情境中形成準(zhǔn)確的認(rèn)識. 此外，還有一個途徑，就是在應(yīng)用性的問題解決過程中幫學(xué)生深化認(rèn)識，比如說給學(xué)生提供這樣的問題：已知動點(diǎn)P到定直線l的距離與它到定點(diǎn)F的距離之比為，那P點(diǎn)的軌跡是什么？

這樣的問題由于與定義類似，因而容易驅(qū)動學(xué)生去加深對定義的理解，這樣的問題解決思路，常常是化解學(xué)生在深度實(shí)踐中遇到的概念理解的問題的較佳途徑.

深度評價，讓學(xué)生了解學(xué)習(xí)的價值

深度評價的主要功能在于讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)與社會價值觀的聯(lián)系，深度評價由教師完成，在數(shù)學(xué)知識建構(gòu)的過程中更多地讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)所學(xué)知識與生活、社會的聯(lián)系，從而拓展學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識，即認(rèn)識到數(shù)學(xué)不只是用來解題的，還是用來解釋生活事物的. 高中數(shù)學(xué)雖然比較抽象，但與生活聯(lián)系實(shí)際較為密切，比如圓錐曲線中的三種曲線，在生活中均有體現(xiàn)，且不說斜拋出去物體的軌跡是拋物線，就說行星的運(yùn)動軌跡，再到一些電廠冷卻塔的外形等，都是圓錐曲線的體現(xiàn).

實(shí)踐表明，通過深度評價，可以化解學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中形成的一些因解題壓力而產(chǎn)生的不良認(rèn)識，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程的價值與意義. 而基于學(xué)生學(xué)習(xí)的評價，就保證了學(xué)生在深度學(xué)習(xí)中的主體地位，同時通過評價，可以促進(jìn)學(xué)生在深度實(shí)踐中體現(xiàn)社會交互性，而這也恰恰是學(xué)科核心素養(yǎng)的重要內(nèi)涵.