把數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為數(shù)學(xué)現(xiàn)象

程元元 孫四周

[摘 要] “問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”. 課本上條件完備的數(shù)學(xué)題目把問(wèn)題固定了，這樣不利于全面培養(yǎng)學(xué)生的“問(wèn)題意識(shí)”，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng). 把數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為數(shù)學(xué)現(xiàn)象，可以讓學(xué)生從“數(shù)學(xué)事實(shí)”開始，先提出問(wèn)題再解決問(wèn)題，增強(qiáng)數(shù)學(xué)體驗(yàn)，促進(jìn)領(lǐng)悟與反思. 那么如何有效地把數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為數(shù)學(xué)現(xiàn)象呢？有哪些價(jià)值所在？期間有哪些注意事項(xiàng)？文章嘗試從以上三個(gè)角度進(jìn)行剖析.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)問(wèn)題；數(shù)學(xué)現(xiàn)象；教學(xué)策略

什么是數(shù)學(xué)現(xiàn)象

先從數(shù)學(xué)問(wèn)題談起. 問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)問(wèn)題包括條件完備的封閉題和條件不完備的開放題. 在中學(xué)的教材和日常教學(xué)中，遇到的基本都是封閉題. “條件+任務(wù)”是標(biāo)準(zhǔn)的形態(tài)，這種題目非常有利于“雙基”的教學(xué)，因此長(zhǎng)期以來(lái)成為數(shù)學(xué)題的主要形式甚至是唯一形式，并且進(jìn)一步促成了“問(wèn)題解決”的教學(xué)模式的形式[1]. 但是這種問(wèn)題形式跳過(guò)了從客觀世界到數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，是被加工過(guò)的，條件完備并且不多不少的理想化的數(shù)學(xué)模型，由條件到需要解決的問(wèn)題都是明確的，學(xué)生因此也錯(cuò)過(guò)了一個(gè)數(shù)學(xué)化的過(guò)程[2]. 比如如何從已知的信息中篩選出解決問(wèn)題所需要的東西？根據(jù)已知的條件，所選擇的推理方向不同則可以得到不同的數(shù)學(xué)結(jié)果. 讓學(xué)生經(jīng)歷這個(gè)數(shù)學(xué)化的過(guò)程，才能夠真正培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題解決能力，促使學(xué)生掌握學(xué)習(xí)的方法，讓學(xué)生從自己已有的知識(shí)出發(fā)，運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法去認(rèn)知新事物，發(fā)現(xiàn)新東西，這才是我們經(jīng)常提起的——不僅要教給學(xué)生知識(shí)，更要教給學(xué)生學(xué)習(xí)的方法[3].

現(xiàn)實(shí)世界呈現(xiàn)給我們的只是表象，問(wèn)題及規(guī)律深藏在其背后[4]. 愛(ài)因斯坦曾說(shuō)過(guò)“提出問(wèn)題比解決問(wèn)題更重要”，一切的研究都是從問(wèn)題開始. 把客觀事實(shí)呈現(xiàn)給學(xué)生，作為他們觀察、探究、發(fā)問(wèn)的素材，這種素材就是數(shù)學(xué)現(xiàn)象[5].

如何把數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為數(shù)學(xué)現(xiàn)象

常規(guī)的數(shù)學(xué)教學(xué)主要包括概念教學(xué)、定理教學(xué)、例（習(xí)）題教學(xué)等，其中例題教學(xué)幾乎在各種課型中都有所涉及. 如果把封閉的例題適當(dāng)?shù)馗淖兂尸F(xiàn)方式，還原為數(shù)學(xué)現(xiàn)象，那么教學(xué)效果則會(huì)大大地提升. 那么如何把數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為數(shù)學(xué)現(xiàn)象呢？我們提出以下幾種策略：

1. 隱藏任務(wù)，只呈現(xiàn)條件

案例1：（蘇教版《數(shù)學(xué)（必修2）》第43頁(yè)）在三棱錐P-ABC中，M，N分別是△PAB和△PBC的重心（圖1），求證：MN∥平面ABC.

采用現(xiàn)象教學(xué)的方式，分階段呈現(xiàn)：

（1）先呈現(xiàn)題干：在三棱錐P-ABC中，M，N分別是△PAB和△PBC的重心（圖1）.

（2）讓學(xué)生觀察圖1，教師追問(wèn)：請(qǐng)想象一下MN與其他線面的關(guān)系.

（3）學(xué)生活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)了多個(gè)線面關(guān)系.

教師進(jìn)一步追問(wèn)：你認(rèn)為MN與平面ABC平行嗎？能否證明？

（4）學(xué)生很快就作出圖2，問(wèn)題也相應(yīng)地解決了. 再?gòu)?qiáng)調(diào)一下，形成規(guī)范表達(dá)的能力.

（5）還有一對(duì)線面平行，你能找出來(lái)并證明嗎？（MN∥平面PAC）

學(xué)生代表口述證明，其他人評(píng)判.

若是一次性呈現(xiàn)例題，解題的目標(biāo)和思維的指向性非常明確，要證線面平行，根據(jù)線面平行的判定定理，學(xué)生會(huì)直接在平面ABC中尋找與MN平行的線，作出平行線并不困難，于是問(wèn)題看似非常完美地解決了，而且速度也是非?？? 但是分階段呈現(xiàn)，學(xué)生在不知道線面平行的前提下首先感知空間的線面關(guān)系，并對(duì)自己的結(jié)論給出證明. 學(xué)生經(jīng)歷了“感知——猜想——論證”這個(gè)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新的全過(guò)程，積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)了問(wèn)題意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).

2. 分階段的呈現(xiàn)條件

案例2：在△ABC中，已知角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且tanB=2，tanC=3，c=3. 求角A的大小并求邊b的長(zhǎng).

在條件的呈現(xiàn)過(guò)程中，首先呈現(xiàn)tanB=2，接著教師問(wèn)學(xué)生：這個(gè)條件實(shí)際上告訴了我們什么？可以求什么？這時(shí)學(xué)生根據(jù)“知一求二”的思想，大都能想到求出sinB和cosB，然后教師接著呈現(xiàn)tanC=3，這時(shí)學(xué)生不難類比可求角C的另外兩個(gè)三角函數(shù)值，此時(shí)角A的求解就順理成章了. 然后教師適時(shí)追問(wèn)：三個(gè)角確定的三角形可以明確地畫出來(lái)嗎？引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想相似三角形的理論，產(chǎn)生疑惑，激發(fā)繼續(xù)探究的興趣. 當(dāng)學(xué)生一致認(rèn)為三角形有多個(gè)，不能唯一確定的時(shí)候，就有一個(gè)強(qiáng)烈的欲望，要確定一邊b，還缺邊長(zhǎng)的條件，這時(shí)教師再呈現(xiàn)條件c=3，學(xué)生的疑惑解除，能夠非常順利地完成解答.

整個(gè)過(guò)程層層遞進(jìn)，每個(gè)條件的呈現(xiàn)都激發(fā)學(xué)生已有的認(rèn)知，和原有的知識(shí)之間產(chǎn)生聯(lián)系，培養(yǎng)了發(fā)散思維. 在隱藏了一個(gè)邊長(zhǎng)條件的時(shí)候，三角形不能確定，無(wú)法確定邊長(zhǎng)b，和學(xué)生心目中完美的題目（每個(gè)題目都是可解的）產(chǎn)生碰撞，激發(fā)求知欲，讓他們敢于懷疑題目的完整性，敢于質(zhì)問(wèn)，敢于挑戰(zhàn)所謂的“權(quán)威”. 只有不盲目地接受教師教的東西，不盲目地相信課本，敢于懷疑，善于思考，才是一個(gè)真正有思想的人.

3. 只呈現(xiàn)任務(wù)和部分條件

比如案例1中，先把條件“N是△PBC的重心”拿掉，當(dāng)N點(diǎn)不確定的時(shí)候，MN就變成了一個(gè)動(dòng)線段，此時(shí)MN和平面ABC的位置關(guān)系就不確定了，引導(dǎo)學(xué)生反過(guò)來(lái)去研究，要使得MN∥平面ABC，需要尋找到特殊的N點(diǎn)的位置. 這樣把一個(gè)靜態(tài)的問(wèn)題轉(zhuǎn)變成一個(gè)動(dòng)態(tài)的問(wèn)題去研究，對(duì)學(xué)生的能力提升就大有裨益了. 培養(yǎng)了學(xué)生的逆向思維、特殊化思想.

4. 漸進(jìn)式呈現(xiàn)解答

案例4：數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn=3an+1-1（n∈N*），且a1=2，求{an}的通項(xiàng)公式.

避免教師直接呈現(xiàn)題目的解答，首先呈現(xiàn)“若Sn=3an+1-1（n∈N*），且a1=2”，然后問(wèn)學(xué)生：我們能知道什么？學(xué)生基本上會(huì)動(dòng)手計(jì)算a2，a3，a4，進(jìn)而再去求an. 在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生可能會(huì)碰壁多次，比如忽視n≥2，就認(rèn)為數(shù)列是等比數(shù)列（其實(shí)不是等比數(shù)列）；比如由a2，a3，a4的值直接猜想an的通項(xiàng)公式，使用不完全歸納；比如最后的結(jié)果不寫成分段的形式，等等. 雖然一波三折，困難重重，但是學(xué)生不斷地碰壁、不斷地試錯(cuò)，直至問(wèn)題由模糊到清晰，親歷了先錯(cuò)后對(duì)的解題過(guò)程，才真正內(nèi)化成為自己的知識(shí).

把數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為數(shù)學(xué)現(xiàn)象的教學(xué)價(jià)值所在

傳統(tǒng)的問(wèn)題教學(xué)固然有它的優(yōu)勢(shì)所在，可以讓學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)聚焦所要解決的問(wèn)題，執(zhí)果索因或者由因及果，快速而準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的達(dá)成，但是弊端也逐漸地凸顯. 純粹的具體的例題（習(xí)題）教學(xué)，學(xué)生所解決的都是一個(gè)個(gè)獨(dú)立的個(gè)體，題目與題目之間的聯(lián)系，本質(zhì)上的區(qū)分就沒(méi)有那么明顯，學(xué)生知其然而不知其所以然，這也就直接導(dǎo)致一個(gè)常見(jiàn)的現(xiàn)象：教師抱怨“一道題目講了好多遍，下次碰到還是錯(cuò)”；學(xué)生出現(xiàn)“一聽就會(huì)，一做就錯(cuò)”. 但是現(xiàn)象教學(xué)恰好地彌補(bǔ)了這個(gè)不足. 在教學(xué)過(guò)程中呈現(xiàn)給學(xué)生的是數(shù)學(xué)現(xiàn)象，學(xué)生面對(duì)現(xiàn)象時(shí)就可以產(chǎn)生不同的解讀，不同結(jié)構(gòu)形式的數(shù)學(xué)化，從不同的角度可以衍生出不同的結(jié)論，這個(gè)過(guò)程是一個(gè)探究的過(guò)程、體驗(yàn)的過(guò)程、發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，也是一個(gè)審美的過(guò)程. 每一個(gè)孩子都可以是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、一個(gè)發(fā)明者，試問(wèn)：讓學(xué)生自己主動(dòng)探究所得，和把學(xué)生當(dāng)作被動(dòng)接受知識(shí)的機(jī)器，二者相比，哪個(gè)更加是我們需要的教育呢？答案不言而喻.

打個(gè)比方，如果我們想給孩子傳遞一個(gè)信息——奔流而下的滔滔黃河，有兩種方式，一種是電視機(jī)上聲音加圖片的播放，直接給孩子視覺(jué)、聽覺(jué)的輸入，這樣的就是奔流而下、波瀾壯闊的黃河；另外一種是書本上文字的描述，波浪滾滾，奔騰而下，隨著地勢(shì)的落差，滾滾黃河水帶著巨大的聲響沖向下面，濺起水花多多……這樣在文字展現(xiàn)的同時(shí)，孩子自己自然會(huì)在腦海中進(jìn)行再加工，才能體現(xiàn)出文字所描述的壯觀景象，這種文字展現(xiàn)的方式也就是現(xiàn)象的呈現(xiàn)，而電視的展示就是知識(shí)的直接輸出. 所以有學(xué)者提出：看電視可以使孩子變笨，而讀書可以使孩子變聰明. 這個(gè)道理和我們所提的現(xiàn)象教學(xué)確實(shí)有異曲同工之處.

需要注意的問(wèn)題

1. 不是所有的問(wèn)題都需要還原為數(shù)學(xué)現(xiàn)象

雖然我們提出現(xiàn)象教學(xué)的種種益處，但是并不是對(duì)傳統(tǒng)問(wèn)題教學(xué)的否定，而是一種升華. 我們不否認(rèn)問(wèn)題教學(xué)的種種優(yōu)勢(shì)，相反在課堂教學(xué)中更是需要經(jīng)常使用. 在問(wèn)題的設(shè)計(jì)中，在呈現(xiàn)方式上，以及在解答過(guò)程中，若是能夠結(jié)合現(xiàn)象教學(xué)，才能真正落實(shí)當(dāng)下中學(xué)階段的教育目標(biāo)，為學(xué)生繼續(xù)進(jìn)一步的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，教會(huì)他們學(xué)習(xí)的方法，使得學(xué)生具備終生學(xué)習(xí)的能力.

2. 數(shù)學(xué)問(wèn)題還原成怎樣的數(shù)學(xué)現(xiàn)象需要“因地制宜”

既然我們的教學(xué)面對(duì)的是學(xué)生，那么不同的學(xué)生就有不同的口味、不同的基礎(chǔ)、不同的能力，因此在教學(xué)素材的準(zhǔn)備上就要因地制宜、因生制宜. 受客觀條件的限制，現(xiàn)在普遍實(shí)行班級(jí)化教學(xué)，起碼不同的班級(jí)，要有不同的考慮. 程度比較好的學(xué)生，在把數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為數(shù)學(xué)現(xiàn)象的時(shí)候，可以更加的靈活化. 比如案例1中的問(wèn)題，教師可以引導(dǎo)：在這個(gè)三棱錐模型中，我們可以研究哪些位置關(guān)系？然后讓學(xué)生自己提出問(wèn)題，這時(shí)學(xué)生的產(chǎn)出就多樣化了，有可能從線面位置關(guān)系、面面位置關(guān)系、線面角、面面角，甚至表面積、體積等角度研究，然后教師再逐步縮小研究的范圍. 有了這個(gè)研究過(guò)程，如果后面改變?nèi)忮F的擺放位置，相信學(xué)生也能夠輕而易舉地完成. 相反的，如果程度稍微差一些的學(xué)生，教師的線就可以收緊一些了，比如直接提出：想象一下，MN與其他線面的位置關(guān)系. 對(duì)于思維沒(méi)有那么開放、靈活的學(xué)生，防止問(wèn)題過(guò)于松散，學(xué)生一臉霧水，不知從何說(shuō)起，最佳的設(shè)計(jì)應(yīng)該是在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)做文章.

總之，如何把數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為數(shù)學(xué)現(xiàn)象，是一個(gè)實(shí)踐性的課題，需要教師在實(shí)踐中逐步摸索，把握好度，以實(shí)現(xiàn)更完整的教學(xué).

參考文獻(xiàn)：

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[5] 弗賴登塔爾. 數(shù)學(xué)教育再探[M]. 上海：上海教育出版社，1999.