中間約束軸向運(yùn)動(dòng)梁橫向非線性振動(dòng)

趙小穎, 李 彪, 丁 虎, 陳立群,3

(1. 上海大學(xué) 上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所, 上海 200072;2. 上海衛(wèi)星工程研究, 上海 200240; 3. 上海大學(xué) 力學(xué)系, 上海 200444)

作為航天工程、機(jī)械生產(chǎn)、日常生活中常見(jiàn)的沿著軸向移動(dòng)的柔性連續(xù)體體的力學(xué)模型，自20世紀(jì)60年代Mote院士提出動(dòng)力學(xué)模型[1]以來(lái)，軸向運(yùn)動(dòng)梁已經(jīng)得到廣泛的研究。基于不同工況下的軸向運(yùn)動(dòng)梁，橫向自由振動(dòng)頻率得到了研究[2-5]。也有研究人員關(guān)注于受到外部激勵(lì)的軸向運(yùn)動(dòng)梁的振動(dòng)特征研究[6-8]。Marynowski等[11]綜述了2014年以前軸向運(yùn)動(dòng)彈性振動(dòng)相關(guān)的研究進(jìn)展。

有很多工況需要在軸向運(yùn)動(dòng)梁中部添加彈性支撐或者約束，例如，空中纜車的纜繩，為了增加剛度，會(huì)增加支撐；再如，為了抑制軸向運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的橫向振動(dòng)，會(huì)在系統(tǒng)中間彈性吸振裝置，等等。盡管對(duì)于包含中間彈性約束的柔性體已經(jīng)得到廣泛的研究[10-13]，但是對(duì)于中間彈性約束影響軸向運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特征的研究并不多見(jiàn)。Ghayesh[14]研究了中間黏彈性約束對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)弦線的非線性振動(dòng)特性的影響，包括周期響應(yīng)與分岔混沌特征。Zhang等[15]研究了軸向運(yùn)動(dòng)梁在初始激勵(lì)作用下，非線性吸振器對(duì)系統(tǒng)的暫態(tài)振動(dòng)的吸收效果，證明非線性吸振器的優(yōu)異吸振效果。需要說(shuō)明的是，以上提到的文獻(xiàn)都是基于Galerkin截?cái)喾椒ǖ难芯拷Y(jié)果，對(duì)于中間約束的軸向移動(dòng)柔性體，移動(dòng)速度對(duì)約束的作用效果的影響、截?cái)嚯A數(shù)的收斂性都沒(méi)有做出說(shuō)明。目前，還缺乏對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)速度和中間彈性支撐或者約束相互影響的研究。

本文運(yùn)用Galerkin截?cái)喾椒ㄑ芯苛嗽趦啥撕?jiǎn)支邊界條件下，中間彈簧剛度、軸向運(yùn)動(dòng)速度、不同截?cái)嚯A數(shù)對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)梁固有振動(dòng)頻率的影響，并通過(guò)對(duì)比，給出了收斂的假設(shè)模態(tài)截?cái)嚯A數(shù)。另外，本文還研究了中間彈簧剛度、軸向運(yùn)動(dòng)速度對(duì)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響。數(shù)值結(jié)果表明，中間彈性約束對(duì)軸向移動(dòng)梁振動(dòng)有著復(fù)雜影響，沿著軸向運(yùn)動(dòng)的速度會(huì)增加中間約束對(duì)梁自由振動(dòng)頻率和受迫振動(dòng)響應(yīng)影響的復(fù)雜性。

1 數(shù)學(xué)模型和控制方程

圖1所示為帶有中點(diǎn)約束的軸向運(yùn)動(dòng)梁力學(xué)模型，在距離梁左邊界xs處加上了彈簧支撐，剛度系數(shù)為k。其中ρ為軸向運(yùn)動(dòng)梁的質(zhì)量密度，A為橫截面面積，E為彈性模量，I是關(guān)于中性軸的截面慣性矩，EI為梁的彎曲剛度，P0是梁的初始軸向張力。梁以固定速度Γ沿著其軸向運(yùn)動(dòng)，梁長(zhǎng)為L(zhǎng)。

圖1 軸向運(yùn)動(dòng)梁物理模型

軸向運(yùn)動(dòng)梁的動(dòng)能T和勢(shì)能U的表達(dá)式分別為

(w,t+Γw,x)2}dx

(1)

(2)

式中：w(x,t)是梁的橫向位移，u(x,t)是梁的徑向位移，t是時(shí)間坐標(biāo)，δ(x)表示狄拉克函數(shù)，式(1)第一項(xiàng)為軸向運(yùn)動(dòng)梁與縱向運(yùn)動(dòng)有關(guān)的動(dòng)能，第二項(xiàng)為軸向運(yùn)動(dòng)梁與橫向運(yùn)動(dòng)有關(guān)的動(dòng)能。式(2)第一項(xiàng)是與軸力P0有關(guān)的勢(shì)能，第二項(xiàng)是中性面拉伸產(chǎn)生的勢(shì)能，第三項(xiàng)是與曲率有關(guān)的勢(shì)能，最后一項(xiàng)是與中點(diǎn)約束彈簧有關(guān)的勢(shì)能。根據(jù)Hamilton變分原理，有

(3)

隨時(shí)間簡(jiǎn)諧變化的分布力所做虛功為

(4)

由此可以得到如下控制方程

ρA(w,tt+2Γw,xt+Γ2w,xx)-

EIw,xxxx-P0w,xx+δ(x-xs)(kw)=

F(t)cos(ωt)

(5)

ρA(u,tt+2Γu,xt+Γ2u,xx)-

EA(u,xx+w,xw,xx)=0

(6)

因?yàn)榭v向位移比橫向位移小很多，并且EA>>ρA，所以可以得到

u,xx+w,xw,xx=0

(7)

由上式可以得到

(8)

其中，C1(t)和C2(t)是關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)。

兩端簡(jiǎn)支邊界縱向邊界條件為

u(0,t)=0,u(L,t)=0

(9)

將式(8)代入式(9)得到

(10)

將式(10)代入式(5)得到

ρA(w,tt+2Γw,xt+Γ2w,xx)+

EIw,xxxx-P0w,xx+kwδ(x-xs)-

(11)

兩端簡(jiǎn)支邊界橫向邊界條件為

w(0,t)=w(L,t)=0,

w,xx(0,t)=w,xx(L,t)=0

(12)

通過(guò)無(wú)量綱化得到控制方程

w,tt+2γw,xt+(γ2-1)w,xx+kwδ(x-xs)+

F(t)cos(ωt)

(13)

無(wú)量綱參數(shù)定義如下

(14)

無(wú)量綱簡(jiǎn)支邊界條件為

w(0,t)=w(1,t)=0,

w,xx(1,t)=w,xx(0,t)=0

(15)

2 Galerkin截?cái)?/h2>

設(shè)式(13)的解為

j=1,2,…,M

(16)

將(16)式代入控制方程后得到

(17)

假定，上面等式等號(hào)左邊的式子等于RM(x,t)，式RM(x,t)應(yīng)滿足

i=1,2,…,M

(18)

即可實(shí)現(xiàn)對(duì)控制方程的M階Galerkin截?cái)?，最終將方程轉(zhuǎn)化為含有M個(gè)未知數(shù)為qj(j=1,2,…,M)的常微分方程組。將中間彈簧設(shè)置在xs=L/2處。

計(jì)算自由振動(dòng)頻率時(shí)，忽略上式中的非線性，通過(guò)無(wú)量綱化得到控制方程

w,tt+2γw,xt+(γ2-1)w,xx+

(19)

對(duì)于給定的軸向速度、中間剛度系數(shù)和截?cái)嚯A數(shù)，通過(guò)廣義本征值問(wèn)題，即可求得前M階固有頻率。

3 固有頻率

下面取8階Galerkin截?cái)?M=8)。取梁的長(zhǎng)度L=0.3 m,楊氏模量E=200 MPa，初始張力P0=80 N，ρ=1 200 kg/m3，梯形截面上底寬0.022 m，下底寬0.008 9 m，高度0.018 m，kf=0.442 8。圖2給出了前兩階固有頻率隨速度變化曲線。從上圖可以看出，前兩階固有頻率隨著中間彈簧剛度的增加不斷增大，圖2(a)中清楚的顯示當(dāng)無(wú)量綱約束剛度超過(guò)35以后，梁的軸向臨界速度不再變化。圖2(b)表明，當(dāng)軸向運(yùn)動(dòng)速度為零時(shí)，第二階固有頻率不受中點(diǎn)約束的影響。但是隨著速度的增大，約束剛度對(duì)第二階固有頻率的影響變得越發(fā)顯著。更加有趣的是，當(dāng)無(wú)量綱約束剛度取值大于200時(shí)，在運(yùn)動(dòng)速度不大時(shí)，第二階固有頻率會(huì)隨速度增大而增大。

圖3給出了速度對(duì)不同剛度下軸向運(yùn)動(dòng)梁前兩階橫向振動(dòng)固有頻率的影響。從圖(a)和(b)中可以看出，當(dāng)軸向運(yùn)動(dòng)速度為零時(shí)，第二階固有頻率開(kāi)始不隨中點(diǎn)約束剛度變化，而第一階頻率持續(xù)增大。但是當(dāng)無(wú)量綱約束剛度增大到220左右時(shí)，第一階頻率超過(guò)第二階頻率。最初的第二階模態(tài)對(duì)應(yīng)的頻率成為最小的頻率，即基頻，最初的第一階模態(tài)對(duì)應(yīng)的頻率不再是最小的頻率，成為第二階頻率，繼續(xù)增大。這一前兩階頻率轉(zhuǎn)換的現(xiàn)象同樣發(fā)生在軸向運(yùn)動(dòng)速度不為零的工況。另外，還需要說(shuō)明的是，軸向運(yùn)動(dòng)的速度會(huì)使得中間彈簧無(wú)量綱剛度系數(shù)小于200時(shí)梁的第二階固有頻率受到中點(diǎn)約束彈簧的影響。如圖所示，速度為零時(shí)，此時(shí)的第二階固有頻率不隨中間約束剛度變化。因此可以判定，軸向移動(dòng)的速度使得原本中點(diǎn)對(duì)稱的模態(tài)，不再對(duì)稱。

圖4比較了不同截?cái)嚯A數(shù)對(duì)前兩階固有頻率的影響。截?cái)嚯A數(shù)分別取M=4、8、16和24階，中間彈簧無(wú)量綱剛度系數(shù)k取200。對(duì)于前2階固有頻率的預(yù)測(cè)，4種截?cái)嚯A數(shù)給出了相同的變化趨勢(shì)。8、16和24階截?cái)鄬?duì)應(yīng)的第一階固有頻率基本重合。相比之下，4截?cái)嗟慕Y(jié)果與8、16、24階截?cái)嘟Y(jié)果的差別隨固有頻率的階數(shù)增大而增大，第一階和第二階固有頻率間，有可識(shí)別的差別。

(a) 第一階固有頻率

(b) 第二階固有頻率

(a) 第一階固有頻率

(b) 第二階固有頻率

(a) 第一階固有頻率

(b) 第二階固有頻率

4 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

取無(wú)量綱阻尼系數(shù)μ=1.161 3，無(wú)量綱外激勵(lì)F=0.3，其他參數(shù)與圖2一致。

圖5(a)為軸向運(yùn)動(dòng)梁在距離左端1/4點(diǎn)處的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)曲線。通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，速度的變化對(duì)曲線有著明顯的影響。既改變軸向運(yùn)動(dòng)梁橫向受迫振動(dòng)的共振區(qū)，也改變梁的共振幅度。圖5(b)通過(guò)改變中間彈簧約束的剛度值發(fā)現(xiàn)，在一定范圍內(nèi)，隨著剛度k的增加，軸向運(yùn)動(dòng)梁前兩階共振逐漸接近。另外，軸向運(yùn)動(dòng)速度的增大和中間約束的減小，梁的振動(dòng)幅度都會(huì)增大，而且非線性跳躍的區(qū)域也都會(huì)隨著增大。

(a) 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(k=100)

(b) 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(γ=0.5)

5 結(jié) 論

本文運(yùn)用Galerkin截?cái)喾椒?，研究了帶有中間約束的軸向運(yùn)動(dòng)梁的橫向非線性振動(dòng)。得到了不同中間約束剛度系數(shù)下，軸向運(yùn)動(dòng)速度與頻率的變化關(guān)系曲線以及穩(wěn)態(tài)響應(yīng)曲線，分析了不同變化因素對(duì)固有頻率及穩(wěn)態(tài)響應(yīng)曲線的影響以及研究方法的收斂性。研究揭示了中間彈性約束和軸向運(yùn)動(dòng)速度的共同作用對(duì)梁固有頻率及穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的復(fù)雜影響。發(fā)現(xiàn)中間約束剛度的增加會(huì)導(dǎo)致軸向運(yùn)動(dòng)梁的固有頻率不同程度的增加，盡管中間約束對(duì)靜態(tài)梁偶數(shù)階模態(tài)無(wú)影響。更有意思的是，約束剛度的增加會(huì)使得前兩階模態(tài)的頻率相互轉(zhuǎn)換。另外，還發(fā)現(xiàn)4階Galerkin截?cái)嗟挠?jì)算結(jié)果與高階截?cái)嘞啾容^，存在可以辨識(shí)的誤差。而在橫向非線性受迫振動(dòng)方面發(fā)現(xiàn)，軸向運(yùn)動(dòng)速度和中間彈性約束剛度的影響會(huì)有疊加效應(yīng)，兩個(gè)因素的共同作用下，梁的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)會(huì)產(chǎn)生復(fù)雜的變化趨勢(shì)。