數(shù)學(xué)“一題多解”教學(xué)的偏差與矯正

屠桂芳

“一題多解”是指從不同的視角， 運用不同的思維方式， 來解決同一道題。在數(shù)學(xué)教學(xué)中， “一題多解”歷來受到重視和推崇。數(shù)學(xué)教師常常在抵御“題海戰(zhàn)術(shù)”時說它是“舉一反三”， 在倡議“精講精練”時說它是“活學(xué)活練”， 在防止填鴨式教學(xué)時說它是課堂生成與能力培養(yǎng)， 在開展探究式教學(xué)時說它是思維發(fā)散與創(chuàng)意發(fā)展。特別是在一些觀摩課上， “一題多解”的案例頻頻出現(xiàn)， 講課教師講得精彩、上課學(xué)生看得熱鬧、評課專家聽了贊賞。

筆者也很喜歡“一題多解”， 課堂的解題教學(xué)如此， 課后的解題研究更如此。然而， 近一階段， 筆者觀摩了一些數(shù)學(xué)課， 關(guān)注了其中的“一題多解”教學(xué)， 對這種常見模式的不當(dāng)使用產(chǎn)生了一些擔(dān)憂。下面， 指出“一題多解”教學(xué)中的一些偏差現(xiàn)象， 希望引起大家的重視;尋求解決這一問題的矯正途徑， 以期引發(fā)大家的思考。

一、“一題多解”教學(xué)的偏差

（一） 偏離教學(xué)目標(biāo)

例如， 《等差數(shù)列通項公式》一課的教學(xué)目標(biāo)可簡述為掌握等差數(shù)列的通項公式， 體會方程思想， 并能應(yīng)用公式解決相關(guān)問題。為此， 課堂教學(xué)應(yīng)圍繞等差數(shù)列通項公式的由來、內(nèi)涵及應(yīng)用來展開， 涉及的主要知識與思想方法有求等差數(shù)列的通項公式 （歸結(jié)為求基本量a1和d， 可以用定義法和待定系數(shù)法） 、由等差數(shù)列的通項公式求某些指定項 （包括判斷某些數(shù)是否為數(shù)列中的項） 、求一個有窮等差數(shù)列的項數(shù)等。即圍繞等差數(shù)列通項公式中的a1、d、n、an“知三求一”的各種形式的問題 （含實際應(yīng)用題） ， 鞏固知識， 熟悉方法， 形成能力， 并且領(lǐng)會基本量法和方程思想。至于能力上的再提高， 還可以著眼于an與am的有關(guān)性質(zhì)以及與函數(shù)、不等式的聯(lián)系和綜合應(yīng)用等， 不過， 首先要完成通項公式的掌握和應(yīng)用。

但是， 一位教師在課堂教學(xué)中， 用約5分鐘的時間完成了通項公式的歸納和記憶， 然后呈現(xiàn)教材上的三個典型例題， 對其中涵蓋的基本量“知三求一”問題及方程思想方法沒有深入探究， 認(rèn)為“這些內(nèi)容太平凡”;而重點關(guān)注利用一次函數(shù)的圖像、am+an=ap+aq （m+n=p+q） 、直線的斜率等多種方法解題， 想“讓大家看到更精彩的內(nèi)容”。綜觀這節(jié)課， 概念內(nèi)涵簡化了， 公式教學(xué)淡化了， 基本聯(lián)系弱化了， 而且難以讓學(xué)生熟練應(yīng)用基本知識解決相關(guān)問題。這就是因不合時宜地使用“一題多解”而偏離教學(xué)目標(biāo)所產(chǎn)生的后果。

（二） 擾亂學(xué)生思維

根據(jù)美國心理學(xué)家吉爾福特的觀點， 發(fā)散思維 （主要特征為流暢性、靈活性、獨創(chuàng)性、精致性， 一般方法有材料發(fā)散法、功能發(fā)散法、結(jié)構(gòu)發(fā)散法、形態(tài)發(fā)散法、組合發(fā)散法、方法發(fā)散法） 與聚合思維 （主要特征為封閉性、連續(xù)性、求實性、聚焦性， 常見方法有抽象與概括、歸納與演繹、比較與類比、定性與定量） 既相互對立、又相互依存。離開了發(fā)散思維， 聚合思維就難有創(chuàng)新;離開了聚合思維， 發(fā)散思維也不可能展開。

毫無疑問， “一題多解”有利于發(fā)散思維的培養(yǎng)， 而發(fā)散思維又是創(chuàng)造力的核心。但是， 在學(xué)習(xí)的過程中， 特別是在新知識起步階段， 知識結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)性和能力的完整性是亟待解決的首要問題， 知識的再現(xiàn)式應(yīng)用和解題行為的初步嘗試都應(yīng)占相當(dāng)多的時間， 此時急切需要形成的是聚合思維。因此， 在聚合思維初具規(guī)模之前， 過分地強調(diào)發(fā)散思維的培養(yǎng)， 是違背思維發(fā)展規(guī)律的， 也是難有實效的。

例如， 在《不等式證明》第二課時中， 教學(xué)分析法時， 可以通過例題“若x1、x2∈R， 求證：”， 說明分析法的基本思路、書寫要求、方法實質(zhì)等， 讓學(xué)生將分析法完整地構(gòu)建到自己的知識體系中， 然后通過類似的問題進行鞏固與提高， 形成學(xué)科能力。為了使形成的能力具有更加廣泛的可遷移性， 還需要把能用分析法證明的重要問題形式， 如等， 作為例題或練習(xí)， 讓學(xué)生在鑒別與比較中形成更完整的知識體系和能力結(jié)構(gòu)。

然而， 有教師在用分析法證明完這道例題后， 立即轉(zhuǎn)入針對此題的“一題多解”演示：在近30分鐘的時間里， 從平均值不等式到柯西不等式， 從換元法到數(shù)形結(jié)合……通過課件提供了7種證明方法。這些方法出自不一樣的思路、不一樣的模式， 使得分析法的思路、模式受到嚴(yán)重干擾， 學(xué)生在分析法還沒有得到鞏固的情況下， 思維和認(rèn)識發(fā)生了彌散， 找不到共通的規(guī)律性， 學(xué)習(xí)效果很差。

（三） 排斥學(xué)生參與

“請同學(xué)們看一看， 還有沒有其他方法？”“請同學(xué)們想一想， 不這樣做行不行？”這些是“一題多解”教學(xué)中教師經(jīng)常采用的提示語。這種設(shè)問本意是讓學(xué)生積極地參與到課堂活動中， 但這種設(shè)問太過空泛， 不具有針對性， 因此往往起不到很好的效果。這時， 教師就會千方百計地加以引導(dǎo)和暗示， 希望學(xué)生能“發(fā)現(xiàn)”教師早已準(zhǔn)備好的解法。只要引導(dǎo)和暗示足夠充分， 往往是能夠見效的。一個新的解法出現(xiàn)， 課堂氣氛就會活躍起來。教師、學(xué)生和聽課的人就會感到滿意。于是進入下一輪：“大家再看看， 還有嗎？”……

其實， 深入分析這樣的“一題多解”教學(xué)， 就會發(fā)現(xiàn)它在一定程度上呈現(xiàn)了“虛假的繁榮”， 掩蓋了一些缺陷。在最初的常規(guī)解法學(xué)完之后， 后面的其他解法往往具有一定的技巧性， 教師通過長期鉆研、廣泛閱讀能夠提供， 但是學(xué)生很難頻現(xiàn)這些“奇想”， 屢出這些“奇招”， 一些學(xué)生甚至很難跟上教師的節(jié)奏。筆者曾聽一位學(xué)生說道：“就一道題目， 老師一會兒寫出一種解法， 問我們還有沒有， 我們不知道;就又寫出一種， 再問我們還有沒有， 我們哪里會想得出。老師一共寫了8種方法， 正好也下課了?！边@種灌輸式羅列解題方法是典型的“解題秀”， 學(xué)生只能“望題興嘆”“欣賞觀看”“微笑稱贊”。學(xué)生的主體參與無法得到真正的落實， 學(xué)習(xí)效果也就不會很好。

二、“一題多解”教學(xué)偏差的矯正

（一） 緊扣目標(biāo)

“一題多解”不是解法越多越好， 而應(yīng)緊扣教學(xué)目標(biāo)， 將各種不同的知識點融通在解題方法中， 讓學(xué)生明晰“一題多解”的價值， 注重“通性通法”的探索， 了解各種解法的聯(lián)系和蘊含的數(shù)學(xué)思想。“一題多解”的過程不宜面面俱到， 而要對不同解法做取舍或詳略處理， 注重解題的思路訓(xùn)練和解法的對比篩選， 其中基本方法重在理解掌握， 特殊方法重在思維過程。形式必須服從內(nèi)容， 那些與課堂教學(xué)目標(biāo)相關(guān)度比較小或相沖突的， 導(dǎo)致學(xué)習(xí)沒有明確方向的方法， 應(yīng)當(dāng)毅然割舍。

（二） 關(guān)注學(xué)情

對數(shù)學(xué)知識有不同體驗和認(rèn)識的學(xué)生， 在“一題多解”中會有個性化的思路和解法。“一題多解”不宜刻意追求解法的新奇， 而要關(guān)注學(xué)生的學(xué)情， 重視學(xué)生能理解、能發(fā)現(xiàn) （可適當(dāng)提示） 的思路和解法。為此， 要營造接納的、支持的課堂氛圍， 讓學(xué)生自己思考， 展現(xiàn)自己的原本思維;細(xì)致分析學(xué)生成型或不成型的解法， 讓學(xué)生有“這種解法我也能想出來， 不太難”的心理基礎(chǔ)， 且使學(xué)生的個性化解法越來越合理、可行。

（三） 選擇時機

蘇聯(lián)心理學(xué)家維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)”理論告訴我們， 只有教學(xué)內(nèi)容處于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”時， 教學(xué)才是可行且有效的?！耙活}多解”重在啟發(fā)學(xué)生積極思考， 充分發(fā)揮聰明才智， 從不同的視角、利用不同的條件、通過不同的路徑， 尋求問題的多種解決方法。“一題多解”要把握好教學(xué)時機， 在知識新授課中應(yīng)盡量少用， 而比較適宜在章節(jié)復(fù)習(xí)課、方法歸納課、小組合作研討與練習(xí)課中使用。

（四） 結(jié)合“一題多變”

美國數(shù)學(xué)教育家G.波利亞說過：“一個專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個有意義的但又不太復(fù)雜的題目， 幫助學(xué)生挖掘問題的各個方面， 使得通過這道題， 就好像通過一道門戶， 把學(xué)生引入一個完整的理論領(lǐng)域?！薄耙活}多解”需要結(jié)合“一題多變”， 進行變式教學(xué)， 從而多角度、全方位地挖掘問題的內(nèi)涵和價值， 把問題逐步發(fā)展或者延伸， 成為反思與建構(gòu)的一種形式。進而幫助學(xué)生明確題目中哪些條件或目標(biāo)的變化會導(dǎo)致哪些方法不適用或更簡捷， 使學(xué)生“懂一題， 會一片”。另外， 變題比解題要求更高， 需要站在出題者的角度看問題， 對原問題有深刻的理解把握和直覺的判斷領(lǐng)悟， 以充分調(diào)動學(xué)生的好奇心與探究欲， 改善學(xué)生的思維品質(zhì)， 提升學(xué)生的認(rèn)識層次。

這里， 解法1、解法2的關(guān)鍵是畫出可行域， 然后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義得出結(jié)論， 是解決線性規(guī)劃問題的常規(guī)思路， 可以在學(xué)習(xí)線性規(guī)劃時及時運用;解法3是運用不等式的性質(zhì)， 關(guān)鍵在于求出系數(shù)， 可以在學(xué)習(xí)不等式時綜合運用;解法4是利用向量數(shù)量積的幾何意義， 可以在學(xué)習(xí)向量數(shù)量積后綜合運用。

此外， 該題的目標(biāo)為求z=x+2y的最小值。對其可以“一題多變”如下：

變式1求z=x+2y的最大值。

變式2求的取值范圍。

變式3若 （4， -5） 是z=y-ax取得最大值的最優(yōu)解， 求實數(shù)a的取值范圍。

變式4若z=y-ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一， 求實數(shù)a的值。

變式5若z=y-ax （a>0） 取得最大值的最優(yōu)解唯一， 求實數(shù)a的取值范圍。

這樣的“一題多變”有助于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維和聚合思維， 發(fā)展學(xué)生的應(yīng)變能力， 增強學(xué)生面對新問題時敢于聯(lián)想從而分析解決問題的意識。

（作者單位：江蘇省南京市第十三中學(xué)）