淺談數(shù)學(xué)思想在等差數(shù)列學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

李思虹

摘 要：數(shù)列是高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一項(xiàng)基本內(nèi)容，而等差數(shù)列和等比數(shù)列是兩種非常重要的特殊數(shù)列。等差數(shù)列的學(xué)習(xí)中，蘊(yùn)含著極為重要的數(shù)學(xué)思想。本文從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度出發(fā)，首先對(duì)高中數(shù)學(xué)等差數(shù)列的學(xué)習(xí)重點(diǎn)和難點(diǎn)進(jìn)行了簡(jiǎn)要概述；隨后，分析了數(shù)學(xué)思想在等差數(shù)列學(xué)習(xí)中的具體應(yīng)用，希望為其他同學(xué)的學(xué)習(xí)提供具有價(jià)值的參考。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 等差數(shù)列 數(shù)學(xué)思想 方程思想

引 言

高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，可以在某種程度上，提高對(duì)于數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解能力，并加強(qiáng)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決能力。作為一名高中生，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，需要明確數(shù)學(xué)思想對(duì)于問(wèn)題理解與解決的指導(dǎo)意義。在此基礎(chǔ)上，可以在日常的學(xué)習(xí)中，將數(shù)學(xué)思想與相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)有機(jī)地融合起來(lái)，從而提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效果。

一、高中數(shù)學(xué)等差數(shù)列學(xué)習(xí)的重點(diǎn)與難點(diǎn)

高中階段等差數(shù)列的特點(diǎn)是，從數(shù)列的第二項(xiàng)開(kāi)始，每后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)。比如，數(shù)列{1，2，3，4，....，n}的后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差均為1，因此，該數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列。等差數(shù)列的學(xué)習(xí)經(jīng)常與等比數(shù)列聯(lián)系在一起。無(wú)論是等比數(shù)列還是等差數(shù)列，在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，都需要將基本的概念與性質(zhì)作為學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容。此外，等差數(shù)列的每一項(xiàng)與其項(xiàng)數(shù)之間存在確定的關(guān)系，這種關(guān)系可以用解析式表示出來(lái)，也就是說(shuō)，是一種可以用通項(xiàng)公式表示的數(shù)列。因此可以通過(guò)通項(xiàng)公式，對(duì)數(shù)列中的特定項(xiàng)進(jìn)行求值[1]，也可以求數(shù)列前n項(xiàng)的和或者研究等差數(shù)列的單調(diào)性、最值等性質(zhì)。在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，不斷積累和總結(jié)，可以提升在面對(duì)復(fù)雜問(wèn)題時(shí)的解決效率。

二、數(shù)學(xué)思想在等差數(shù)列學(xué)習(xí)中的具體應(yīng)用

（一）整體思想的運(yùn)用

在解決高中數(shù)學(xué)中的等差數(shù)列相關(guān)問(wèn)題時(shí)，需要從全局的角度出發(fā)，使用整體思想，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析并加以解決。比如，在對(duì)某些問(wèn)題的研究過(guò)程中，需要將問(wèn)題視為是一個(gè)整體。通過(guò)研究問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)與性質(zhì)，并注意到已知條件與所求問(wèn)題中，整體性質(zhì)的作用，可以將整體結(jié)構(gòu)調(diào)節(jié)與轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的求解。

例1：某等差數(shù)列前12項(xiàng)的和為354，并且在前12項(xiàng)中，奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和之比為27：32，求該等差數(shù)列的公差d。

解答：=354，且=27：32，所以=6d=30，故d=5。

（二）方程思想的運(yùn)用

方程思想是高中數(shù)學(xué)中較為常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想，主要是通過(guò)求解方程或者方程組，解得未知量[2]。這一思想可以有效地解決一些數(shù)列問(wèn)題。

例2：已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和分別是Sn和Tn，并且兩個(gè)數(shù)列滿(mǎn)足a2=b3=12，a5=b4=18，求兩組數(shù)列的通項(xiàng)公式。

解答：根據(jù)題目當(dāng)中的已知條件可以得出，a2=12，且a5=18，設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，可以構(gòu)建出方程組，，從而解得和，所以an=2n+8。同理，設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為b1，公比為q，構(gòu)建方程組可以得出

bn。

（三）函數(shù)思想的運(yùn)用

從本質(zhì)上進(jìn)行分析，數(shù)列就是定義域?yàn)檎麛?shù)的函數(shù)。數(shù)列的函數(shù)圖像，是在坐標(biāo)軸某一區(qū)間上的一系列的離散的點(diǎn)。對(duì)于等差數(shù)列來(lái)說(shuō)，通項(xiàng)公式可以視為是函數(shù)的表達(dá)式。并且，等差數(shù)列所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為一次函數(shù)，等比數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)為指數(shù)型函數(shù)，等差數(shù)列中前n項(xiàng)的和，可以看做關(guān)于n的常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)。因此，等差數(shù)列具有函數(shù)的基本性質(zhì)，在進(jìn)行解題時(shí)，可以將函數(shù)思想應(yīng)用于問(wèn)題的解決中。比如，等差數(shù)列an=2n-1是n的表達(dá)式，函數(shù)y=2x-1是關(guān)于x的表達(dá)式。等差數(shù)列的所有點(diǎn)都落在一次函數(shù)y上，等差數(shù)列具有離散的特征，一次函數(shù)具有連續(xù)性特征。在進(jìn)行單調(diào)性研究或者最值問(wèn)題解答時(shí)，可以利用該特點(diǎn)進(jìn)行解決。

（四）數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用

數(shù)形結(jié)合思想主要是指，借助幾何圖形，對(duì)代數(shù)問(wèn)題進(jìn)行解決處理。通過(guò)此種方式，能夠?qū)⑤^為抽象的代數(shù)問(wèn)題，通過(guò)圖形直觀地展現(xiàn)出來(lái)，提高學(xué)生們對(duì)于問(wèn)題的理解能力，提高問(wèn)題的解決效率。

例3：設(shè)等差數(shù)列an=，則該數(shù)列中，從首項(xiàng)a1開(kāi)始到哪一項(xiàng)的和為最大值。

解答：因?yàn)閿?shù)列an是函數(shù)f（x）=上一些離散的點(diǎn)。從圖1中可以看出，等差數(shù)列的前10項(xiàng)均為正數(shù)，第11項(xiàng)為0，之后各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，所以前10項(xiàng)與前11項(xiàng)的和相同且最大。

（五）類(lèi)比思想的運(yùn)用

除了上述幾項(xiàng)數(shù)學(xué)思想之外，在等差數(shù)列的學(xué)習(xí)與問(wèn)題解決中，還可以使用類(lèi)比思想。通過(guò)類(lèi)比等差數(shù)列的相關(guān)概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式與中項(xiàng)公式等，很容易得出等比數(shù)列相對(duì)應(yīng)的內(nèi)容。反之，通過(guò)分析等比數(shù)列的各項(xiàng)性質(zhì)和公式，也可以得出等差數(shù)列相對(duì)應(yīng)的內(nèi)容。此種類(lèi)比思想的運(yùn)用，可以解決等差數(shù)列與等比數(shù)列相似性問(wèn)題。

總 結(jié)

綜上所述，在高中階段等差數(shù)列的學(xué)習(xí)過(guò)程中，同學(xué)們往往需要從一個(gè)基本問(wèn)題出發(fā)，綜合運(yùn)用整體性思維、類(lèi)比、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)思想等各種不同的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。通過(guò)此種方式，可以在解決基本的等差數(shù)列問(wèn)題的同時(shí)，進(jìn)一步增強(qiáng)對(duì)于數(shù)學(xué)思想的理解和認(rèn)知，不斷提升自身的抽象思維發(fā)展水平，提高自身的邏輯思維能力，進(jìn)而達(dá)到提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的最終目的。

參考文獻(xiàn)

[1] 李曉艷.以數(shù)列為例談高中數(shù)學(xué)教材中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想 [J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018（21）：36-37.

[2] 王賽男.淺談高中數(shù)學(xué)等比數(shù)列和等差數(shù)列學(xué)習(xí)方法[J].中外企業(yè)家，2018（15）：112.