“列方程解決問題”教學(xué)難點突破策略

沙曉霞

【摘? ?要】對于人教版教材五年級上冊《簡易方程》單元中“實際問題與方程”板塊的學(xué)習(xí)，學(xué)生或多或少有一種抵觸心理。究其原因可以發(fā)現(xiàn)，該板塊教學(xué)過程中存在數(shù)量關(guān)系難找、未知量難感知、方程優(yōu)勢難體現(xiàn)等教學(xué)難點。如果能突破這些難點，就可以正面化解學(xué)生對方程的“排斥”。對此，教師在教學(xué)中可以通過豐富學(xué)生尋找等量關(guān)系列方程的方法、提升學(xué)生對條件中未知量的敏感程度、增強學(xué)生列方程解決問題的實踐經(jīng)驗等舉措，拉近方程和學(xué)生之間的距離。

【關(guān)鍵詞】方程意識;等量關(guān)系;未知量;難點突破

人教版教材五年級上冊《簡易方程》單元的“實際問題與方程”板塊中有這樣一道例題：

我們發(fā)現(xiàn)，絕大多數(shù)學(xué)生毫不猶豫地選擇算術(shù)方法進行解決。而在使用算術(shù)方法解決的過程中，有超過一半的學(xué)生給出錯誤的回答。其實該類型的題目，采用方程解決既順應(yīng)問題的思路，也保證解題結(jié)果的正確性，卻鮮有人問津。

對此，教師可能會有疑惑：學(xué)生為什么不喜歡使用方程解決問題？將《簡易方程》單元中“實際問題與方程”板塊的教學(xué)難點進行梳理，主要有以下幾方面。

難點一：等量關(guān)系難以尋找

學(xué)生缺少尋找等量關(guān)系的方法，找不準(zhǔn)關(guān)系更不用說列出方程了。

難點二：未知的量難以把握

學(xué)生對設(shè)哪個量為未知數(shù)沒有把握，尤其是有兩個或以上的未知量時。

難點三：方程優(yōu)勢難以體現(xiàn)

練習(xí)時就題論題不夠系統(tǒng)，學(xué)生體會不到列方程解決問題的優(yōu)勢所在。

那么，如何破解“實際問題與方程”板塊在實際教學(xué)過程中所遇到的難點？我們對此進行了探究。

一、授之以漁，豐富學(xué)生尋找等量關(guān)系列方程的方法

列方程解決問題的教學(xué)難點之一是尋找等量關(guān)系，這也是能否列出方程的關(guān)鍵所在。學(xué)生方程意識的薄弱，對列方程方法的排斥，很大一部分原因是找不準(zhǔn)條件當(dāng)中的等量關(guān)系。在教學(xué)中，我們要為學(xué)生打開思路，教給學(xué)生尋找等量關(guān)系的辦法。

（一）關(guān)鍵句中藏有玄機

學(xué)生對信息的理解源自文本，因此從文本直接入手，細讀精讀后借助“畫、圈、注”等方式進行輔助理解，就能找到等量關(guān)系。

讀題時要特別留意描述兩個事物之間關(guān)系的語句，通常這些就是關(guān)鍵句。如果不確定可再多讀幾遍，因為有些題目的關(guān)系是隱含的，甚至有可能在語言的表達上是不完整的。學(xué)生讀完文本，將表示兩個量之間關(guān)系的關(guān)鍵句畫出。

例：白色皮共有20塊，比黑色皮的2倍少4塊。共有多少塊黑色皮？ （書本例題）? ? 關(guān)鍵句

長江是我國第一長河，長6299千米，比黃河長835千米。黃河長多少千米？（書本習(xí)題）? 關(guān)鍵句

每平方米闊葉林每天制造75克氧氣，是每平方米草地每天制造氧氣的5倍。? ?關(guān)鍵句

每平方米草地每天能制造多少克氧氣？（書本習(xí)題）

接下來對關(guān)鍵句進行分析。圈出不同的量，并對文本進行數(shù)學(xué)符號的翻譯，也就是將關(guān)鍵文字用運算符號進行標(biāo)注，讓等量關(guān)系得以呈現(xiàn)。

這樣一來給了學(xué)生一根表述事件的“拐杖”和一個支點，逐步習(xí)慣順向思維，強化“事件表述等量關(guān)系”，淡化求未知量的值，且與之前“用字母表示數(shù)量——代數(shù)式”的教學(xué)產(chǎn)生正遷移。通過引導(dǎo)，學(xué)生自覺把未知量參與表達或運算，迅速并正確地找到等量關(guān)系。

（二）“講故事”里異曲同工

史寧中教授曾經(jīng)提到如何理解方程的定義問題，他說：“雖然教科書中定義為‘含有未知數(shù)的等式，但應(yīng)當(dāng)知道方程的本質(zhì)是在講兩個故事，這兩個故事有一個共同點，在這個共同點上兩個故事的數(shù)量相等?！?/p>

史寧中教授的話形象地講出了方程的本質(zhì)特點，從“不同的角度”表述“同一個量”時，就能形成等量關(guān)系。相對于抓整體結(jié)構(gòu)，找出關(guān)鍵句，這兩者其實是可以互相轉(zhuǎn)化的，轉(zhuǎn)化的過程就是在尋找等量關(guān)系，通過方程的本質(zhì)意義帶給學(xué)生更深的建構(gòu)。

例：人教版教材五年級上冊《實際問題與方程》例3。

這類問題并沒有關(guān)鍵句可以尋找，可以借助“講故事”的方式引導(dǎo)學(xué)生抓整體關(guān)系，找出等量關(guān)系 ，列出相應(yīng)的方程。

對總價的表述可以是10.4元，也可以是蘋果總價+梨總價，或者是（蘋果單價+梨單價）×數(shù)量，那么就有：

當(dāng)學(xué)生列出這樣的方程：2x=10.4-2.8×2，請學(xué)生判斷是否正確？學(xué)生遲疑了一下，然后非?？隙ㄊ钦_的，因為學(xué)生分析出代數(shù)式的意義，“左右兩邊都講述了蘋果的總價”。

以這樣的等量關(guān)系所建構(gòu)的方程，自然正確。接下來的小組討論中，學(xué)生思維得到了充分發(fā)散，列出了以“梨的總價”為故事主體、“蘋果單價+梨的單價”為故事主體的不同角度的等量關(guān)系的方程。

1千克蘋果和1千克梨的單價

通過這樣的拓展，讓學(xué)生充分體驗到“從兩個不同角度表示同一個量”，體驗了找等量關(guān)系的另一種方法，讓思維變得更靈活和深入。這更像是一種開放教學(xué)，落點不在題目，而在于一種思維方式。學(xué)生可以體會到從不同角度思考問題就會得到不同的方程，甚至多中擇優(yōu)，分辨哪種思路更好，實現(xiàn)用方程解題的多樣性和優(yōu)化。

（三）應(yīng)用公式對號入座

在課堂教學(xué)中，我們應(yīng)當(dāng)關(guān)注對基本數(shù)量關(guān)系的積累。比如部總關(guān)系、行程問題、工程問題。同時，對于一些計算公式也應(yīng)掌握，比如求周長、面積、體積等。在列方程解決問題時如果遇到相同問題背景，學(xué)生就可以借助已有的數(shù)量關(guān)系進行重組。以不變應(yīng)萬變，體驗用方程解題的優(yōu)越性。

[基本數(shù)量關(guān)系或計算公式? →? 得到等量關(guān)系][代入]

圖3? ?利用公式得到等量關(guān)系示意圖

例：人教版教材五年級上冊《實際問題與方程》例5。

[小林][小云][小林家和小云家相距4.5km。周日早上9：00兩人分別從家騎自行車相向而行，兩人何時可以相遇？][我每分鐘騎250m。][我每分鐘騎200m。]

這是一道非常典型的相遇問題，學(xué)生已具有學(xué)習(xí)經(jīng)驗，知道相遇問題的基本數(shù)量關(guān)系是速度和×相遇時間=相遇路程。我們只要對這個基本數(shù)量關(guān)系進行代入就可以得到方程。

速度和×相遇時間=相遇路程

↓? ? ? ? ? ? ? ? ? ↓? ? ? ? ↓

（小林速度+小云速度）×相遇時間=小林家和小云家的距離

↓? ? ? ? ? ? ? ? ? ↓? ? ? ? ↓

（250+200）× x =4500

教學(xué)中，只要牢牢抓住“速度和×相遇時間=相遇路程”這一組基本數(shù)量關(guān)系，“以不變應(yīng)萬變”，根據(jù)題目給出的數(shù)據(jù)對基本數(shù)量關(guān)系進行補充和完善，由公式或者基本數(shù)量關(guān)系做等量關(guān)系的基礎(chǔ)，對號入座從而列出方程。

二、對比嘗試， 提升學(xué)生對條件中未知量的敏感程度

列方程解決問題在教學(xué)過程中的難點之二就是學(xué)生對未知量的感知能力較弱。在教學(xué)中，我們可以采取對比嘗試等一系列方法，提升學(xué)生對未知量的敏感程度。

（一）正反對比感悟便捷

小學(xué)階段，學(xué)生列方程解決實際問題時通?！皢栴}求什么就設(shè)什么為x”。但有些實際問題中有兩個或以上的未知數(shù)，這時就需要選擇最為合適的未知量來設(shè)未知數(shù)，在解方程時體現(xiàn)便捷性。

例：人教版教材五年級上冊《實際問題與方程》例4。

例題呈現(xiàn)中設(shè)陸地面積為x億平方千米，那么海洋面積為2.4x億平方千米。

我們應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生思考，既然陸地面積和海洋面積都是未知量，為什么要設(shè)陸地面積為x呢？

借助線段圖表示題意：

學(xué)生經(jīng)過思考：“陸地面積小，是一份。設(shè)未知數(shù)的時候，設(shè)陸地面積為x億平方千米，這樣海洋面積可以表示為2.4x?！?/p>

學(xué)生列出方程：x+2.4x=5.1。

教師追問：如果設(shè)海洋面積為x億平方千米，可不可以？

學(xué)生也列出方程“x+x÷2.4=5.1”，但是發(fā)現(xiàn)計算非常麻煩。

學(xué)生會感受到，當(dāng)題目中出現(xiàn)兩個或兩個以上的未知量，并且這幾個量之間呈現(xiàn)出相差關(guān)系、倍數(shù)關(guān)系等，把一倍數(shù)或者較小數(shù)設(shè)為x，不論在解題思路上，還是方程表達上，抑或是方程計算上都是最為方便的。

（二）橫向?qū)Ρ劝l(fā)現(xiàn)坦途

有些題目中，可以找出多組不同的數(shù)量關(guān)系。由于數(shù)量關(guān)系表達形式的不同，學(xué)生列出的方程也會“五花八門”。雖說從意義上解釋也許都能說通，但在解答過程中卻出現(xiàn)了難以下手的情況。

例：雞和兔的數(shù)量相同，兩種動物的腿加起來共有48條。雞和兔各有多少只？

在這道題目里面學(xué)生可以找到以下幾種數(shù)量關(guān)系并相應(yīng)列出方程：

[解：設(shè)雞有x只，兔有x只 數(shù)量關(guān)系 列出方程 雞的腿+兔的腿=48 2x+4=48 雞的腿=48-兔的腿 2x=48-4x 48-雞的腿=兔的腿 48-2x=4x ]

雖然數(shù)量關(guān)系都成立，方程也都正確，但在解題的過程中還是產(chǎn)生了容易解和不容易解的對比。經(jīng)過學(xué)生的橫向?qū)Ρ?，顯然，2x+4x=48這樣的方程在解答過程中更具優(yōu)勢。

由此可見，在列方程解決實際問題的過程中，順應(yīng)題目語言表述的數(shù)量關(guān)系是最為適合列方程的，思路也更為順暢。

三、形式多樣，增強學(xué)生列方程解決問題的實踐能力

列方程解決問題在教學(xué)中的難點之三是學(xué)生的練習(xí)不成體系。在學(xué)生掌握基本步驟和方法之后，教師應(yīng)提供形式多樣的練習(xí)，使學(xué)生有針對性地提升技能和技巧。熟能生巧，巧能生慧，讓學(xué)生對列方程解決實際問題得心應(yīng)手。

（一）變式練習(xí)中觸類旁通

在問題情境中，對條件的呈現(xiàn)方式不斷變化和調(diào)整，以變式題組的形式出現(xiàn)。這樣，學(xué)生在變與不變中靈活運用所學(xué)知識，在技能提升的同時也促進方程運用意識的敏感程度。

例：童聲合唱團共有60人。

（1）女生是男生的3倍，男生有多少人？

（2）女生是男生的3倍，女生有多少人？

相同的條件，不同的問題，其目的在于打破學(xué)生看問題設(shè)未知數(shù)的定勢思維。在分析數(shù)量關(guān)系后，我們很容易發(fā)現(xiàn)，將男生的量設(shè)為未知數(shù)最為合適。

又例如：180人組團去A市旅游。

（1）成年女性是兒童人數(shù)的2倍，成年男性是兒童人數(shù)的3倍，成年女性有幾人？

（2）成年女性是兒童人數(shù)的2倍，成年男性比成年女性多30人，成年男性有多少人？

當(dāng)未知量在兩個以上時，若想用算式方法解答，思路就不容易厘清了。此刻用方程解題則展現(xiàn)了優(yōu)越性，抓住最小量即將兒童人數(shù)設(shè)為x，根據(jù)信息用代數(shù)式分別表示出成年女性、成年男性的人數(shù)，即可列出方程。由此觸類旁通，使學(xué)生感受列方程解決問題時順向思維的便捷。

（二）豐富解方程的技能訓(xùn)練

在列方程解決問題過程中，由于解方程方法的不熟練，最終導(dǎo)致解題失敗的現(xiàn)象也時有發(fā)生，這對學(xué)生來說也是一種負影響。

教材中，解方程的基本策略是“等式的基本性質(zhì)”。但由于其抽象性，部分學(xué)生在解諸如“60-x=24”“80÷x=2.5”此類方程時，非常容易出錯。在列方程解決問題的實際操作時，由于學(xué)生提煉的等量關(guān)系未必統(tǒng)一，所列方程就會更加復(fù)雜。使得部分學(xué)生望方程而興嘆，列出了方程卻解不出方程的現(xiàn)象也就由此而生了。

因此在教學(xué)中，在學(xué)生應(yīng)用等式性質(zhì)解方程的基礎(chǔ)上，同時應(yīng)補充四則運算各部分之間的關(guān)系等解方程的方法。只有學(xué)生掌握更多技能，更容易解出方程，才能帶來更多成功的體驗，有利于增強列方程解決實際問題的實踐經(jīng)驗。

方程，是學(xué)生從算術(shù)思維走向代數(shù)思維的一座橋梁，也許在學(xué)習(xí)過程中始終有一些學(xué)生對方程比較抵觸。作為教師我們應(yīng)幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)障礙，不斷讓學(xué)生感知列方程解決問題的便捷，體驗成功，感受到方程的魅力。

（浙江省杭州市星洲小學(xué)? ?310000）